陜西省西安地區(qū)八校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

陜西省西安地區(qū)八校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．2．已知，，那么是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列三角方程的解集錯(cuò)誤的是（）A．方程的解集是B．方程的解集是C．方程的解集是D．方程（是銳角）的解集是4．某林場(chǎng)有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長(zhǎng)情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A．30 B．25 C．20 D．155．在中，且，則等于()A． B． C． D．6．已知向量，且為正實(shí)數(shù)，若滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．08．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是()A． B．C． D．9．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．10．()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線的傾斜角為_____________12．若三邊長(zhǎng)分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.13．設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．14．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________．15．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是______.16．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在凸四邊形中，．（1）若，，，求的大?。?）若，且，求四邊形的面積．18．如圖，在三棱柱中，為正三角形，為的中點(diǎn)，，，．（1）證明：平；（2）證明：平面平面．19．某種汽車的購(gòu)車費(fèi)用是10萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為萬(wàn)元，年維修費(fèi)用第一年是萬(wàn)元，第二年是萬(wàn)元，第三年是萬(wàn)元，…，以后逐年遞增萬(wàn)元汽車的購(gòu)車費(fèi)用、每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)、維修費(fèi)用的和平均攤到每一年的費(fèi)用叫做年平均費(fèi)用.設(shè)這種汽車使用年的維修費(fèi)用的和為，年平均費(fèi)用為.(1）求出函數(shù)，的解析式；(2）這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最?。孔钚≈凳嵌嗌?？20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Γ與y軸交于點(diǎn)C．（1）是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求證:過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．21．已知函數(shù)，其中．解關(guān)于x的不等式；求a的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【題目詳解】集合，集合，則故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2、C【解題分析】

根據(jù),,可判斷所在象限.【題目詳解】,在三四象限.,在一三象限，故在第三象限答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)在每個(gè)象限的正負(fù)，屬于基礎(chǔ)題型.3、B【解題分析】

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B是錯(cuò)誤的.【題目詳解】因?yàn)椋薀o解，故B錯(cuò).對(duì)于A，的解集為，故A正確.對(duì)于C，的解集是，故C正確.對(duì)于D，，.因?yàn)闉殇J角，，所以或或，所以或或，故D正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角方程的解，注意對(duì)于三角方程，我們需掌握有解的條件和其通解公式，而給定范圍上的解，需結(jié)合整體的范圍來討論，本題屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

抽取比例為,，抽取數(shù)量為20,故選C.5、A【解題分析】

在△ABC中，利用正弦定理與兩角和的正弦化簡(jiǎn)已知可得，sin（A+C）＝sinB，結(jié)合a＞b，即可求得答案．【題目詳解】在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA，∴sin（A+C），又A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，∴B．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用，考查了大角對(duì)大邊的性質(zhì)，屬于中檔題．6、A【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式即可．【題目詳解】由題意得，因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．所以選擇A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時(shí)要滿足一正二定三相等．屬于中等題7、B【解題分析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點(diǎn)為(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知點(diǎn)(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2lnx圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．8、C【解題分析】關(guān)于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化為，解得，∴所求不等式的解集是,故選C.9、B【解題分析】

由角的終邊上一點(diǎn)得，根據(jù)條件解出即可【題目詳解】由角的終邊上一點(diǎn)得所以解得故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.10、A【解題分析】

將根據(jù)誘導(dǎo)公式化為后，利用兩角和的正弦公式可得.【題目詳解】.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先求得直線的斜率，由此求得對(duì)應(yīng)的傾斜角.【題目詳解】依題意可知，直線的斜率為，故傾斜角為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線斜率和傾斜角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

由三邊長(zhǎng)分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【題目詳解】解：由三邊長(zhǎng)分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13、5【解題分析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.14、【解題分析】

由題意可得=≥2=2，由不等式的性質(zhì)變形可得．【題目詳解】∵正實(shí)數(shù)a，b滿足，∴=≥2=2，∴ab≥2當(dāng)且僅當(dāng)=即a=且b=2時(shí)取等號(hào)．故答案為2．【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷出該數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．【題目詳解】解：∵，該數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列的通項(xiàng)公式是：，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由得到，再進(jìn)一步分析即得解.【題目詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以可得，整理?又，所以，所以，又，所以．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的運(yùn)算法則和共線向量，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）在中利用余弦定理可求得，從而可知，求得；在中利用正弦定理求得結(jié)果；（2）在中利用余弦定理和可表示出；在中利用余弦定理可得，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，結(jié)合和為銳角可求得；根據(jù)化簡(jiǎn)求值可得到結(jié)果.【題目詳解】（1）連接在中，，，由余弦定理得：，則在中，由正弦定理得：，解得：（2）連接在中，由余弦定理得：又在中，由余弦定理得：，即又為銳角，則四邊形面積：【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用余弦定理構(gòu)造出關(guān)于角的正余弦值的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系構(gòu)造方程可求得三角函數(shù)值；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略角的范圍，造成求解錯(cuò)誤.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）連結(jié)交于，連結(jié)，先證明，再證明平；（2）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，先證明平面，再證明平面平面．【題目詳解】證明：（1）連結(jié)交于，連結(jié)，由于棱柱的側(cè)面是平行四邊形，故為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，在中，，由，知為正三角形，故，又，，故，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1），；（2）時(shí)，年平均費(fèi)用最小，最小值為3萬(wàn)元．【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知，汽車使用年的維修費(fèi)用的和為，而第一年的維修費(fèi)用是萬(wàn)元，以后逐年遞增萬(wàn)元，每一年的維修費(fèi)用形成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可求出的解析式；將購(gòu)車費(fèi)、每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)以及維修費(fèi)用之和除以即可得到年平均費(fèi)用，根據(jù)基本不等式即可求出平均費(fèi)用的最小值．試題解析：（1）根據(jù)題意可知，汽車使用年的維修費(fèi)用的和為，而第一年的維修費(fèi)用是萬(wàn)元，以后逐年遞增萬(wàn)元，每一年的維修費(fèi)用形成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：因?yàn)橘?gòu)車費(fèi)、每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)以及維修費(fèi)用之和為，所以年平均費(fèi)用為；（2）因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，年平均費(fèi)用最小，最小值為3萬(wàn)元．考點(diǎn)：本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以的掌握，以及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生解決實(shí)際應(yīng)用題的能力．20、（1）存在，（2）證明見解析，圓方程恒過定點(diǎn)或【解題分析】

（1）將曲線Γ方程中的y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．利用韋達(dá)定理求出C，通過坐標(biāo)化，求出m得到所求圓的方程．（2）設(shè)過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程組利用圓系方程，推出圓P方程恒過定點(diǎn)即可．【題目詳解】由曲線Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），令y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．設(shè)A（x1，1），B（x2，1），則可得△＝m2﹣8m＞1，x1+x2＝m，x1x2＝2m．令x＝1，得y＝2m，即C（1，2m）．（1）若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，則，得，即2m+4m2＝1，所以m＝1或．由△＞1，得m＜1或m＞8，所以，此時(shí)C（1，﹣1），AB的中點(diǎn)M（，1）即圓心，半徑r＝|CM|故所求圓的方程為．（2）設(shè)過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2滿足代入P得展開得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝1當(dāng)，即時(shí)方程恒成立，∴圓P