第8講 數(shù)學廣角-數(shù)與形【高頻考點+典例精析+易錯精練】人教版小學六年級數(shù)學上冊期末易錯高頻考點精講精練

第8講數(shù)學廣角--數(shù)與形每幅圖的圓點總數(shù)都可以看作是兩個相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來表示。1＋3=22，1＋3＋5=32，1＋3＋5＋7=42得出：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的平方?！纠?】（2022秋?汝州市校級期中）找規(guī)律，再接著畫5個圖形?！痉治觥坑^察可得排列規(guī)律是，從左往右1三角形1長方形1圓；2三角形1長方形1圓，3三角形1長方形1圓，……每一組的三角形依次增加1個，長方形和圓的個數(shù)是1個不變。【解答】解：【點評】仔細觀察，比較總結(jié)出規(guī)律是解決本題的關鍵。【例2】．（2022秋?漢川市期中）（1）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子枚。（用含n的代數(shù)式表示）（2）用第（1）題中的式子計算第22個圖形中有多少枚黑色棋子?！痉治觥拷鉀Q這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?）第一個圖需棋子4枚第二個圖需棋子4+3＝7（枚）第三個圖需棋子4+3+3＝10（枚）第n個圖需棋子4+3（n﹣1）＝（3n+1）（枚）。（2）3×22+1＝66+1＝67（枚）答：第22個圖形中有67枚黑色棋子?！军c評】以題考查了常量與變量，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力?！纠?】（2021秋?滄州期末）某體育館用大小相同的正方形木塊鋪地面，第一次鋪2塊（如圖①）；以后每次都把前面一次鋪的完全圍起來（如圖②、圖③），以此類推。（1）鋪了五次后一共用了多少塊木塊？（2）鋪了10次后一共用了多少塊木塊？【分析】首先結(jié)合題意，對于每一次拼出的圖中長方形個數(shù)以列式的形式統(tǒng)計：①1×2；②（1+2）×（2+2）；③（1+2×2）×（2+2×2）；……，⑤（1+2×4）×（2+2×4）；……；⑩（1+2×9）×（2+2×9），據(jù)此答題即可。【解答】解：（1）2×5×（2×5﹣1）＝10×9＝90（塊）答：鋪了五次后一共用了90塊木塊。（2）2×10×（2×10﹣1）＝2×10×19＝380（塊）鋪了10次后一共用了380塊木塊?！军c評】本題考查了圖形的變化類問題，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和總結(jié)能力。從2起連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)個數(shù)的平方加偶數(shù)個數(shù)，即（n2＋n），或等于偶個數(shù)乘比偶數(shù)個數(shù)大1的數(shù)，即n×（n＋1）?！纠?】（2020秋?馬山縣期中）請把你猜想的結(jié)果填在橫線上．9×6＝54；99×96＝9504；999×996＝995004；9999×9996＝；99999×99996＝．【分析】首先計算出99乘96得到9504，999乘996得到995004，則發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩個因數(shù)每增加一個9，則結(jié)果相應的前面增加一個9，中間增加一個0；照此規(guī)律，依次寫出，即可得解．【解答】解：9×6＝54，99×96＝9504，999×996＝995004，9999×9996＝99950004，99999×99996＝9999500004，故答案為：99950004，9999500004．【點評】認真觀察，找出規(guī)律是解決此題的關鍵．【例5】（2022?杭州模擬）按規(guī)律填?！痉治觥可厦嬉恍袌D形每3個一循環(huán)，按正方形、圓、星星的順序排列；下面一組數(shù)左下的數(shù)加上面的數(shù)等于右下的數(shù)?！窘獯稹拷猓喝鐖D：【點評】通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力。【例6】（2022?杭州模擬）選取5個不相同的數(shù)字，先組成最大的五位數(shù)和最小的五位數(shù)，再計算出它們的差。如：54321﹣12345＝98765﹣56789＝65432﹣23456＝75432﹣23457＝照樣子再寫三組，算一算，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？我的發(fā)現(xiàn)?！痉治觥咳我膺x擇5個不同的數(shù)字，先按照從大到小的順序放在高位，組成一個最大的五位數(shù)。再按照從小到大的順序放在低位，組成一個最小的五位數(shù)。再用最大的五位數(shù)減去最小的五位數(shù)求出差，觀察所得的差，找出規(guī)律即可。【解答】解：54321﹣12345＝4197698765﹣56789＝4197665432﹣23456＝4197675432﹣23457＝5197587654﹣45678＝4197675321﹣12357＝6296464321﹣12346＝51975我發(fā)現(xiàn)，差的萬位和個位上的數(shù)字和都是10，千位和十位上的數(shù)字都是8，百位上的數(shù)字都是9。（答案不唯一）故答案為：差的萬位和個位上的數(shù)字和都是10，千位和十位上的數(shù)字都是8，百位上的數(shù)字都是9。【點評】本題關鍵是寫出最大和最小的數(shù)以及找出規(guī)律。在數(shù)的組成上，要使數(shù)最大，大數(shù)字要放到高位上，反之，大數(shù)字要放到低位上。找規(guī)律時，可以嘗試找差中各個數(shù)字之間的關系，也可以找出差與被減數(shù)、減數(shù)之間的關系。一．選擇題（共8小題）1．（2018?長沙）將化成小數(shù)后，小數(shù)點后第2013位上的數(shù)字是（）A．2 B．4 C．3 D．82．（2015秋?昆明期中）循環(huán)小數(shù)5.6767…的小數(shù)部分第五十位上的數(shù)字是（）A．6 B．7 C．53．（2016?廣州）一列數(shù)1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中的第34個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．94．（2021春?寧化縣期末）找規(guī)律7、13、19、25、（）A．13 B．31 C．295．（2021秋?秦淮區(qū)期末）四個杯子疊起來高20cm，六個杯子疊起來是26cm。n個杯子疊起來的高度可以用下面（）個關系式來表示。A．6n﹣10 B．3n+11 C．6n﹣4 D．3（n﹣1）+116．（2021秋?西城區(qū)期末）3×0.5＝1.53.3×3.5＝11.553.33×33.5＝111.555……_______＝111111.555555按照上面的規(guī)律，橫線上應填（）A．3.3333×3333.5 B．3.33333×333333.5 C．3.33333×33333.5 D．3333.3×33333.57．（2021秋?舞鋼市期末）根據(jù)規(guī)律算一算：2+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝4×5……2+4+6+……+20＝（）A．7×8 B．8×9 C．9×10 D．10×118．（2021秋?鐵西區(qū)期末）仔細分析，第7個圖形一共有（）個小三角形。A．25 B．49 C．64 D．36二．填空題（共8小題）9．（2021秋?鎮(zhèn)安縣期末）按規(guī)律填數(shù)：4，2，1，，．10．（2022春?沭陽縣期中）一只小貓吃一條魚用4分鐘，10只小貓同時吃魚，每只小貓吃一條，需要分鐘。11．（2022?武昌區(qū)）如圖，用小棒擺小魚圖案，照這樣的規(guī)律擺下去，擺到第7個圖案需要根小棒。12．（2022?臨縣）如圖是用黑棋子擺成的“T”自字形。擺成第1個“T”字形需要5枚黑棋子，擺成第2個“T”字形需要8枚黑棋子，擺成第3個“T”字形需要11枚黑棋子，…，照這樣擺下去，擺成第6個“T”字形需要枚黑棋子，擺成第個“T”字形需要50枚黑棋子。13．（2021秋?尚義縣期末）已知1÷9＝0.，2÷9＝0.，3÷9＝0.，那么下面算式的橫線上應填什么？÷9＝0.÷9＝0.14．（2021秋?蠡縣期末）請找出規(guī)律了，再按規(guī)律填數(shù)．6.25、2.5、1、、0.16、．15．（2022?九江）將化成小數(shù)后，小數(shù)點后第1980位上的數(shù)字是．16．（2021秋?虎林市期末）根據(jù)81÷9＝9、88.2÷9＝9.8、88.83÷9＝9.87、88.884÷9＝9.876、88.88886÷9＝。三．判斷題（共5小題）17．算式：9×6＝54，99×96＝9504。通過這兩個算式不用計算就可以得出999×996的積。（判斷對錯）18．（2019春?鐵西區(qū)期末）按照規(guī)律填數(shù)：1，2，4，7，11，（）。括號里應該填16。（判斷對錯）19．（2021秋?陵城區(qū)期中）1除以111的商的小數(shù)部分第15位數(shù)字是0．（判斷對錯）20．．21．（2018秋?和平區(qū)期末）如圖這樣放三角形積木，如果最下層放19塊積木，共需放72塊積木。（判斷對錯）四．應用題（共7小題）22．（2021春?富陽區(qū)期中）工人叔叔要堆放木材，如果最上面一層放1根，第二層放2根，第三層放3根，按這樣的規(guī)律，這堆木材一共有20層，一共有多少根木材？23．按照前兩組的規(guī)律填數(shù)，你知道第三組的“？”處應該填幾嗎？24．在計算一個數(shù)與15相乘時，有一種簡便的算法﹣﹣“加半添0”法．例如，計算24×15，先用24的一半（即12）與24相加，得36；再在36的末尾添一個0，得360．你能用這種方法計算下面各題嗎？26×1528×1532×1548×1525．1、4、7、10、13、…這個數(shù)列中，有6個連續(xù)數(shù)字的和是159，那么這6個數(shù)中最小的是幾？26．有一本漫畫書共27頁，插圖和文字按頁排列為文、文、圖、圖、圖、文、文、圖、圖、圖、文……照這樣計算，這本書共有多少頁插圖？27．（2021秋?泰寧縣期末）把一些同樣大小的圓柱形物體分別捆成如圖（從底面方向看）的形狀，圖中每個圓的直徑都為3厘米。（1）像這樣繼續(xù)捆下去，第④組至少需要cm的繩子。請說明理由。（2）按照這樣的方法繼續(xù)捆下去，捆n組至少需要cm的繩子。28．根據(jù)如圖箭頭所示的方向和圖中的數(shù)字寫出88與98之間的數(shù)字是多少？

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【分析】先把化成小數(shù)，＝0.4285，它每6個數(shù)字一個循環(huán)，用2013除以6，再根據(jù)它的商和余數(shù)確定2013位上的數(shù)．【解答】解：＝0.4285，它每6個數(shù)字一個循環(huán)：1、4、2、8、5、7；2013÷6＝335…3余數(shù)是3，所以小數(shù)點后第2013位上的數(shù)字是2；故選：A．【點評】本題的關鍵是把化成小數(shù)后，再根據(jù)它的小數(shù)部分循環(huán)節(jié)的位數(shù)，去除2013，然后再根據(jù)商和余數(shù)確定第2013位上的數(shù)字是幾．2．【分析】循環(huán)小數(shù)5.6767…的小數(shù)部分0.的循環(huán)節(jié)，即一個6一個7，第1、3、5、7…奇數(shù)位上是6，第2、4、6、8…偶數(shù)位上是7，第50位上是偶數(shù)位，所以是數(shù)字7．【解答】解：循環(huán)小數(shù)5.6767…的小數(shù)部分第五十位上的數(shù)字是7；故選：B．【點評】觀察循環(huán)小數(shù)的特點，找到規(guī)律，然后求解．3．【分析】從這組數(shù)可以得出規(guī)律，當數(shù)為n時，則共有n個n，所以第35個數(shù)為n，則1+2+3+…+n﹣1＜34＜1+2+3+…+n，可以求出n【解答】解：根據(jù)規(guī)律，設第34個數(shù)為n，則1+2+3+…+n﹣1＜34＜1+2+3+…+n，所以＜34＜；所以n＝8．故選：C．【點評】通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力．4．【分析】查看7、13、19、25……發(fā)現(xiàn)規(guī)律，后一項比前一項多6。據(jù)此答題即可?！窘獯稹拷猓航?jīng)分析得：25+6＝31則得出：7、13、19、25、31。故選：B?！军c評】本題考查數(shù)中的找規(guī)律問題。找到共同特征解決問題即可。5．【分析】因為四個杯子疊起來高20cm，六個杯子疊起來是26cm，第一個杯口到第二杯口之間的高度為（26﹣20）÷2＝3（cm），所以一個杯子從杯底到杯口的高度為20﹣3×3＝11（cm），所以n個杯子疊起來的高度為（n﹣1）個第一個杯口到第二杯口之間的高度加上一個杯身的高度，即[3（n﹣1）+11]（cm）。【解答】解：（26﹣20）÷2＝3（cm），20﹣3×3＝11（cm），n個杯子疊起來的高度可以用[3（n﹣1）+11]cm來表示。故選：D。【點評】本題考查數(shù)和形中的找規(guī)律問題。找到共同特征解決問題即可。6．【分析】第一個因數(shù)的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分3的個數(shù)與第二個因數(shù)整數(shù)部分3的個數(shù)，以及積的整數(shù)部分的1的個數(shù)相同。積的小數(shù)部分5的個數(shù)比整數(shù)部分1的個數(shù)多1。據(jù)此解答。【解答】解：3.33333×33333.5＝11111.555555故選：C。【點評】本題主要考查“式”的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)式子中3，1，5的個數(shù)之間的關系是解本題的關鍵。7．【分析】首先觀察并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后結(jié)合規(guī)律寫出最終結(jié)果，選出答案即可。結(jié)合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5發(fā)現(xiàn)規(guī)律：有幾個數(shù)相加，則結(jié)果的第一個乘數(shù)就為幾，第二個乘數(shù)為幾加一；2+4+6+……+20一共有10個數(shù)相加，則結(jié)果為10×（10+1）＝10×11。【解答】解：2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5……2+4+6+……+20＝10×（10+1）＝10×11故選：D。【點評】本題考查式中的規(guī)律。找到共同特征解決問題即可。8．【分析】第一個圖中有1個小三角形，1＝1×1，第二個圖形有4個小三角形，4＝2×2，第三個圖形有9個小三角形，9＝3×3，第四個圖形中有16個小三角形，16＝4×4，……第7個圖形中小三角形的個數(shù)為：7×7。【解答】解：7×7＝49（個）答：第7個圖形一共由49個小三角形組成。故選：B?！军c評】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，找到圖形與小三角形個數(shù)之間的關系是解本題的關鍵。二．填空題（共8小題）9．【分析】由所給數(shù)列的數(shù)得出：依次除以2，據(jù)此解答即可．【解答】解：由分析得出：4、2、1、、．故答案為：．【點評】解決本題的關鍵是找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律寫數(shù)．10．【分析】一只小貓吃一條魚用4分鐘，10只小貓同時吃，每只小貓吃一條；由于是同時吃的，所以需要的時間與一只小貓吃魚的時間相等。據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓阂恢恍∝埑砸粭l魚用4分鐘，10只小貓同時吃魚，每只小貓吃一條，需要4分鐘。故答案為：4?！军c評】解答本題的關鍵是理解“同時吃魚”的意思。11．【分析】擺第1個圖案需要8根小棒，即6×1+2；擺第2個圖案需要14根小棒，即6×2+2；擺第3個圖案需要20根小棒，即6×3+2；……擺第7個圖案需要的小棒數(shù)為：6×7+2?！窘獯稹拷猓?×7+2＝42+2＝44（根）答：擺到第7個圖案需要44根小棒。故答案為：44?！军c評】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每多1個圖案就多6根小棒是解本題的關鍵。12．【分析】擺成第1個“T”字形需要5枚黑棋子，即3×1+2；擺成第2個“T”字形需要8枚黑棋子，即3×2+2；擺成第3個“T”字形需要11枚黑棋子，即3×3+2；……擺成第n個“T”字形需要的黑棋子個數(shù)為：3n+2?！窘獯稹拷猓河煞治隹芍?，擺成第n個“T”字形需要的黑棋子個數(shù)為：3n+2。當n＝6時，3×6+2＝18+2＝20（個）3n+2＝503n＝48n＝16答：擺成第6個“T”字形需要20枚黑棋子，擺成第16個“T”字形需要50枚黑棋子。故答案為：20，16?！军c評】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每多1個“T”字形就多3枚黑棋子是解本題的關鍵。13．【分析】看清題目，理解題目的意思，從題目中可以看出要知道1÷9＝0.，2÷9＝0.，3÷9＝0.，根據(jù)這個規(guī)律可以直接解答，注意解答的準確性，最后檢查?！窘獯稹拷猓?÷9＝0.，8÷9＝0.故答案為：5，8?！军c評】主要考查應用規(guī)律解決實際問題的能力，解決問題的關鍵是要知道算式中的規(guī)律，根據(jù)這個規(guī)律可以直接解答，注意解答的準確性，最后檢查。14．【分析】根據(jù)已知的三個數(shù)可得排列規(guī)律：從6.25開始每次縮小2.5倍；據(jù)此解答．【解答】解：1÷2.5＝0.4，0.4÷2.5＝0.16，0.16÷2.5＝0.064；故答案為：0.4，0.064．【點評】數(shù)列中的規(guī)律：關鍵是根據(jù)已知的式子或數(shù)得出前后算式或前后數(shù)之間的變化關系和規(guī)律，然后再利用這個變化規(guī)律再回到問題中去解決問題．15．【分析】先把化成小數(shù)，＝＝0.4285，它每6個數(shù)字一個循環(huán)，用1980除以6，再根據(jù)它的商和余數(shù)確定1980位上的數(shù)．【解答】解：＝＝0.4285，它每6個數(shù)字一個循環(huán)，1980÷6＝330因1980正好能被6整除，所以小數(shù)點右第1980位上的數(shù)字是7．故答案為：7．【點評】本題的關鍵是把分數(shù)化成小數(shù)后，再根據(jù)它的小數(shù)部分循環(huán)節(jié)的位數(shù)，化成周期性問題，然后再根據(jù)商和余數(shù)確定第198位上的數(shù)字是幾．16．【分析】除法運算中，除數(shù)不變，被除數(shù)增加，商增大。從題中可以看出，從上到下，除數(shù)都是9；被除數(shù)的整數(shù)部分都是兩位，被除數(shù)的末位依次是1、2、3……，按次序遞增1，其余數(shù)字均為8，末位是幾，被除數(shù)中就有幾個8；商的整數(shù)部分都是9，商的末位依次是9、8、7……按次序遞減1，被除數(shù)的末位數(shù)字與商的末位數(shù)字之和為10?！窘獯稹拷猓焊鶕?jù)81÷9＝9、88.2÷9＝9.8、88.83÷9＝9.87、88.884÷9＝9.876、88.88886÷9＝9.87654。故答案為：9.87654?！军c評】本題主要考查“式”的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)式子中被除數(shù)，除數(shù)，商之間的關系是解本題的關鍵。三．判斷題（共5小題）17．【分析】算式：9×6＝54，99×96＝9504。規(guī)律還沒有成型，所以無法判斷999×996的積。據(jù)此答題即可。【解答】解：經(jīng)分析得：結(jié)合算式9×6＝54，99×96＝9504還無法判斷出規(guī)律。故無法通過這兩個算式不用計算就可以得出999×996的積。故題干說法錯誤。故答案為：×?！军c評】本題考查式中的找規(guī)律問題。無法找到共同特征，則無法結(jié)合規(guī)律解題。18．【分析】從題干中的數(shù)列發(fā)現(xiàn)：從第一個數(shù)起，相鄰兩數(shù)之間依次加上1，2，3，4，……據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓?1+5＝16所以原說法正確。故答案為：√。【點評】本題的關鍵是根據(jù)給出的數(shù)列，找出數(shù)與數(shù)之間的關系，總結(jié)規(guī)律，再由規(guī)律解決問題。19．【分析】先求出1除以111的商，看它的循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)，再根據(jù)“周期”問題，用15除以循環(huán)節(jié)的位數(shù)，如果能整除，則是循環(huán)節(jié)的末位上的數(shù)字，如果不能整除，余數(shù)是幾，計算循環(huán)節(jié)的第幾位上的數(shù)字．由此解答．【解答】解：1÷111＝0.009009…，循環(huán)節(jié)是009，三位，15÷3＝5，所以商的小數(shù)部分第15位數(shù)字是9．故答案為：×．【點評】此題主要考查算術(shù)中的規(guī)律，以及根據(jù)“周期問題”判斷循環(huán)小數(shù)的某一位上數(shù)字是幾的方法．20．【分析】按前三組圖形的排列規(guī)律，是正方形、三角形、圓；第四組排列應是正方形、三角形、圓．【解答】解；按前三組圖形的排列規(guī)律，是正方形、三角形、圓；第四組排列應是正方形、三角形、圓，而它的排列是三角形、正方形、圓．故答案為：×．【點評】此題考查了數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，注意發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．21．【分析】圖1：1+3＝4；圖2：1+3+5＝9；圖3：1+3+5+7＝16。結(jié)合規(guī)律可知：如果最下層放19塊積木，共需放積木的塊數(shù)為：1+3+5+……+19＝（1+19）×19÷2，計算出結(jié)果判斷即可?！窘獯稹拷猓?+3+5+……+19＝（1+19）×19÷2＝20÷2×19＝10×19＝190故答案為：×?！军c評】本題考查數(shù)和形中的找規(guī)律問題。找到共同特征解決問題即可。四．應用題（共7小題）22．【分析】因為每一層都比上一層多1根，這堆木材形似梯形，上底為1，下底為20，高為20，利用梯形面積＝（上底+下底）×高÷2可求出這堆木材的根數(shù)?！窘獯稹拷猓海?+20）×20÷2＝21×20÷2＝420÷2＝210（根）答：一共有210根木材?！军c評】此題重點考查利用梯形面積公式求等差數(shù)列的和。23．【分析】左下角、右下角以及中間這三個數(shù)的和等于最上面那個數(shù)，據(jù)此求解即可?！窘獯稹拷猓?5+18+30＝53+30＝83【點評】解答此題的關鍵是，根據(jù)所給出的數(shù)列的數(shù)的特點，找出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決問題。24．【分析】根據(jù)巧算的方法：“加半添0”法解答即可．【解答】解：26÷2+26＝39所以26×15＝39028÷2+28＝42所以28×15＝42032÷2+32＝48所以32×15＝48048÷2+48＝72所以48×15＝720【點評】解答此題的關鍵是找出算式之間數(shù)與數(shù)的關系，得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決問題．25．【分析】據(jù)題意可知，這個數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，由此可設這6個數(shù)中最小的數(shù)為x，則后邊5個數(shù)與第一個數(shù)的差分別為3，6，…15，又因為有6個連續(xù)