重慶市長壽區(qū)名校2023-2024學年數學九上期末統(tǒng)考試題含解析

重慶市長壽區(qū)名校2023-2024學年數學九上期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在中，，，于點．則與的周長之比為（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:52．某班7名女生的體重（單位：kg）分別是35、37、38、40、42、42、74，這組數據的眾數是（）A．74 B．44 C．42 D．403．在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數的圖象上有且只有一個完美點，且當時，函數的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖，若二次函數的圖象的對稱軸為，與x軸的一個交點為，則：①二次函數的最大值為；②；③當時，y隨x的增大而增大；④當時，，其中正確命題的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點D、E、F．若，DE＝4，則EF的長是（）A． B． C．6 D．106．如圖是一根空心方管，它的俯視圖是（）A． B． C． D．7．如圖，在正方形中，以為邊作等邊，延長分別交于點，連接與相交于點，給出下列結論：①；②；③；④；其中正確的是（）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④8．如圖，E，F(xiàn)分別為矩形ABCD的邊AD，BC的中點，若矩形ABCD與矩形EABF相似，AB＝1，則矩形ABCD的面積是（）A．4 B．2 C． D．9．如圖，桌面上放著1個長方體和1個圓柱體，按如圖所示的方式擺放在一起，其左視圖是（）A． B． C． D．10．如圖，矩形ABCD的頂點D在反比例函數（x＜0）的圖象上，頂點B，C在x軸上，對角線AC的延長線交y軸于點E，連接BE，若△BCE的面積是6，則k的值為（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，將Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）繞點A按順時針方向旋轉到△AB1C1的位置，使得點B、A、B1在同一條直線上，那么旋轉角等于_____．12．如圖，在△ABC中，∠BAC=75°，以點A為旋轉中心，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得△AB'C'，連接BB'，若BB'∥AC'，則∠BAC′的度數是______________.13．方程的解是_____．14．小亮和他弟弟在陽光下散步，小亮的身高為米，他的影子長米．若此時他的弟弟的影子長為米，則弟弟的身高為________米．15．關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一個根為﹣1，則m的值為________．16．如圖，正方形ABOC與正方形EFCD的邊OC、CD均在x軸上，點F在AC邊上，反比例函數的圖象經過點A、E，且，則________.17．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，點P從點B出發(fā)，沿BC以2cm/s的速度向點C移動，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從點B、C同時出發(fā)，設運動時間為ts，當t＝__________時，△CPQ與△CBA相似．18．反比例函數的圖象經過點，，點是軸上一動點.當的值最小時，點的坐標是__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）求當線段AM最短時的長度20．（6分）定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．如圖1，把一張頂角為36o的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，我們把這兩條線段叫做等腰三角形的三分線．(1)如圖2，請用兩種不同的方法畫出頂角為45o的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數:(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種)．(2)如圖3，△ABC中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長．21．（6分）如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．（1）請完成如下操作：①以點O為原點、豎直和水平方向為軸、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：①寫出點的坐標：C；D（）；②⊙D的半徑＝（結果保留根號）；③若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面的面積為；（結果保留π）④若E（7，0），試判斷直線EC與⊙D的位置關系，并說明你的理由．22．（8分）如圖，點A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠DAP＝∠PBA．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；（3）在第（2）問的條件下，若AD＝2，PD＝1，求線段AC的長．23．（8分）解方程：（公式法）24．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8m，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．（1）如果點P，Q同時出發(fā)，經過幾秒鐘時△PCQ的面積為8cm2？（2）如果點P，Q同時出發(fā)，經過幾秒鐘時以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似？25．（10分）解方程：26．（10分）如圖，在矩形ABCD中，BD的垂直平分線交AD于E，交BC于F，連接BE、DF.（1）判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；（2）若AB=8，AD=16，求BE的長.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【詳解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD=∠A=30°；Rt△BCD中，∠BCD=30°，則BC=2BD；由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故選A2、C【解析】試題分析：眾數是這組數據中出現(xiàn)次數最多的數據，在這組數據中42出現(xiàn)次數最多，故選C.考點：眾數.3、C【分析】根據完美點的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意方程有兩個相等的實數根，求得4ac=9，再根據方程的根為=，從而求得a=-1，c=-，所以函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根據函數解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍．【詳解】解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，

由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根為=，

解得a=-1，c=-，

故函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，

如圖，該函數圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，-3），由對稱性，該函數圖象也經過點（4，-3）．由于函數圖象在對稱軸x=2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數y=-x2+4x-3的最小值為-3，最大值為1，

∴2≤m≤4，

故選：C．【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質以及根的判別式等知識，利用分類討論以及數形結合的數學思想得出是解題關鍵．4、B【分析】①根據二次函數的圖象可知，時，二次函數取得最大值，將代入二次函數的解析式即可得；②根據時，即可得；③根據二次函數的圖象即可知其增減性；④先根據二次函數的對稱性求出二次函數的圖象與x軸的另一個交點坐標，再結合函數圖象即可得．【詳解】由二次函數的圖象可知，時，二次函數取得最大值，將代入二次函數的解析式得：，即二次函數的最大值為，則命題①正確；二次函數的圖象與x軸的一個交點為，，則命題②錯誤；由二次函數的圖象可知，當時，y隨x的增大而減小，則命題③錯誤；設二次函數的圖象與x軸的另一個交點為，二次函數的對稱軸為，與x軸的一個交點為，，解得，即二次函數的圖象與x軸的另一個交點為，由二次函數的圖象可知，當時，，則命題④正確；綜上，正確命題的個數是2，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質（對稱性、增減性、最值）等知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．5、C【分析】根據平行線分線段成比例可得，代入計算即可解答．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝1．故選：C．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，熟悉定理是解題的關鍵．6、B【分析】俯視圖是從物體的上面看，所得到的圖形：注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．【詳解】如圖所示：俯視圖應該是故選：B．【點睛】本題考查了作圖?三視圖，解題的關鍵是掌握看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．7、A【分析】根據等邊三角形、正方形的性質求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性質即可判斷①；證得PC=CD，利用三角形內角和定理即可求得∠PDC，可求得∠BPD，即可判斷②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可證明△PDE∽△DBE，判斷③正確；利用相似三角形對應邊成比例可判斷④．【詳解】∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，∴，

∴；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=∠CPD===75°，∴∠BPD=∠BPC+∠CPD=60°+75°=135°，故②正確；

∵∠PDC=75°，∴∠FDP=∠ADC-∠PDC=90°-75°=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=∠DBA-∠ABE=45°-30°=15°，

∴∠EDP=∠EBD，

∵∠DEP=∠DEP，

∴△PDE∽△DBE，故③正確；

∵△PDE∽△DBE，∴，即，故④正確；綜上：①②③④都是正確的．

故選：A．【點睛】本題考查的正方形的性質，等邊三角形的性質以及相似三角形的判定和性質，解答此題的關鍵是熟練掌握性質和定理．8、D【分析】根據相似多邊形的性質列出比例式，計算即可．【詳解】∵矩形ABCD與矩形EABF相似，∴，即＝，解得，AD＝，∴矩形ABCD的面積＝AB?AD＝，故選：D．【點睛】此題主要考查相似多邊形，解題的關鍵是根據相似的定義列出比例式進行求解.9、C【分析】根據左視圖是從左面看所得到的圖形進行解答即可．【詳解】從左邊看時，圓柱和長方體都是一個矩形，圓柱的矩形豎放在長方體矩形的中間．故選：C．【點睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．10、D【分析】先設D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根據△BCE的面積是6，得出BC×OE=12，最后根據AB∥OE，BC?EO=AB?CO，求得ab的值即可．【詳解】設D（a，b），則CO=﹣a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的頂點D在反比例函數（x＜0）的圖象上，∴k=ab，∵△BCE的面積是6，∴×BC×OE=6，即BC×OE=12，∵AB∥OE，∴，即BC?EO=AB?CO，∴12=b×（﹣a），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故選D．考點：反比例函數系數k的幾何意義；矩形的性質；平行線分線段成比例；數形結合．二、填空題(每小題3分,共24分)11、180°【分析】根據旋轉的性質可直接判定∠BAB1等于旋轉角，由于點B、A、B1在同一條直線上，可知旋轉角為180°．【詳解】解：由旋轉的性質定義知，∠BAB1等于旋轉角，∵點B、A、B1在同一條直線上，∴∠BAB1為平角，∴∠BAB1＝180°，故答案為：180°．【點睛】此題考查是旋轉的性質，熟知圖形旋轉后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關鍵．12、105°【分析】根據旋轉的性質得AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，再根據等腰三角形的性質得∠AB′B=∠ABB′，然后根據平行線的性質得到∠AB′B=∠C′AB′=75°，于是得到結論．【詳解】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′，

∴AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，∠C′AB′=∠CAB=75°，

∴△AB′B是等腰三角形，∴∠AB′B=∠ABB′

∵BB'∥AC，

∴∠AB′B=∠C′AB′=75°，

∴∠C′AC=∠B′AB=180°-2×75°=30°，

∴∠BAC′=∠C′AC+∠BAC=30°+75°=105°，故答案為：105°．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了平行線的性質．13、x1=2，x2=﹣1【解析】解：方程兩邊平方得，x2﹣x=2，整理得：x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1．經檢驗，x1=2，x2=﹣1都是原方程的解，所以方程的解是x1=2，x2=﹣1．故答案為：x1=2，x2=﹣1．14、1.4【解析】∵同一時刻物高與影長成正比例，

∴1.75：2=弟弟的身高：1.6，

∴弟弟的身高為1.4米．故答案是：1.4.15、1【解析】試題分析：把x＝－1代入方程得：(－1)2＋m﹣2＝0，解得：m＝1．故答案為：1．16、6【分析】設正方形ABOC與正方形EFCD的邊長分別為m，n，根據S△AOE=S梯形ACDE+S△AOC-S△ADE，可求出m2=6，然后根據反比例函數比例系數k的幾何意義即可求解.【詳解】設正方形ABOC與正方形EFCD的邊長分別為m，n，則OD=m+n，∵S△AOE=S梯形ACDE+S△AOC-S△ADE，∴，∴m2=6，∵點A在反比例函數的圖象上，∴k=m2=6，故答案為：6.【點睛】本題考查了正方形的性質，割補法求圖形的面積，反比例函數比例系數k的幾何意義，從反比例函數（k為常數，k≠0）圖像上任一點P，向x軸和y軸作垂線你，以點P及點P的兩個垂足和坐標原點為頂點的矩形的面積等于常數.17、4.8或【分析】根據題意可分兩種情況，①當CP和CB是對應邊時，△CPQ∽△CBA與②CP和CA是對應邊時，△CPQ∽△CAB，根據相似三角形的性質分別求出時間t即可.【詳解】①CP和CB是對應邊時，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；②CP和CA是對應邊時，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.綜上所述，當t＝4.8或時，△CPQ與△CBA相似．【點睛】此題主要考查相似三角形的性質，解題的關鍵是分情況討論.18、【分析】先求出A，B點的坐標，找出點B關于y軸的對稱點D，連接AD與y足軸交于點C，用待定系數法可求出直線AD的解析式，進而可求出點C的坐標．【詳解】解：如下圖，作點點B關于y軸的對稱點D，連接AD與y足軸交于點C，∵反比例函數的圖象經過點，，∴設直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D坐標代入可求出：∴直線AD解析式為：∴點的坐標是：故答案為：．【點睛】本題考查的知識點是利用對稱求線段的最小值，解題的關鍵是根據反比例函數求出各點的坐標．三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2）BE=1或；（3）．【解析】試題分析：（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；（3）先設BE=x，由△ABE∽△ECM，根據相似三角形的對應邊成比例，易得CM=-（x-3）2+，利用二次函數的性質，繼而求得線段AM的最小值．試題解析：（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=6-5=1，當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴∴CE=∴BE=6-∴BE=1或（3）解：設BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴即：∴CM=∴AM=-5-CM=∴當x=3時，AM最短為．考點：相似形綜合題．20、（1）圖見解析，；（2）三分線長分別是和【分析】（1）根據等腰三角形的判定定理容易畫出圖形；由等腰三角形的性質即可求出各個頂角的度數；（2）根據等腰三角形的判定定力容易畫出圖形，設，則，，則，得出對應邊成比例，設，得出方程組，解方程即可得．【詳解】解:(1)作圖如圖1、圖2所示:在圖1中，即三個等腰三角形的頂角分別為在圖2中，，，即三個等腰三角形的頂角分別為(2)如圖3所示，就是所求的三分線設，則，此時，設，∵，∴∵，∴，解方程組解得：，或（負值舍去），即三分線長分別是和【點睛】本題是相似形的綜合性題目，考查了等腰三角形的判定和性質、等腰三角形的畫圖、相似三角形的判定和性質、解方程組等知識，本題考查學生學習的理解能力及動手創(chuàng)新能力，綜合性較強，有一定難度．21、（1）①答案見解析；②答案見解析；（2）①C（6，2）；D（2，0）；②；③；④相切，理由見解析．【分析】（1）①按題目的要求作圖即可②根據圓心到A、B、C距離相等即可得出D點位置；（2）①C（6，2），弦AB，BC的垂直平分線的交點得出D（2，0）；

②OA，OD長已知，△OAD中勾股定理求出⊙D的半徑=2；

③求出∠ADC的度數，得弧ADC的周長，求出圓錐的底面半徑，再求圓錐的底面的面積；

④△CDE中根據勾股定理的逆定理得∠DCE=90°，直線EC與⊙D相切．【詳解】（1）①②如圖所示：（2）①故答案為：C（6，2）；D（2，0）；②⊙D的半徑=；故答案為：；③解：AC=，CD=2，AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°．扇形ADC的弧長=圓錐的底面的半徑=，圓錐的底面的面積為π（）2=；故答案為：；

（4）直線EC與⊙D相切．

證明：∵CD2+CE2=DE2=25，）∴∠DCE=90°．∴直線EC與⊙D相切．【點睛】本題綜合考查了圖形的性質和坐標的確定，是綜合性較強，難度較大的綜合題，圓的圓心D是關鍵．22、（1）證明見解析；（2）PA+PB＝PF+FC＝PC；（3）1+．【分析】（1）欲證明AD是⊙O的切線，只需推知AD⊥AE即可；（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；（3）利用△ADP∽△BDA，得出＝＝，求出BP的長，進而得出△ADP∽△CAP，則＝，則AP2=CP?PD求出AP的長，即可得出答案．【詳解】（1）證明：先作⊙O的直徑AE，連接PE，∵AE是直徑，∴∠APE＝90°．∴∠E+∠PAE＝90°．又∵∠DAP＝∠PBA，∠E＝∠PBA，∴∠DAP＝E，∴∠DAP+∠PAE＝90°，即AD⊥AE，∴AD是⊙O的切線；（2）PA+PB＝PC，證明：在線段PC上截取PF＝PB，連接BF，∵PF＝PB，∠BPC＝60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA＝FC，AB＝CB，∴PA+PB＝PF+FC＝PC；（3）∵△ADP∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝2，PD＝1，∴BD＝4，AB＝2AP，∴BP＝BD﹣DP＝3，∵∠APD＝180°﹣∠BPA＝60°，∴∠APD＝∠APC，∵∠PAD＝∠E，∠PCA＝∠E，∴∠PAD＝∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴＝，∴AP2＝CP?PD，∴AP2＝（3+AP）?1，解得：AP＝或AP＝（舍去），由(2)知△ABC是等邊三角形，∴AC=BC＝AB＝2AP＝1+．【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了圓周角定理，切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿