信號(hào)與系統(tǒng)-2017-第6章

第6章離散系統(tǒng)的Z域分析哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程系專(zhuān)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課6.1Z變換6.2Z反變換6.3Z變換的性質(zhì)6.4離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析6.5離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域模擬圖

第6章離散系統(tǒng)的Z域分析z變換的地位和作用類(lèi)似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換，利用變換把差分方程變換為代數(shù)方程，從而使離散系統(tǒng)的分析較為簡(jiǎn)便。本章主要介紹和討論變換的定義及其性質(zhì)；離散系統(tǒng)變換分析法；離散系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)穩(wěn)定性等概念6.1.1Z變換的定義及其收斂域離散序列Z變換定義為

(6.1.1)即是的一個(gè)冪級(jí)數(shù)，其中的系數(shù)就是的值。式(6.1.1)稱為離散序列的Z變換定義式，可記為（6.1.2）

6.1Z變換

一個(gè)連續(xù)函數(shù)以均勻間隔進(jìn)行抽樣后的函數(shù)可以表示為 抽樣后的離散序列的拉普拉斯變換為

（6.1.3） 令或

，則

（6.1.4） 由此可見(jiàn)，離散信號(hào)的Z變換式在本質(zhì)上仍然是離散信號(hào)的拉普拉斯變換。 變換定義式（6.1.1）稱為雙邊z變換。單邊z變換定義為

（6.1.5） 工程實(shí)際的應(yīng)用主要考慮單邊的z變換。一般地，稱為序列的象函數(shù)；稱為的原函數(shù)。 若已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù)可由下式確定

（6.1.6） Z變換對(duì)變換關(guān)系可表示為

Z變換對(duì)又可簡(jiǎn)記為

由式（6.1.4）可以看到，由于s是拉普拉斯變換中的復(fù)頻率，T為抽樣間隔，所以z

為一復(fù)數(shù)，它必可表示在一個(gè)復(fù)平面內(nèi)，這個(gè)復(fù)平面稱為Z平面。

絕對(duì)收斂的區(qū)域滿足條件為:6.1.1Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系

Z平面和S平面的映射關(guān)系

從式知道，s

和z的關(guān)系是

或（6.1.6）

如果將s表示為直角坐標(biāo)形式

將z表示為極坐標(biāo)形式

將它們代入式（6.1.6）中，得到（6.1.7）（6.1.8）

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令

，則 由上式可以表明S平面與Z平面有如下映射關(guān)系： （1）S平面的虛軸（σ=0，s=jω）映射到Z平面是單位圓（R=1）； （2）S平面的左半平面（σ<0）映射到Z平面是單位圓內(nèi)（R<1）；

（3）S平面的右半平面（σ>0）映射到Z平面是單位圓外（R>1）； （4）S平面的實(shí)軸（ω=0，s=σ）映射到Z平面是正實(shí)軸；平行于實(shí)軸的直線（ω為常數(shù)） 映射到Z平面是始于原點(diǎn)的輻射線。

S平面與Z平面的映射關(guān)系如表6.1.2所示。表6.1.2S平面與Z平面的映射關(guān)系6.2Z反變換6.2.1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）6.2.2部分分式展開(kāi)法6.2.3*

圍線積分法（留數(shù)法）6.2.1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）

由Z變換的定義式 可知，是的冪級(jí)數(shù)。當(dāng)已知時(shí)，則只要把按的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，那么級(jí)數(shù)的系數(shù)就是原序列。 在一般情況下，原序列是因果序列（右邊序列），只要將的分子分母多項(xiàng)式按z的降冪排列，然后利用長(zhǎng)除法，可將展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，得到原序列。

【例6.2.1】

求

的反變換

，其收斂域?yàn)椤?解：將

按z的降冪排列成下列形式 做長(zhǎng)除法如右

從而有 即可得

【例6.2.2】

若，試求其反變換。 解：由于指數(shù)函數(shù)可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)為 所以可展開(kāi)為 上式的系數(shù)即為原序列

在離散系統(tǒng)分析中，一般而言，

是有理分式，

即

（6.2.1） 可以像拉普拉斯反變換一樣，先將上式分解為部分分式之和，然后反變換求得原序列。為了便于計(jì)算，可以先將

展開(kāi)成部分分式，然后再對(duì)每個(gè)分式乘以z。 式（6.2.1）中分母多項(xiàng)式的根為極點(diǎn)。下面就不同極點(diǎn)情況介紹部分分式展開(kāi)法。6.2.2部分分式展開(kāi)法

（1）中僅含有單極點(diǎn)

如的極點(diǎn)z1、z2、z3、…、zn都互不相同，則可展開(kāi)為

（6.2.2） 式中，各系數(shù)

（6.2.3） 將求得的系數(shù)代入到式（6.2.2）后，等式兩端同乘以z，得 即可得的反變換為（6.2.4）

【例6.2.3】設(shè)Z變換，求其原序列。 解：

因?yàn)? 故 由式（6.2.3）得

故 對(duì)上式取反變換得 【例6.2.4】

求象函數(shù)的Z反變換 解：首先求出的極點(diǎn)，它是方程的根，所以有兩個(gè)單極點(diǎn) 故可得 由式（6.2.3）可求得 所以有 取上式的反變換得 （2）含有重極點(diǎn) 設(shè)在處有m階極點(diǎn)，則中一定含有如下一項(xiàng) 仿照拉普拉斯反變換的方法，將展開(kāi)為

式中項(xiàng)是由于除z以后自動(dòng)增加了的極點(diǎn)所致。 上式的系數(shù)如下確定：

（6.2.5）式中。各系數(shù)確定以后，則有（6.2.6） 可利用查表的方式得到上式的反變換 （6.2.7） 【例6.2.5】

若試求其反變換。 解：在是二重極點(diǎn),在是單極點(diǎn)，因而展開(kāi)成部分分式為

其中

所以 它的反變換為 （3）含共軛單極點(diǎn) 如果有一對(duì)共軛單極點(diǎn)，則含有共軛極點(diǎn)部分展開(kāi)為 （6.2.8） 將的共軛極點(diǎn)寫(xiě)為指數(shù)形式，即令 式中，令，則可以證明，將代入式（6.2.8），得 即得 其原函數(shù)為 （6.2.9）

【例6.2.6】

若試求其反變換。 解：將展開(kāi)為 其極點(diǎn)分別為 即上式可展開(kāi)為

上式中的各系數(shù)為 將各系數(shù)代入展開(kāi)式，得 其原函數(shù)為

若已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù)可由下式圍線積分確定

右圖為的收斂域圖6.2.1的收斂域6.2.3*

圍線積分法（留數(shù)法） 在收斂域內(nèi)選取一個(gè)閉合路經(jīng)C，由于 在內(nèi)絕對(duì)收斂，所以C的內(nèi)部包圍了全部極點(diǎn)，則根據(jù)復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理有 （6.2.10） 式中Res表示極點(diǎn)的留數(shù)，式（6.2.10）表明，原序列等于收斂域內(nèi)的所有極點(diǎn)的留數(shù)之和。所以該方法也稱為留數(shù)法。

如果在有單極點(diǎn)，則 （6.2.11） 如果在有m重極點(diǎn)，則（6.2.12）

【例6.2.7】

用留數(shù)法求【例6.2.5】中的反變換 解： 它在有單極點(diǎn)，在有二重極點(diǎn)，由式（6.2.11）可求得其在留數(shù)為 由式（6.2.12）可求得其在的留數(shù)為 所以根據(jù)式（6.2.10）得 其結(jié)果與【例6.2.5】完全相同。1線性性質(zhì)2移位特性3尺度變換4初值定理5終值定理6卷積定理6.3Z變換的性質(zhì) Z變換的線性性質(zhì)表現(xiàn)為齊次性和可加性，即 若

則（6.3.1） 式中a和b為任意常數(shù)。相加后序列的變換收斂域一般為兩個(gè)收斂域的重疊部分，如果在這些組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。1線性性質(zhì)

例求序列的z變換。 解：根據(jù)歐拉公式 由線性性質(zhì)，再利用查表6.1.1可得

可以記為

2移位特性雙邊序列f[n],右移m位的單邊z變換證明：由單邊z變換定義令k=n-m，有對(duì)于單邊，z變換有

例3

求的z變換。 解:因?yàn)?/p>

根據(jù)得

例4

求下圖所示矩形序列的z變換。 解:由圖所示，該矩形序列可表示為序列的移位

由于，根據(jù)移位特性，得 由線性性質(zhì)可得 圖所示矩形序列也表示為 故有

例5

求周期為N的單邊周期性單位序列 的z變換。 解:根據(jù)線性特性和移位特性，單邊周期性單位序列的z變換為

設(shè)則乘以指數(shù)序列的z變換為

（6.3.4） 上式表明，若乘以指數(shù)序列的Z變換只要將的變換中的每個(gè)z除以a即可。

3尺度變換

例3

若已知的z變換，求序列的變換。 解:從前面例題可知 根據(jù)尺度變換性質(zhì)可以得到4初值定理 若，則若的終值為 （6.3.6）

注意：為了保證存在，只有當(dāng)時(shí)，收斂才可應(yīng)用.

5終值定理

【例6.3.6】某序列的z變換為試求 解：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 由題意知，原序列為，可見(jiàn)以上結(jié)果是正確的。

設(shè)， 則與卷積和的變換為

（6.3.7）6卷積定理

【例6.3.7】

求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積和。 解：因?yàn)?由卷積定理得 顯然，的收斂域?yàn)榕c的重疊部分，把展開(kāi)成部分分式，得

取其反z變換，即為序列與的卷積和

卷積定理還在求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)非常有用。由于離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列與單位響應(yīng)的卷積和，即 由卷積定理得（6.3.8） 式（6.3.8）中稱為系統(tǒng)函數(shù)，它是單位響應(yīng)的z變換。

【例6.3.8】

已知一離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)和輸入序列，即 試在域求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 解:因?yàn)?由卷積定理，得

將上式展開(kāi)成部分分式可得 取其反變換即得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

Z變換的常用性質(zhì)6.4離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析6.4.1利用Z變換求解差分方程6.4.2離散系統(tǒng)函數(shù)6.4.3離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

線性非時(shí)變離散系統(tǒng)是用常系數(shù)差分方程描述的，而Z變換是求解線性差分方程的最有力工具，它的主要優(yōu)點(diǎn)是：求解步驟簡(jiǎn)明而有規(guī)律，其初始狀態(tài)自然地包含在Z域方程中，可一次性求得方程的全解；Z變換把差分方程變換為代數(shù)方程，求解非常方便。6.4.1利用Z變換求解差分方程

描述k階系統(tǒng)的后向差分方程的一般形式可寫(xiě)為（6.4.1） 根據(jù)單邊z變換的移位特性，右移i個(gè)單位的z變換為（6.4.2） 因是在時(shí)接入的，所以的z變換為 （6.4.3）

將式（6.4.1）兩邊取變換，并把式（6.4.2）、式（6.4.3）代入，得 即可得（6.4.4） 由式（6.4.4）可見(jiàn)，第一項(xiàng)僅與初始狀態(tài)有關(guān)而與輸入無(wú)關(guān)；其第二項(xiàng)僅與輸入有關(guān)而與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。由此取上式的反變換，得系統(tǒng)的全響應(yīng)。

由上述分析可知，利用變換求解系統(tǒng)的差分方程的響應(yīng)一般步驟為： （1）對(duì)給定的差分方程進(jìn)行Z變換，將時(shí)域內(nèi)的激勵(lì)和響應(yīng)分別變換成Z域內(nèi)的激勵(lì)和響應(yīng)。 （2）對(duì)差分方程Z變換后得到的代數(shù)方程求解，求得Z域內(nèi)的響應(yīng)。 （3）對(duì)進(jìn)行反Z變換，即可求的得待求的時(shí)域響應(yīng)。

【例6.4.1】

用變換分析法求解某離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。描述系統(tǒng)的差分方程為 初始條件為和。 解:對(duì)差分方程Z變換，根據(jù)移位特性，可得 則 由給定的初始條件和確定所需的初始條件有

從中解出 將初始條件和代入的式中，整理后可得 將上式進(jìn)行部分分式展開(kāi)，得到 對(duì)進(jìn)行反Z變換，可得零輸入響應(yīng)為

【例6.4.2】

描述某線性離散系統(tǒng)的差分方程為 若輸入激勵(lì)序列為，初始條件，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 解：對(duì)差分方程兩邊取z變換，得到 因?yàn)槌跏紬l件，激勵(lì)序列的z變換為則上述方程變?yōu)?解出，并整理得到

將其進(jìn)行部分分式展開(kāi)，得到 對(duì)進(jìn)行反Z變換，即得到其零狀態(tài)響應(yīng) （1）的概念

（6.4.6）

表明：系統(tǒng)函數(shù)僅決定于系統(tǒng)的差分方程，而與激勵(lì)和響應(yīng)的形式無(wú)關(guān)。6.4.2離散系統(tǒng)函數(shù) 引入系統(tǒng)函數(shù)的概念以后，零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)就可表示為 （6.4.7） 當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)和激勵(lì)的象函數(shù)均已知時(shí)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)隨之可定，即 （6.4.8） 由前面可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是單位響應(yīng)與激勵(lì)的卷積和，即 （6.4.9） 重要結(jié)論:零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)等于系統(tǒng)函數(shù)與激勵(lì)象函數(shù)的乘積。 當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為單位序列時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位響應(yīng)，那么此時(shí)有 故有

顯然或（6.4.10） 可見(jiàn)，系統(tǒng)函數(shù)與單位響應(yīng)構(gòu)成Z變換對(duì)。

【例6.4.4】

已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

試確定該系統(tǒng)的差分方程。 解：將展開(kāi)成如下形式 因此差分方程為

【例6.4.5】

設(shè)有一數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)函數(shù)和單位響應(yīng)； 若激勵(lì)為，求其零狀態(tài)響應(yīng)。 解：（1）求 在零狀態(tài)下對(duì)系統(tǒng)差分方程兩邊取Z變換，得 故

（2）求 由于已經(jīng)求出系統(tǒng)函數(shù)，取其Z反變換即求得。將進(jìn)行部分分式展開(kāi)得 求出系數(shù)，所以有 取反變換即得單位響應(yīng) （3）當(dāng)時(shí)，有

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為

利用部分分式展開(kāi)法，得到 對(duì)其進(jìn)行反變換即得系統(tǒng)在激勵(lì)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)（2）的零極點(diǎn)分布與單位響應(yīng)變化規(guī)律的關(guān)系 為了認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的特性，有必要討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)所在位置與時(shí)域響應(yīng)的變化規(guī)律之間的關(guān)系。 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為 式中為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)； 式中為極點(diǎn)；為常系數(shù)。 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)中只含有單極點(diǎn)，這樣系統(tǒng)函數(shù)可展開(kāi)成如下形式的部分分式之和

其中，上式又可寫(xiě)成

取其反變換，即得到系統(tǒng)的單位響應(yīng)（6.4.11） 由此可見(jiàn)，系統(tǒng)的單位響應(yīng)將完全決定于的零、極點(diǎn)在平面上的分布規(guī)律。

按的零、極點(diǎn)在平面上的位置可分為：在單位圓上、在單位圓內(nèi)和在單位圓外。 極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是成對(duì)的共軛復(fù)數(shù)?？梢砸罁?jù)的極點(diǎn)在Z平面上的分布情形，判斷出相應(yīng)的變化規(guī)律。

表6.4.中給出了典型對(duì)應(yīng)關(guān)系的示意圖。圖中“×”表示的極點(diǎn)位置。 若對(duì)任意有界的輸入序列，其輸出序列的值總是有界的，這樣的離散系統(tǒng)就稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 即對(duì)于離散系統(tǒng)而言，如對(duì)所有的輸入序列有

而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)滿足

則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中和為有階正常數(shù)。6.4.3離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 離散時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 式中M為有限正常數(shù)。即若單位響應(yīng)是絕對(duì)可和的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 對(duì)于因果系統(tǒng)，上述條件可改寫(xiě)為（6.4.12）

結(jié)論： （1）若全部的極點(diǎn)位于單位圓之內(nèi)，系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。 （2）若的一階極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或共軛極點(diǎn)）均位于單位圓上，而單位圓外無(wú)極點(diǎn)，該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 （3）若的極點(diǎn)只要有一個(gè)位于單位圓之外，或在單位圓上有重極點(diǎn)，該系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的。 【例6.4.6】

有一離散系統(tǒng)的差分方程為 試求系統(tǒng)函數(shù)，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解:對(duì)方程兩邊取z變換，得 整理后即得系統(tǒng)函數(shù) 由于的極點(diǎn)為，它們均位于單位圓內(nèi)，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 【例6.4.7】

已知某一離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 試寫(xiě)出描述該系統(tǒng)的差分方程，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解:從給出的系統(tǒng)函數(shù)可方便地得到差分方程 還可寫(xiě)為 可見(jiàn)兩個(gè)極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6.5離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域模擬圖6.5.1離散時(shí)間系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)6.5.2離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域模擬圖復(fù)雜的離散時(shí)間系統(tǒng)可以由一些簡(jiǎn)單的子系統(tǒng)一特定方式聯(lián)結(jié)組成，可以利用子系統(tǒng)來(lái)分析復(fù)雜系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)聯(lián)結(jié)有3種基本方式：

級(jí)聯(lián)

并聯(lián)