哈爾濱市三中2021屆高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期第四次驗(yàn)收考試卷附答案解析

哈爾濱市三中2021屆高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期第四次驗(yàn)收考試卷

一、單選題

1.已知集合4={-1,0,1,2,3,4,5},集合B={x|（x+2）（x—4）<0},則AB=（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,l,2,3}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3,4}

2.已知直線7nx+4y-2=0與直線2x+5y+l=0垂直，則實(shí)數(shù)加=（）

A.10B.-10C.5D.-5

3.己知a,力是兩個(gè)平面，m,n,/是三條直線，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若加〃“，〃ua,則機(jī)uc

B.若mua,〃ua,ml1（3,n///3,則a///?

C.若/_La,mL/3,mill,貝!Ja〃尸

D.若a工0,a[3=m,nu0,則〃_La

x-y>0

4.若實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件（2尤+y-6<0,則z=3x+y的最大值是（）

x+y-2>Q

A.12B.10C.8D.4

5.若圓C:f+y2=5一機(jī)與圓E：（x-3）2+（y-4）2=i6有三條公切線，則m的值為（）

A.2B.6C.4D.6

6.若一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，且已知該幾何體的體積為立萬，則其表面積為（）

6

俯視圖

3333

A.—71+^3B.—TCC.-71+2^3D.—71+＞/3

2244

7.已知直線/：丫=工+24（。＞0）與圓。：%2+、2—2@—2=0（。＞0）相交于4,3兩點(diǎn),若|4卻=26,

則”的值為（）

A.V2B.272C.2D.4

8.蘭州牛肉面是人們喜歡的快餐之一.現(xiàn)將體積為lOOOcn?的面團(tuán)經(jīng)過第一次拉伸成長(zhǎng)為100物的圓柱型面

條，再經(jīng)過第二次對(duì)折拉伸成長(zhǎng)為2x1（X）cm的面條，……，則經(jīng)過五次對(duì)折拉伸之后面條的截面直徑是（）

（單位：加.每次對(duì)折拉伸相等的長(zhǎng)度，面條的粗細(xì)是均勻的，拉面師傅拉完面后手中剩余面忽略不計(jì)）

9.己知函數(shù)/（x）=2sin（3：+。）-1（。＞0,的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的最短距離為（.若

將函數(shù)/（x）的圖象向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新函數(shù)圖象關(guān)于（0,—1）中心對(duì)稱，則8=（）

兀71C.生5乃

A.B.——D.

63

10.已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足條件/（x-2）=/（x）,且函數(shù)y=/（x+l）為偶函數(shù)，當(dāng)X€［O,II時(shí),

/（X）=2'-1,貝歷程/（x）-；=0在［-1,3］上的實(shí)根之和為（）

A.4B.3C.2+log23D.3-log23

11.球。的球面上有四點(diǎn)S,A,B,C,其中。，A,B,。四點(diǎn)共面，AB=AC=l,BC=6平

面MB_L平面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為（）

A.正B.@C.昱D.且

4824128

11

12.對(duì)于實(shí)數(shù)x,定義國表示不超過x的最大整數(shù)，已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足：q=l,S?=-an+—,

21anJ

其中為數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和，則《+=+…+——=（）

S2Sl00_

A.20B.19C.18D.17

二、填空題

13.已知q,力是兩個(gè)不共線的向量，若向量ka+人與共線，則實(shí)數(shù)左=.

14.已知圓。經(jīng)過A（5,l）,8（l,3）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為.

15.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E，尸分別為邊A8,BC的中點(diǎn)，將此正方形沿OE，。尸折起，使點(diǎn)A，

C重合于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到平面DEF的距離為.

16.將6個(gè)半徑都為1的鋼球完全裝入形狀為圓柱的容器里，分兩層放入，每層3個(gè)，下層的3個(gè)小球兩兩相

切且均與圓柱內(nèi)壁相切，則該圓柱體的高的最小值為.

三、解答題

17.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是b,c,己知c=acos6+J§Z?sinA.

2

(1)求角A的大小;

(2)若。=5,8=2病，求ABC的面積.

18.如圖，在四棱錐尸一ABCD中，平面ABC。，四邊形ABC。是矩形，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),

PD=CD=2BC.

(1)證明：PA//平面BDE；

(2)求二面角E-BO-C的余弦值.

19.已知正項(xiàng)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足a：+2a“=4S“，〃eN*.

(1)求證：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

⑵若a=(拒廣—2a?,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

20.四棱柱ABC。一中，底面ABC。為平行四邊形，平面_L平面ABC。，ACVCD,

。為A。中點(diǎn)，4A=4。=4。=2,ZABC=60°.

(D求證：c。，平面AOG；

(2)求G。與平面所成角的余弦值?

21.已知函數(shù)/(%)=%—4?+x(Q￡R).

(1)若4=1,求函數(shù)“X)在尤=0處的切線；

⑵若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)/，x2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明：玉+々>2.

22.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線/過點(diǎn)加(2,1),且傾斜角a=工.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為

極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓。的極坐標(biāo)方程為夕=4cos8.

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與圓C交于A，B兩點(diǎn),求+的值.

23.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-l|.

(1)求的解集；

(2)若存在無OGR,使得/(%)+|2/+2|<〃?一加2+5成立的根的最大值為加，且實(shí)數(shù)。，夕滿足

p3+q3=M,證明：()<p+qV2.

解析

哈爾濱市三中2021屆高三數(shù)學(xué)(理)上學(xué)期第四次驗(yàn)收考試卷

一、單選題

1.已知集合4={-1,0,1,2,3,4,5},集合B={x[(x+2)(x—4)<0},則AB=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3,4}

【答案】A

【分析】解不等式確定集合3,由交集運(yùn)算計(jì)算.

【詳解】由題意5={x[—2<x<4},所以AB={-1,0,1,2,3).

故選：A.

2.已知直線如+4y-2=0與直線2x+5y+l=0垂直，則實(shí)數(shù)加二()

A.10B.-10C.5D.-5

4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程加x2+4x5=()，即可求解.

【詳解】由題意，直線〃?x+4y-2=0與直線2x+5y+l=0垂直，

可得加x2+4x5=(),解得〃z=-10.

故選：B.

3.已知。，力是兩個(gè)平面，m,n,/是三條直線，下列四個(gè)命題中正確的是()

A.若加〃“，〃ua,貝ijmua

B.若，〃uc,〃ua,ml113,n//(3,則allp

C.若mL/3,mill,則a〃力

D.若。_L￡,a0=m,〃u￡,則〃_Le

【答案】C

【分析】直接利用線面平行和面面平行之間的關(guān)系，線面垂直和面面垂直之間的應(yīng)用判斷力、反a〃的結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A：若m//〃，〃ua,則加ua或加〃a，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若帆ua,〃ua,且如〃相交，ml1/3,〃〃/?,則?！??,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若/J.。，m±/3,mill,相當(dāng)于。，尸的法向量平行，則a〃力是正確的；

對(duì)于D：若a_L，，a(3=m,nu0,且時(shí)，則〃_La,故D錯(cuò)誤.

故選：C

x-”0

4.若實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件(2九+y—640,則z=3x+y的最大值是()

x+y-2>0

A.12B.10C.8D.4

【答案】B

【分析】先畫出約束條件的可行域，通過目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出最優(yōu)解，可得目標(biāo)函數(shù)才3盧y的最大值.

【詳解】作出可行域如圖，

5

由z=3x+y可得y=-3%+z,

2x+y-6=0

解得A(4,—2),

x+y-2=0

由圖象可知，當(dāng)z=3x+y經(jīng)過可行域A點(diǎn)時(shí)，函數(shù)在y軸上的截距最大,

此時(shí)z取得最大值，

最大值為z=3x4—2=10,

故選：B

5.若圓。：/+丁=5-m與圓片：5一3）2+（丁一4）2=16有三條公切線，則加的值為（）

A.2B.百C.4D.6

【答案】C

【分析】由兩圓有三條公切線，可知兩圓外切，則兩圓的圓心距等于半徑之和，列出式子即可求出”的值.

【詳解】由題意可知兩圓外切，圓。的圓心為（0,0）,半徑為j5—〃z，圓E的圓心為（3,4）,半徑為4,

則5/32+42=J^=+4,解得加=4?

故答案為C.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的公切線，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6,若一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，且已知該幾何體的體積為萬，則其表面積為（）

6

3

C.一71+2^/3D.一71+

44

【答案】A

【分析】由三視圖可知，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓錐，可求出答案.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓錐，

6

L1

底面半徑為人高h(yuǎn)=?，母線長(zhǎng)為2r，，底面面積S=5乃/7,

「?體積V=—S/?=—x—nr1x百r-—肛,r=1.

3326

所以半圓錐的表面積S=—/rr2+—x2rx^r+-^x2/^=|—+V3]'+

222（2J2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

7.已知直線/：丫=H24（?！?）與圓。：X2+3；2一2@—2=0（。＞0）相交于4,3兩點(diǎn),若124耳=26,

則a的值為（）

A.0B.20C.2D.4

【答案】A

【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑，求得圓心到直線的距離，由勾股定理表示出弦長(zhǎng)，可解得

【詳解】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程是f+（y—a）2=/+2,圓心為C（O,a）,半徑為「=病三,

|0-i7+2Hpz|

圓心到直線/的距離為4=,又|叫=26

V2一近

由產(chǎn)=12+網(wǎng)|得/+2=幺+3,解得a=J]（_J5舍去）.

、2）2

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng).求圓弦長(zhǎng)的兩種方法：

（1）代數(shù)法：求出直線與圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩個(gè)間距離公式計(jì)算；

（2）幾何法：求出圓心到直線的距離，由勾股定理求弦長(zhǎng).這是求弦長(zhǎng)的常用方法.

8.蘭州牛肉面是人們喜歡的快餐之一.現(xiàn)將體積為lOOOcn?的面團(tuán)經(jīng)過第一次拉伸成長(zhǎng)為100碗的圓柱型面

條，再經(jīng)過第二次對(duì)折拉伸成長(zhǎng)為2x100cm的面條，……，則經(jīng)過五次對(duì)折拉伸之后面條的截面直徑是（）

（單位：cm.每次對(duì)折拉伸相等的長(zhǎng)度，面條的粗細(xì)是均勻的，拉面師傅拉完面后手中剩余面忽略不計(jì)）

B.2.

716兀

【答案】D

7

【分析】拉伸之后面條數(shù)列為等比數(shù)列，可得拉伸后面條的數(shù)量；由圓柱的體積公式，結(jié)合等體積法即可求得

拉伸后面條的截面半徑，進(jìn)而得拉伸后截面的直徑.

【詳解】經(jīng)過五次對(duì)折拉伸之后面條的數(shù)量成等比數(shù)列，

因而可知經(jīng)過五次對(duì)折拉伸之后面條的長(zhǎng)度為24x100=1600，

設(shè)拉伸五次后面條的截面半徑為r,由面團(tuán)體積為lOOOcn?可得

1600x^-xr2=1000）

解得r所以直徑為d=2、工，

'8萬"8）

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式求法，圓柱體積公式及等體積法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知函數(shù)/（x）=2sin（的+0）—1（。>（）,0€（0,"））的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的最短距離為若

將函數(shù)/（X）的圖象向左平移忘個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新函數(shù)圖象關(guān)于（0,-1）中心對(duì)稱，則。=（）

,TC?n2兀-5%

A.一B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】由題意利用函數(shù)卜=4411（5+*）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得。的可能取值.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（x）=2sin（69x+e）—l（6y>0,。€（0,萬））與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為王,々，

JI51

a）x+（p=2k7rH——,cox-\-cp-2kzrH-------,不妨設(shè)王<&，

x626

2"

2zra

「?當(dāng)攵=0時(shí)，CO（X2—玉卷而==>CO==2,

I

若將函數(shù)/（X）的圖象向左平移白個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+工+9）-1的圖象.

126

jr

得到的新函數(shù)圖象關(guān)于（0,—1）中心對(duì)稱，二二+8=女萬，keZ,

6

5萬

則?？梢缘扔谝唬?/p>

6

故選：D.

10.已知定義在R上的函數(shù).f（x）滿足條件.〃x—2）=/（x）,且函數(shù)y=/（x+l）為偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,II時(shí),

/。）=2'-1,貝!）方程/（為一（=0在[-1,3J上的實(shí)根之和為（）

8

A.4B.3C.2+log23D.3—log23

【答案】A

【分析】由已知可得f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得

答案.

【詳解】解：由/(x-2)=/(x),得/(x+2)=/(x),則/(x)是周期為2的周期函數(shù).

又函數(shù)V=/(x+1)為偶函數(shù)，y=/(x+l)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，則/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.又當(dāng)

xe［O,1］時(shí)，/(x)=21—1,

作出函數(shù)y=/(%)的圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)y=/(x)的圖象與y的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

???方程/(尤)—g=0在［-1,3］上的實(shí)根之和為4.故選：A.

【點(diǎn)睛】方程的根的問題，可以等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)的求法，首先看能否直接解方程得到解，若

不易解，則可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，可以通過圖像，數(shù)形結(jié)合，直觀簡(jiǎn)單地解決問題.

11.球。的球面上有四點(diǎn)S,A，B,C,其中。，A，B,。四點(diǎn)共面，AB=AC=\,BC=6平

面S4BJ_平面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為()

A.把B.走C.BD.立

4824128

【答案】B

【分析】由于面S4B_L而ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影”落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱性可知，當(dāng)

S在“最高點(diǎn)”，也就是說〃為A3中點(diǎn)時(shí)，S"最大，三棱錐5—ABC的體積最大，計(jì)算出的長(zhǎng)以及

A3c的面積，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：

9

由于面S鉆，面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影〃落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱性可知，當(dāng)S在“最

高點(diǎn)”，也就是說“為AB中點(diǎn)時(shí)，S”最大，

ABC中AB=AC=1,BC=6

/.cosZBAC=N84C=120°,

2xlxl

因?yàn)?。，A，B，。四點(diǎn)共面，所以ABC外接圓的半徑即球。的半徑,

2sin120

在Rt中，OHZOA^—AH?=(―匕)=2L_,

:.RtASHO中,SH=yjS02-0H2=-,

2

所以，三棱錐S-A6C的體積為V=LxLxl2xsinl20xi=—.

32224

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用球的對(duì)稱性確定SH的長(zhǎng).

1(1

12.對(duì)于實(shí)數(shù)x,定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知正項(xiàng)數(shù)列｛q,｝滿足：q=l,S?=-an+—

21an

其中5〃為數(shù)列｛〃〃｝前幾項(xiàng)和，貝！J[+｝+…+/-=()

_S]$100_

A.20B.19C.18D.17

【答案】C

【分析】由題意已知正數(shù)數(shù)列｛《J滿足：q=L,利用已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和求其S“得通

CI11

項(xiàng)，再求出5=三+^+…+丁，利用不等式的性質(zhì)簡(jiǎn)單放縮即可.

32,100

【詳解】由題意已知正數(shù)數(shù)列｛《,｝滿足：4=l,S“=!(a“+'-]=:(S“—

21an)2S?—S,

因?yàn)楣?4=1,所以，S：=n,由于各項(xiàng)為正項(xiàng)，所以"二〃，

故：>/^+>/1一1<2GvJ幾+1+G,

10

111

\[n-\/n-l,

J〃+l+?2GA/H+Vn-1

令s」+L+——，則?！礘101—1>9=>S>18,

'S|s2Ao。2

又因?yàn)镾]=4=1,

S111—1=9,即S<2（9+；）=19,從而[S]=18.

所以-------=-----1-+----<

22sl2S22Sioo

故選:C.

二、填空題

13.已知口，方是兩個(gè)不共線的向量，若向量左4+8與a-/?共線，則實(shí)數(shù)4=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)向量的共線定理表示出ka+人與a-6的關(guān)系，然后列出關(guān)于A的方程組求解出后的值即可.

【詳解】因?yàn)?a+人與a-。共線，設(shè)Aa+匕=彳(。一。)，

k—A

又因?yàn)閍,b不共線，所以〈，，所以％=—1,

1=-2

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量共線求解參數(shù)值，難度較易.向量b與非零向量a共線時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)2使得

/?=2a-

14.已知圓。經(jīng)過4(5,1),8(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為.

【答案】(x-2)2+y2=io.

【分析】由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在A8的垂直平分線上,結(jié)合題意知，求出A3的垂直平分線方程，令y=0,

可得圓心坐標(biāo)，從而可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程.

【詳解】由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在A3的垂直平分線上,結(jié)合題意知，A3的垂直平分線為)'=2x—4,令

y=0,得x=2,故圓心坐標(biāo)為(2,0),所以圓的半徑,(5—2)2+(1—0)2=J布,故圓的方程為

(x-2)2+y2=10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)和圓的方程的求解，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E，/分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，將此正方形沿DE,。尸折起，使點(diǎn)A，

C重合于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到平面DEF的距離為.

【答案】-

3

【分析】根據(jù)題意可得。平面莊戶，由此利用/，即可求出點(diǎn)P到平面DER的距離.

【詳解】因?yàn)镹￡>PE=ZDPF=90，所以DP上PE,DP工PF,

11

又因?yàn)镻Eu平面PEF,PFu平面PEF,且PE巴？=2，所以。。_1平面尸所，

在PEF中,PE=l,PF=l,EF=yjEB2+BF2=V12+12>

所以S?EF=LpE.PF=Lxlxl=上,SADEF=4--x2xl--x2xl--xlxl=-

△PEF2222222

1122

Vp-DEF=VD-PEF，,F.DP.S4PEF=,XflXS&DEF，求得：力=1,即P到平面￡）石尸的距離為§.

故答案為：一.

3

16.將6個(gè)半徑都為1的鋼球完全裝入形狀為圓柱的容器里，分兩層放入，每層3個(gè)，下層的3個(gè)小球兩兩相

切且均與圓柱內(nèi)壁相切，則該圓柱體的高的最小值為.

【答案】2+巫

3

【分析】上面三個(gè)球心記為E,F,G,下面三個(gè)球心記為A,B,C,平面EFG到圓柱上底面距離為1,平面ABC

到圓柱下底面距離為1,再求出平面ABC和平面EFG的距離即可得圓柱高的最小值.

【詳解】6個(gè)球抽象出6個(gè)球心，上面三個(gè)球心記為E,EG,下面三個(gè)球心記為A,B,C,平面EFG到圓柱

上底面距離為1,平面A3C到圓柱下底面距離為1,平面EFG與平面ABC平行，多面體ABC—EFG棱長(zhǎng)

均為2,

設(shè)。,0'分別是A3C和EFG的中心，則。在路線AK上，。'在中線a0上，。。_1平面48。，易知

ME//AK,連接AM作MN_LAK于N,則NO=MO'=1〃E=」AK=A7V,MN=OO'，

33

由題意AM=6，AN=B，：.MN=

3唇閨考

???圓柱高的最小值為2+亞.故答案為：2+還.

33

12

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查圓柱內(nèi)切球問題，解題關(guān)鍵由6個(gè)球外切抽象出球心構(gòu)成有多面體ABC-EFG，

由對(duì)稱性得出這個(gè)多而體的性質(zhì)，從而求得兩個(gè)平面ABC和平面EFG的距離，得出圓柱體的高的最小值.

三、解答題

17.在ABC中，內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,已知c=acos6+&sinA.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若a=5,h=2y/3c,求ABC的面積.

【答案】（1）4=30°；（2）至叵.

14

【分析】（1）由0=次0$8+屜sinA利用正弦定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式、和角公式可得

sinBcosA=6sinBsinA＞求出tanA=且可求角A的大??；

3

25

（2）利用。=5,〃=2反，結(jié)合（1）根據(jù)余弦定理列方程求出。2=亍，再利用三角形面積公式可求ABC

的面積.

【詳解】（1）因?yàn)閏=acos3+G”sinA，

所以，由正弦定理可得：

sinC=sinAcos8+GsinBsinA，

sin（A+-sinAcosB=6sinBsinA

sinBcosA=V3sinBsinA

Vsin8w0,tanA=——

3

因?yàn)?<A<〃，.??A=30。

b1-Vc1-a112c2+c2-2573

(2)cosA=

2bc46c2-2

,,,25

26?-50=12c2-14c2=50，c2"=—

c「41。A2162525V3

5=-OcsinA=-x2,3cx—=----x—=-------.

2222714

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角,

求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）

證明化簡(jiǎn)過程中邊角互化：（4）求三角形外接圓半徑.

18.如圖，在四棱錐P—A8C。中，PD_L平面A8CD,四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),

PD=CD=2BC.

13

（1）證明：PA//平面BDE；（2）求二面角E一%）一。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）亞

6

【分析】（1）連接AC交于。，得到QE〃Q4,結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得24〃平面8OE.

（2）以。為原點(diǎn)，分別以D4，DC，￡>P的方向?yàn)閤軸，N軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平

面3DE的一個(gè)法向量￡和平面BCD的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）連接AC交30于0,在中，。，E為中點(diǎn)，所以0E〃巳4,

因?yàn)镺Eu平面BDE，B4（Z平面BOE，所以B4〃平面BDE.

（2）以。為原點(diǎn)，分別以D4，DC-DP的方向?yàn)椋ポS，>軸，z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)PD=2,則E（0,l,l）,8（120）,且OE=（0,l,l），05=（1,2,0）,

y+z=0

設(shè)平面BOE的法向量為“=（x,y,z）,滿足〈「八取y=L則

[x+2^=0

HI

因?yàn)镻O_L平面ABC。，所以可以取平面BCD的一個(gè)法向量為々=（0,0,1）,

可得cos（勺，&）=+=普，所以二面角￡一3。一。的余弦值為四.

【點(diǎn)睛】利用空間向量計(jì)算二面角的常用方法:

14

1、法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)法向量的夾角得到二面角的大小,

但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?/p>

2、方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的

大小就是二面角的大小.

19.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足片+24=45.，〃€底.

（1）求證：數(shù)列｛凡｝為等差數(shù)列;

（2）若勿一2%,求數(shù)列｛勿｝的前八項(xiàng)和7；.

-2"+'+2n2+2n+2,n<4

【答案】（1）證明見解析:⑵丁,尸

2向—2〃2-2〃+18,”>4

【分析】（1）當(dāng)〃22時(shí)，得到a3+2《i=4S,i，作差得到?！耙灰?2,進(jìn)而得到數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列;

（2）由（1）可得%=2〃，得到4〃|,進(jìn)而得到“W4時(shí)，可得％40,〃>4時(shí)，可得4>0，

分類討論即可求解.

【詳解】（1）由題意，正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足a；+2a“=4S”，

當(dāng)2,a：T+2a,i=4S,i，

作差可得a；+2a“一2a?_,=4S?-4S?,l=4a?（n>2）,

整理得（a“一）（a“+a?_l）=2（a?+,

所以。“一?！ㄒ籭=2（〃之2）,

當(dāng)〃=1時(shí)，q；+2q=4q,所以4=0或2,

因?yàn)?>0,所以a1=2,

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為等公差的等差數(shù)列.

（2）由⑴可得a“=2〃，所以仇=|2"-4小

當(dāng)〃44時(shí)，可得即包=4〃-2"；

當(dāng)〃>4時(shí)，可得以>0,即2=2"-4〃,

當(dāng)〃<4時(shí)，T?=I'+世）_2（1二2"）=一2川+2/+2般+2；

"21-2

當(dāng)〃>4時(shí)，（?=一S]+4+&+力4）+也+/++2）

=（4++4+d+〃5+”6++"〃）-2sl+%+"3+”4）

15

=2（1-2"）_〃（4+4〃）_=2日一2/一2〃+18，

1-224

\-2n+'+2n1+2n+2,n＜4

所以"一［2'm—2〃2—2〃+18,〃〉4?

【點(diǎn)睛】分組求和的解題策略：

1、一個(gè)數(shù)列的的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分

別求和后相加減；

2、分組轉(zhuǎn)化求和的常見類型：①若數(shù)列滿足（為等差或等比數(shù)列），可分組求和；②若（為等差或等比

數(shù)列），可分組求和.

20.四棱柱—中，底面ABCD為平行四邊形，平面4加?！?，平面ABC。，AC1CD,

。為AO中點(diǎn)，AA=AO=AO=2,ZABC=60°.

（1）求證：8,平面AOG；

（2）求G。與平面AC。所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

10

【分析】（1）證明結(jié)合AC_LCO,說明AG^CO,然后證明CQ1平面；

（2）以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系求出平面4m的法向量，求出6），利用空間

向量的數(shù)量積求解G。與平面AC。所成角的正弦值.然后求解余弦值.

【詳解】（1）由已知。為中點(diǎn)，所以A,OJ_A。，

所以4。，平面4BC￡＞，COu平面A8CD，所以

又因?yàn)锳C_LCD，AC//A.C,,所以AGJ.CD,\OAG=4

所以CD_L平面AQG

（2）以。為原點(diǎn)，以4。為z軸，C￡＞的平行線Ox為x軸，AC的平行線Qy為＞軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

16

4(O,O,>A).C；，與o,D-g，孚。

/rr、

AC=,學(xué)=(—1,0,0),%=(o,6,@

一M

cy

X

設(shè)平面\CD的法向量n=(x,y,z)

—x-\-^—y—yfiz=0/nc1\

22,/?=(0,2,1)

-x=0

/.sin0=|cos^/i,OC[)=

..cos0—-----

10

G。與平面4co所成角的余弦值典.

10

21.已知函數(shù)/(x)nx—e"'(aeR).

(1)若。=1,求函數(shù)〃x)在尤=0處的切線；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)芭，x2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明：％+々>2.

【答案】(1)(e-l)x+y+e=0；(2)a<-\，證明見解析.

【分析】(1)求得。=1時(shí)/(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的斜截式方程可得所求切線的方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x-/nr+a,與函數(shù)f(x)具有相同的零點(diǎn)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得g(x)的范圍，由題意

可得g(1)<0,解得。的范圍；方法一、構(gòu)造函數(shù)尸(x)=g(x)-g(2-x),(l<x<2),求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)

性，即可得證；方法二、運(yùn)用分析法證明，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求單調(diào)性和最值，即可得證.

【詳解】(1)f(x)=x—的導(dǎo)數(shù)為r(x)=l-e"'，

則函數(shù)fM在x=0處的切線斜率為l—e,

17

又切點(diǎn)為(0,—e),

則切線的方程為y=(l-e)x-e,即(e-l)x+y+e=O；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x-/nr+a,與函數(shù)f(x)具有相同的零點(diǎn)，

Y—1

g\x)=——，知函數(shù)g(x)在(0,1)上遞減，(1,+8)上遞增，

X

當(dāng)x->0,g(x)f+00；

可證當(dāng)xe(0,+°o)時(shí)，bvccx-L即一加x=，一1,

xx

即此時(shí)^(x)=x-Inx+a<x+-+a-\,

x

當(dāng)X—>+00時(shí)，g(x)f+oo,

/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需g(1)<0,即。<一1；

證明：方法一:設(shè)函數(shù)F(x)=g(%)-g(2-x),(l<x<2)

則F(x)=2x-2-Inx+ln(2-x),

且尸(x)=2d[<0對(duì)xe(1,2)恒成立

x(x-2)

即當(dāng)xw(l,2)時(shí)，E(x)單調(diào)遞減，此時(shí)，F(xiàn)(x)<F(1)=0,

即當(dāng)xe(1,2)時(shí)，g(x)<g(2-x),

由已知0<Xi<1，則2-玉?1,2),

則有g(shù)(2-X|)<g(2-2+X1)=g(X1)=g(X2)

由于函數(shù)g(x)在(l,+°o)上遞增，即2-占<%2，

即％+W>2.

方法二：故為一玉=/3一/g=/"-1.

設(shè)2=f,則r>l,且，%2-=枕[,,解得西I=nt一，

X,，%+工2=-----—

玉x2-x}-Intt-iaI

要證：3+&=C>2,即證明(r+l)/〃r>2(r—l),

即證明0+1)/“一2r+2>0,

設(shè)g?)=Q+l)/川一2/+2Q>l),g'?)=/w+；—l,

令%Q)=g"),(￡>1),則"")=*>(),