小學(xué)奧數(shù)-三角形的等積變形(附答案)

小學(xué)奧數(shù)三角形的等積變形我們已經(jīng)掌握了三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底×高÷2這個(gè)公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積．如果三角形的底不變，高越大〔小〕，三角形面積也就越大〔小〕．同樣假設(shè)三角形的高不變，底越大〔小〕，三角形面積也就越大〔小〕．這說(shuō)明；當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化．但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化．比方當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化．同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀．本講即研究面積相同的三角形的各種形狀以及它們之間的關(guān)系．為便于實(shí)際問(wèn)題的研究，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等．②底在同一條直線(xiàn)上并且相等，該底所對(duì)的角的頂點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)或在與底平行的直線(xiàn)上，這兩個(gè)三角形面積相等．③假設(shè)兩個(gè)三角形的高〔或底〕相等，其中一個(gè)三角形的底〔或高〕是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍．，它們所對(duì)的頂點(diǎn)同為A點(diǎn)，〔也就是它們的高相等〕那么這兩個(gè)三角形的面積相等．同時(shí)也可以知道△ABC的面積是△ABD或△AEC面積的3倍．例如在右圖中，△ABC與△DBC的底相同〔它們的底都是BC〕，它所對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)A、D在與底BC平行的直線(xiàn)上，〔也就是它們的高相等〕，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．例如右圖中，△ABC與△DBC的底相同〔它們的底都是BC〕，△ABC的高是△DBC高的2倍〔D是AB中點(diǎn)，AB=2BD，有AH=2DE〕，那么△ABC的面積是△DBC面積的2倍．上述結(jié)論，是我們研究三角形等積變形的重要依據(jù)．例1用三種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形．方法2：如右圖，先將BC二等分，分點(diǎn)D、連結(jié)AD，得到兩個(gè)等積三角形，即△ABD與△ADC等積．然后取AC、AB中點(diǎn)E、F，并連結(jié)DE、DF．以而得到四個(gè)等積三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等積．例2用三種不同的方法將任意一個(gè)三角形分成三個(gè)小三角形，使它們的面積比為及1∶3∶4．方法1：如下左圖，將BC邊八等分，取1∶3∶4的分點(diǎn)D、E，連結(jié)AD、AE，從而得到△ABD、△ADE、△AEC的面積比為1∶3∶4．DE，從而得到三個(gè)三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面積比為1∶3∶4．當(dāng)然此題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決．例3如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對(duì)角線(xiàn)，其交點(diǎn)O，求證：△AOB與△COD面積相等．證明：∵△ABC與△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4如右圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形．分析此題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等．我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，把頂點(diǎn)A移到CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的A′處，△A′BD與△ABD面積相等，從而△A′DC面積與原四邊形ABCD面積也相等．這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形△A′DC．問(wèn)題是A′位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原那么．過(guò)A作一條和DB平行的直線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于A′點(diǎn)．解：①連結(jié)BD；②過(guò)A作BD的平行線(xiàn)，與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于A′．③連結(jié)A′D，那么△A′CD與四邊形ABCD等積．例5如右圖，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．假設(shè)△ADE的面積為1平方厘米．求三角形ABC的面積．解法1：連結(jié)BD，在△ABD中∵BE=3AE，∴S△ABD=4S△ADE=4〔平方厘米〕．在△ABC中，∵CD=2AD，∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12〔平方厘米〕．解法2：連結(jié)CE，如右圖所示，在△ACE中，∵CD=2AD，∴S△ACE=3S△ADE=3〔平方厘米〕．在△ABC中，∵BE=3AE∴S△ABC=4S△ACE=4×3=12〔平方厘米〕．例6如下頁(yè)圖，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：連結(jié)BG，在△ABG中，∴S△ADG+S△BDE+S△CFG例7如右圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果△ADE的面積為4平方厘米．求三角形CDF的面積．解：連結(jié)AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC與EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴S△ADE=S△CDF=4〔平方厘米〕．例8如右圖，四邊形ABCD面積為1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四邊形EFGH的面積．解：連結(jié)BD，將四邊形ABCD分成兩個(gè)局部S1與S2．連結(jié)FD，有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2〔S1+S2〕=2×1=2．同理，連結(jié)AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四邊形EFGH的面積為2+2+1=5〔平方單位〕．例9如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線(xiàn)CF交AB于E，交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于F，假設(shè)S△ADE=1，求△BEF的面積．解