靜力學全套課件

1平面匯交力系與平面力偶系

2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法2.3平面力對點之矩2.4平面力偶系22.1

平面匯交力系合成與平衡的幾何法

所謂平面匯交力系指各力的作用線在同一平面內(nèi)且匯交于一點的力系。

2.1.1平面匯交力系合成的幾何法及力多邊形法則

平面匯交力系合成的結果是一個合力，合力作用線通過各力的匯交點，合力的大小和方向等于原力系中所有各力的矢量和，即32.1.2

平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零，即

平面匯交力系平衡的幾何條件可表述為：該力系的力多邊形自行封閉。

4解：根據(jù)圖中所示的力的比例尺，按順序畫出各力的矢量，得到力多邊形abcde，封閉邊即表示平面匯交力系合力FR。按比例量得FR=27.5kN

，并量得該矢量與水平方向的夾角為α=55o

?！纠?-1】如圖所示，平面吊環(huán)上作用有四個力F1、F2

、F3

、F4，它們匯交于圓環(huán)的中心。其中F1水平向左，大小為10kN，F(xiàn)2指向左下方向，與水平軸夾角為30o，大小為15kN；F3垂直向下，大小為8kN；F4指向右下方，與水平方向夾角為45o，大小為10kN，試求其合力?！纠?-2】如圖所示的簡支梁在中點C處受集中力F=20kN的作用，其與水平線夾角為60o，應用圖解法求梁兩端約束反力的大小。5

解：選取梁AB為研究對象，畫出梁AB的受力圖如圖所示。

根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，這三個力應組成一封閉的力三角形。由三角關系，可得

6

解：選圓球

O

為研究對象，受力分析所示。由三力平衡匯交原理可知它們構成一平面匯交力系?！纠?-3】如圖所示的圓球O重為，放在與水平成α角的光滑斜面上，BC為繩索，與鉛垂面成β角，求繩索拉力與斜面對球的約束反力。7

根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，這三個力應組成一封閉的力三角形。由三角關系，可得解得2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法8設F與x

軸的正向的夾角為α，則有2.2.1

力在軸上的投影2.2.2

力在平面直角坐標系中的投影與分解

設力F與x,y軸正方向的夾角分別為α，β,則Fx、Fy可分別表示為9若力的投影Fx和Fy已知，則力F的大小和方向可由下式計算

必須指出，只有在直角坐標系中才有上述對應關系。對一般坐標系，一個力在兩坐標軸上的投影和該力沿兩坐標軸分解所得到的分力在數(shù)值上并不一定相等。

利用力在直角坐標系中的投影和力矢量的關系以及合力投影定理，可以用解析法來計算平面匯交力系的合力。2.2.3

平面匯交力系合成的解析法10

合力投影定理:合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。若已知合力在兩坐標軸上的投影，則合力的大小和方向可分別表示為【例2-4】用解析法計算例2-1中的合力。11，，

解：選定參考坐標系如圖所示。分別求出它們在兩坐標軸上的投影。由合力投影定理，合力在兩坐標軸上的投影分別為合力的大小和方向分別為:12合力通過原匯交點且指向左下方，如上圖所示。

2.2.4

平面匯交力系平衡的解析條件13平面匯交力系平衡的必要與充分條件是合力為零，即要使上式成立，必須同時滿足

上式稱為平面匯交力系的平衡方程。即平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系中各力在任一坐標軸上投影的代數(shù)和為零。利用這兩個獨立方程可求解出兩個未知量。14【例2-5】重量G=100N

的球用兩根細繩懸掛固定，如圖所示。試求各繩的拉力。

解：以A球為研究對象，其受力圖如圖所示。先用幾何法計算，根據(jù)力多邊形閉合條件，作出力三角形。由三角關系，可得解得兩繩的拉力分別為15然后再用解析法求解。建立如圖所示的坐標系，列出平衡方程兩種方法解出的結果完全相同。聯(lián)立求解，可得兩繩的拉力分別為2.3

平面力對點之矩16平面力對點之矩17如圖所示為用扳手松緊螺母的示意圖。力F對于點O的矩用MO(F)表示,即

力對剛體的運動效應使剛體的運動狀態(tài)發(fā)生改變(包括移動與轉(zhuǎn)動),其中力對剛體的移動效應可用力矢來度量，而力對剛體的轉(zhuǎn)動效應則要用力對點的矩(簡稱力矩)來度量，即力矩是度量力對剛體轉(zhuǎn)動效應的物理量。

點O稱為矩心；d稱為力臂。正負號表示力矩在其作用面上的轉(zhuǎn)向。一般規(guī)定力F使剛體繞點O逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)動為負。18

力F

對點O

之矩，其值還可以用以力F

為底邊，以矩心

O為頂點所構成的三角形面積的兩倍來表示，即

力矩的單位為N·

m(牛頓·米)或kN·m(千牛頓·米)。由力矩的定義式可知：當d=0，即力的作用線通過矩心時，力矩的值為零；當力沿作用線滑動時，該力對任一固定點的矩保持不變。

2.4

平面力偶系192.4.1

力偶的概念

力偶是作用在物體上的兩個大小相等、方向相反，且不共線的一對平行力所組成的力系，記作(

F

，F(xiàn)′)，如圖所示。

兩個力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。力偶對剛體的外效應只能使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。平面力偶系實例20平面力偶系實例21平面力偶系實例222.4.2

力偶的性質(zhì)23性質(zhì)1

力偶既沒有合力，也不能用一個力平衡。性質(zhì)2

力偶對其作用面內(nèi)任意一點的矩恒等于該力偶的力偶矩，與矩心的位置無關。性質(zhì)3

只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可改變力偶作用的位置，也可同時改變力的大小和力偶臂的長短，而不影響力偶對剛體作用效果。

力偶可在其作用面內(nèi)用一彎曲的箭頭表示，如圖所示。箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，M

表示力偶矩的大小。

由此得出力偶的等效條件是：作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶，只要其力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則此二力偶彼此等效。2.4.3

平面力偶系的合成24

如圖所示，假設（F1，F(xiàn)1′）、（F2，F(xiàn)2′）是作用在物體同一平面內(nèi)的兩個力偶,根據(jù)力偶的等效性質(zhì),它們分別可以與通過A、B

兩點的一對力（F3,

F3′）和（F4，F(xiàn)4′）等效,顯然F3、F4的合力F與F3′、F4′的合力F′組成新的力偶，其合力偶矩為

平面力偶系合成的結果為一合力偶矩，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。2.4.4

平面力偶系的平衡25

平面力偶系平衡的必要和充分條件：合力偶矩為零。即各力偶矩的代數(shù)和等于零。即

上式也稱為平面力偶系的平衡方程，利用這個平衡方程可求解出一個未知量。26

解：以梁

AB為研究對象，受力分析如圖所示。由平面力偶系的平衡條件，得【例2-8】簡支梁AB上受力如圖所示，試求梁的反力。解得:27解：分別取桿OA和O1B為研究對象。受力圖如圖所示?！纠?-9】四連桿機構OABO1如圖所示。已知M1=1kN.m，OA=40cm，O1B=60cm，不計各桿自重，求平衡時力偶矩M2的大小以及桿AB所受的力。OA：O1B：28聯(lián)立求解，可得29平面任意力系

3-1力線平移定理

3-2平面任意力系的簡化

3-3平面任意力系的平衡條件和平衡方程

3-4物體系統(tǒng)的平衡·靜定和靜不定問題

3-5平面桁架例題

303.1力線平移定理

作用于剛體上的力,可以平移到同一剛體的任一指定點,但必須同時附加一力偶,其力偶矩等于原來的力對此指定點的矩。等效等效ABFF'

F''ABFd

ABmF'

3.2平面任意力系的簡化

31

設物體上作用一平面任意力系。在平面內(nèi)任取一點O，稱為簡化中心。根據(jù)力線平移定理，把各力都平移到點O。這樣，得到一個匯交于點O的平面匯交力系，以及相應的附加力偶系。3.2.1主矢與主矩平面匯交力系可以合成一個作用于點O的合力，用矢量表示為稱為原力系的主矢，其大小及方向與簡化中心的選擇無關。平面任意力系的簡化3233

如圖所示表示一物體AB在左端A受固定端支座約束。固定端A處的約束反力可簡化為兩個約束反力FAx和FAy一個矩為MA的約束力偶。附加力偶系可以合成為一個合力偶，其力偶矩為稱為原力系對簡化中心O的主矩MO

，其大小與簡化中心的選擇有關。AAA

通過以上分析可知：在一般情況下，平面任意力系可向作用面內(nèi)任一點簡化，可得到一個力和一個力偶，這個力稱為該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩稱為該力系對于簡化中心O的主矩。固定端支座約束34固定端支座約束353.2.2平面任意力系的簡化結果分析361．當FR′≠0

，MO

≠0

主矢和主矩都不等于零，此時，原力系可進一步簡化。只剩下作用于O′點的一個力，該力稱為原力系的合力。合力FR的作用線到簡化中心O的距離d

為372．當FR′≠0

，MO

=0

主矢不等于零，而主矩等于零。此時，簡化中心恰好選在力系合力的作用線上，顯然FR′就是原力系的合力。3．當FR′=0

，MO

≠

0

主矢等于零，而主矩不等于零。此時，原力系的簡化結果與簡化中心的選擇無關，原力系合成為一力偶。4．當FR′=0

，MO

=

0

主矢和主矩都等于零。此時，原力系是平衡力系，物體在該力系的作用下處于平衡狀態(tài)。3.2.3合力矩定理38

平面任意力系的合力對作用平面內(nèi)任一點之矩等于原力系各分力對同一點之矩的代數(shù)和。3.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的二矩式式中，x軸(或y軸)不垂直兩點A、B連線。平面任意力系平衡方程的三矩式

39

各力作用線在同一平面內(nèi)且互相平行的力系稱為平面平行力系。若取x軸與各力垂直，則不論該力系是否平衡，總有ΣFx=0

，于是平行力系的平衡方程為其中A、B、C三點不共線。平面平行力系的平衡方程也有二矩式，即其中AB不平行于各力作用線【例3-1】加料小車重G=10kN，由鋼索牽引沿傾角α=60o的斜面軌道等速上升，如圖所示。已知：小車重心在C點，a=b=h=0.5m，e=0.4m，摩擦不計。試求鋼索拉力T和軌道作用于小車的約束反力。40

解：取小車為研究對象進行受力分析。受力分析如圖所示，建立如圖所示的坐標系。列平衡方程41聯(lián)立求解，可得42【例3-2】如圖所示，在水平梁上作用有集中力FC=20kN，力偶矩M=10kN.m，載荷集度為q=10kN/m的均布載荷。求支座A、B處的反力。解:(1)選取水平梁AB為研究對象，應力分析如圖所示。

(2)列平衡方程

聯(lián)立求解，可得433.3

物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定問題

在工程上有很多構件與結構，為了提高構件與結構的剛度和堅固性，常常增加約束，因而使這些結構的未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目，未知量不能全部由平衡方程求出，這類問題稱為超靜定問題。

當系統(tǒng)中的未知量數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目，待求的未知量全部能用列平衡方程的方法求出，這樣的問題就稱為靜定問題。幾種常見的靜定梁和靜不定梁的比較靜定問題靜不定問題44

A

B

P

A

P

45【例3-3】由不計自重的三根直桿組成的A字形支架置于光滑,地面上，如圖所示，桿長AC=BC=L=3m，AD=BE=L/5，支架上有作用力F1=0.8kN，F(xiàn)2=0.4kN，求橫桿DE的拉力及鉸C和A、B處的反力。解：先取整體為研究對象，其受力分析如圖所示，列出平衡方程聯(lián)立求解，可得A、B處的反力為46再取較簡易部分BC為研究對象，其受力圖如圖所示。列出平衡方程聯(lián)立求解，可得橫桿DE的拉力及鉸C處的反力為47【例3-4】物體重量為Q=1200N，由三桿AB、BC和CE所組成的構架以及滑輪E支持，如圖所示。已知AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不計各桿及滑輪重量。求支座A和B處的約束反力以及桿BC所受的力。解：先取整體為研究對象，受力圖及坐標系如圖所示。列平衡方程48其中，T=Q

，聯(lián)立求解，可得

再取桿CE(包括滑輪E及重物Q)為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程：解得桿BC所受的力為求得BC所受的力為負值，說明桿BC受壓力。49

解：分別選擇整體和梁BC為研究對象，受力分析如圖所示。分別列平衡方程：【例3-5】連續(xù)梁受力如圖所示。已知q=2kN/m，M=4kN.m，α=30o,求A和C處支座的約束反力。整體：50BC桿：聯(lián)立求解，可得A和C處支座的約束反力3.5平面桁架51

桁架是工程中一種常用的結構。本節(jié)簡單介紹桁架的一些最基本的概念以及桁架內(nèi)力的計算方法。3.5.1

桁架的基本概念

桁架是由許多直桿聯(lián)結而成的一種幾何形狀不變的結構。桁架中桿件的鉸鏈接頭稱為節(jié)點。桁架所有的桿件都在同一平面內(nèi)，這種桁架稱為平面桁架。3.5.2

桁架內(nèi)力的計算

桁架的每個節(jié)點都受一個平面匯交力系的作用。為了求每個桿件的內(nèi)力，可以逐個地取節(jié)點為研究對象，由已知力求出全部未知力。這就是節(jié)點法。1．節(jié)點法52

解：本題應用節(jié)點法求解桁架各桿的內(nèi)力。首先取節(jié)點C為研究對象，受力如圖所示。列該點的平衡方程有而，于是可得桿6的內(nèi)力為【例3-6】平面桁架的尺寸和支座如圖所示。求桁架各桿件所受的內(nèi)力及A、B兩處的約束反力。

53由于，解得桿4的內(nèi)力為解得桿7的內(nèi)力為然后選節(jié)點E為研究對象，受力分析如圖所示，列出節(jié)點E的平衡方程解得桿5的內(nèi)力為再選節(jié)點D為研究對象，受力分析如圖所示，列出節(jié)點D的平衡方程54聯(lián)立上面兩式，解得2、3兩桿的內(nèi)力為再選節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖所示，列出節(jié)點A的平衡方程解得桿1的內(nèi)力為55最后選節(jié)點B為研究對象，受力分析如圖所示，列出節(jié)點B的平衡方程解得解得

這樣，桁架桿件內(nèi)力及支座反力已全部求出，正號表示桿件受拉，負號表示桿件受壓。解得A處的約束反力2．截面法56【例3-7】如圖所示平面桁架，各桿的長度都是1m。載荷P1=10kN，載荷P2=7kN。試計算桿1、2和桿3的內(nèi)力。假想地用一截面把桁架截成兩部分，取其中任一部分為研究對象，建立平衡方程求出這些被截桿件的內(nèi)力，這種方法稱為截面法。解：先求桁架的支座反力。以桁架整體為研究對象。列出平衡方程57解得固定鉸支座A的約束反力為

用假想的面m-n截取桁架，取桁架左半部分為研究對象，受力分析如圖所示，列平衡方程解得桿2的內(nèi)力，即解得1桿的內(nèi)力，即58解得桿3的內(nèi)力，即

計算結果中內(nèi)力出現(xiàn)負值的桿說明該桿是壓桿，而內(nèi)力是正值的桿為拉桿。59

4-1

空間匯交力系

4-2

力對點的矩和力對軸的矩

4-3

空間力偶

4-4

空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩

4-5

空間任意力系的平衡方程

4-6

平行力系的中心與重心空間力系604.1

空間匯交力系

力在直角坐標軸上有兩種投影方式，如圖所示，即直接投影(又稱一次投影)和間接投影(又稱二次投影)。

力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，稱為空間力系。與平面力系一樣，可以把空間力系分為空間匯交力系、空間力偶系和空間任意力系。4.4.1力在直角坐標軸上的投影1)直接投影法612)間接投影法4.1.2

空間匯交力系的合成62

空間匯交力空間匯交力系是指力系的作用線在空間分布且匯交于一點的力系?？臻g匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點，即寫成投影形式為這樣，合力的大小和方向可分別表示為63式中α，β，γ

，分別為合力FR與x

，y

，z軸正向間的夾角。4.1.3空間匯交力系的平衡條件空間匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力等于零，即為使合力為零，必須同時滿足上式稱為空間匯交力系的平衡方程。【例4-1】如圖所示的結構，三桿用鉸鏈連接起來，重量為10kN的物塊掛在點D，試求三桿所受的力。64

解：取節(jié)點D為研究對象，受力分析如圖所示。建立如圖所示的坐標系，列平衡方程聯(lián)立求解，可得三桿所受的力分別為4.2力對點之矩和力對軸之矩65

一個力使物體繞空間某個點轉(zhuǎn)動不僅和力矩的大小、轉(zhuǎn)向有關，而且還和力與矩心所組成的平面的方位有關，這三個因素可以用一個矢量來描述。

如圖所示的空間力F對空間任一點O的矩是矢量，稱為力矩矢，用MO(F)表示。4.2.1力對點之矩66力F對點O的矩可表示為

若用，，分別表示力矩矢在x

，y，z軸上的投影，則有4.2.2

力對軸之矩67

力對軸之矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效應的度量，力對軸之矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點之矩，如圖所示的力F對軸z的矩可表示為

其正負號按右手螺旋法則確定，即以右手四指的繞向表示力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的方向，大姆指指向與z軸一致時為正，反之為負。

68通過分析得到力對軸之矩等于零的兩種情況：

(1)力與軸相交，即d=0；(2)力與軸平行，即Fxy=0

。兩種情況綜合起來，即當力與軸在同一平面時，力對該軸之矩等于零。

4.2.3力對點之矩和力對過該點的軸之矩間的關系力對點之矩在通過該點的某坐標軸上的投影，等于力對該軸之矩，即4.2.4

合力矩定理69空間匯交力系的合力對任一點之矩，等于各分力對同一點之矩的矢量和。證明:【例4-2】已知力F位于圓盤C處的切平面內(nèi)，尺寸與角度如圖所示，求力F對x,y,z軸的力矩。70解：力F在三個坐標軸上的投影為而力作用點的坐標分別為71代入力對軸之矩計算公式，可得力對三個坐標軸的矩分別為4.1空間力偶4.3.1力偶矩以矢量表示——力偶矩矢如圖所示的空間力偶(F，F(xiàn)'

)對于任一點的矩可表示為72

力偶對剛體作用效果取決于三要素：(1)力偶矩的大??；(2)力偶的轉(zhuǎn)向；(3)力偶作用面的方位。

作用在剛體上的平行平面內(nèi)的兩個力偶，如圖所示，若其力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則兩力偶等效。即作用在同一剛體上的兩個空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。4.3.2空間力偶系的合成與平衡條件73

空間力偶系可以合成，得到一個合力偶，合力偶的矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。寫成投影形式74合力偶矩的大小為

空間力偶系平衡的充分必要條件是：該力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和等于零。即對于平面力偶系，上式退化為代數(shù)式，即75

上式稱為空間力偶系平衡方程，即空間力偶系平衡的充分必要條件是各力偶矩矢在三個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。

【例4-3】如圖所示的機構由3個圓盤A、B、C和軸組成，圓盤半徑分別為

rA=15cm，rB=10cm，

rC=5cm。軸OA、OB和OC在同一平面內(nèi)。在這三個圓盤的邊緣上各自作用力偶使機構保持平衡，已知F1=100N，F(xiàn)2=200N

，不計自重，求力F3和角θ的大小。76解：各力偶寫成矢量表達式為要使機構在三個力偶的作用下處于平衡狀態(tài)，即解得4.4

空間任意力系向一點簡化·主矢和主矩774.4.1

空間任意力系向一點簡化

空間匯交力系合成后得一力FR'，稱為原空間任意力系的主矢?？臻g力偶系合成為一力偶

MO

，稱為原空間任意力系對簡化中心O的主矩。78由力矩的解析表達式，有

空間任意力系向任一點簡化，可得到一力和一力偶。分別稱為該力系的主矢和主矩。與平面任意力系一樣，主矢與簡化中心O點的選擇無關，而主矩與簡化中心O點的選擇有關。4.4.2空間任意力系的簡化結果分析

(2)

當FR'≠

0

，MO=0

時，空間任意力系簡化為一合力，合力通過簡化中心。根據(jù)主矢和主矩是否等于零，而將空間任意力系的簡化結果分為四種可能情況:

(1)當FR'=0，MO≠0

時，空間任意力系簡化為一合力偶，此時主矩與簡化中心的選擇無關。79(3)

當FR'≠

0,MO≠

0時，我們針對兩種不同情況進行討論:①當MO⊥FR

時，可將力偶MO

用通過O點且垂直于MO的平面內(nèi)一對力FR和FR‘’代替，由加減平衡力系原理，原空間任意力系可進一步簡化通過另一點的一個合力，圖中d為80

②當MO∥FR'時，空間任意力系簡化為力螺旋。力螺旋是由一個力和一力偶組成的力系，不能進一步合成。其中的力垂直于力偶的作用面。符合右手螺旋法則的稱為為右螺旋，而符合左手螺旋法則的稱為左螺旋，如圖所示。

(4)

當FR'

=

0

，MO=0

時，空間任意力系平衡4.5空間任意力系平衡方程81

空間任意力系平衡的必要和充分條件是這力系的主矢和對任一點的主矩都等于零，即由于主矢和主矩的大小可分別表示為故空間任意力系平衡方程可寫為82

空間任意力系平衡的必要和充分條件是：所有各力在3個坐標軸中每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每個坐標軸的矩的代數(shù)和也等于零。

力系的類型方程形式方程個數(shù)

空間任意力系Fx=0Fy=0Fz=0

Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=0

6

空間匯交力系Fx=0Fy=0Fz=0

3

空間平行力系Fz=0Mx(F)=0My(F)=0

3

空間力偶系Mx=0My=0Mz=0

3

平面任意力系Fx=0Fy=0

MA(F)=0

3

平面匯交力系Fx=0Fy=0

2

平面平行力系Fy=0MA(F)=0

2

平面力偶系Mi=0

183解：(1)取薄板為研究對象

(2)受力分析如圖所示

(3)列靜力平衡方程解之得繩子的拉力為【例4-4】如圖所示的均質(zhì)正方形薄板重Q=200N，用球鉸鏈A和蝶鉸鏈B固定在墻上，并用繩子CE維持水平位置，繩子CE縛在薄板的C點，并掛在釘子E上，釘子釘入墻內(nèi)，并和點A在同一鉛直線上。求繩子的拉力T和A、B的支座反力。84解得解得解得85解得解得86解：(1)取正方形板為研究對象

(2)受力圖如圖所示

(3)列平衡方程聯(lián)立求解，可得【例4-5】如圖所示均質(zhì)矩形平板，重為P=800N，一繩系在一邊的中點A處，另兩繩分別系在其對邊距各端點均為1/4邊長的點B、C上，求各繩所受的拉力。4.6

平行力系的中心與重心87于是4.6.1

平行力系的中心設有兩個同向平行力F!和F2

，分別作用于A，B兩點，由合力矩定理，可知

即合力的作用點C的位置可由下式確定

88

將兩平行力系合力的這種性質(zhì)推廣到n個平行力的情況，可以得到這樣的結論：平行力系的合力作用點的位置僅與各平行力的大小和作用點的位置有關，而與各平行力的方向無關，稱合力的作用點為該平行力系的中心。

由合力矩定理計算平行力系中心的坐標如圖所示的平行力系，其合力的作用線通過點C

。由合力矩定理，可知即89代入上式，可得設力作用線方向的單位矢量為F0，則有這樣，可得推廣到n個力組成的平行力系，合力作用點的坐標可表示為解得90寫成投影形式，上式可表示為4.6.2重心

重心是物體重力合力的作用點，重心有確定的位置，與物體在空間的位置無關。對于均質(zhì)物體，其重心與形心相重合。

根據(jù)平行力系的中心坐標公式，可得到剛體的重心坐標O用公式表示為91如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量為常數(shù)，則物體的重心可表示為92

對于均質(zhì)等厚度的薄板(薄殼)，其厚度與其表面積S相比是很小的，則重心的坐標可用公式表示為

對于均質(zhì)等橫截面細長桿，其截面尺寸與其長度l相比是很小的，則重心的坐標可用公式表示為4.6.3

確定物體重心的方法

93計算物體重心坐標的基本方法有兩種，即積分法和組合法1．用積分法求重心【例4-6】試求如圖所示半徑為R的均質(zhì)圓弧的重心。由形心坐標公式，可得圓弧的形心x坐標為解：由于對稱關系，該圓弧重心必在ox軸上，即942．用組合法求重心

解：選擇如圖所示的坐標系，將該圖形分成三個矩形。以C1、C2

和C3表示這些矩形的重心，而以S1、S2和S3表示它們的面積。截面重心的位置為【例4-7】試求Z形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。9596

負面積法

如果從一個平面圖形中切去一塊圖形，要求切除以后圖形的重心仍可以用組合法求重心，只是將切去部分的面積取負值，這種求平面圖形重心的方法稱為負面積法。例4-9】已知正方形的邊長為a，如圖所示。試在其中找出一點E，使此正方形被截去等腰三角形后，點E即為剩余面積的形心。解：設點E的坐標為，剩余部分看做由兩部分組成，即邊長a為的正方形和底邊為a，高為

y的等腰三角形。剩余面積形心坐標為97依題意有，即解之得

摩擦

5.1

摩擦及其分類5.2

滑動摩擦5.3

摩擦角和自鎖現(xiàn)象5.4

考慮摩擦時物體的平衡問題5.5

滾動摩阻的概念5.1摩擦及其分類1.按接觸部分的相對運動情況可分為滑動摩擦和滾動摩擦

(1)滑動摩擦：兩個表面粗糙的物體，當其接觸面之間有相對滑動或相對滑動趨勢時，彼此作用有阻礙相對滑動的阻力，稱為滑動摩擦?；瑒幽Σ劣挚煞譃殪o滑動摩擦和動滑動摩擦兩種。

(2)滾動摩擦：一個物體在另一個物體上滾動或有滾動趨勢時產(chǎn)生的摩擦稱為滾動摩擦。2.按兩物體接觸表面間的物理情況可分為干摩擦和濕摩擦

(1)干摩擦：接觸面沒有添加潤滑劑的摩擦稱為干摩擦，如工件和夾具之間的摩擦。

(2)濕摩擦：接觸面有潤滑劑的摩擦稱為濕摩擦，如充滿潤滑油的軸和軸承之間摩擦。在剛體靜力學中，一般只研究干摩擦。5.1.1摩擦現(xiàn)象

摩擦是自然界中普遍存在的現(xiàn)象之一，它在人類生活和工程實際中的許多方面起著重要的作用。5.1.2摩擦分類

在固定水平面上一重量為P的物塊A受一水平力F的作用，如圖所示。對物塊進行受力分析，通過對物塊的平衡條件可知，靜滑動摩擦力在數(shù)值上等于力F的大小，隨主動力F的增大而增大。

兩個表面粗糙的物體相互接觸，發(fā)生相對滑動或存在相對滑動趨勢時，彼此之間就有阻礙相對滑動的力存在，此力稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。5.2滑動摩擦5.2.1靜滑動摩擦力及最大滑動摩擦力

摩擦力作用在物體的接觸表面處，其方向沿接觸面的切線，并和物體相對滑動或滑動趨勢的方向相反。

當主動力F增大到一定數(shù)值，物塊將處于行將運動又尚未運動的臨界狀態(tài)，此時靜滑動摩擦力Fs達到最大值Fsmax，稱為最大靜摩擦力，或稱為臨界摩擦力。

靜滑動摩擦力的最大值Fsmax與支撐面對物塊的法向反力成正比。

式中，fs稱為靜滑動摩擦系數(shù)。它是一個無量綱的比例因數(shù)，其值與兩接觸面的材料及表面狀況(如粗糙度、干濕度、溫度等)有關。

式中，f為動滑動摩擦系數(shù)。一般情況下，動滑動摩擦系數(shù)略小于靜滑動摩擦系數(shù)，并與兩個相接觸物體的材料以及接觸表面的情況有關；同時也和兩物體相對滑動速度有關。在實際應用中，動摩擦系數(shù)要通過實驗測定。

物塊沿支撐面滑動時的摩擦力稱為動滑動摩擦力。動滑動摩擦力服從動滑動摩擦定律，即5.2.2動滑動摩擦力

法向約束反力FN和切向約束反力Fs的合力稱為全約束反力。全約束反力與法向反力的夾角為5.3摩擦角和自鎖現(xiàn)象5.3.1摩擦角1．全約束反力

當主動力F

達到一定值時，物塊處于行將運動又未運動的臨界狀態(tài)，摩擦力也達到最大值，而此時全約束反力與法線間的夾角也達到最大值，稱為摩擦角。

2．摩擦角的定義

這樣摩擦角可表示為，也就是說，摩擦角與材料及其表面狀況有關，當物塊處于平衡時，全約束反力與法向反力的夾角也總是小于或等于摩擦角，即

當F改變方向時，全約束反力的方位也隨著改變，全約束反力的作用線將畫出一個以接觸點A為頂點的錐面，如圖所示，該錐面稱為摩擦錐。摩擦角和摩擦錐的動畫演示5.3.2自鎖現(xiàn)象

當主動力的合力與法線之間的夾角小于摩擦角，即主動力的合力作用線在摩擦錐之內(nèi)，則不論主動力有多大，物體總能依靠摩擦而保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。反之，若主動力的合力與法線之間的夾角大于摩擦，即主動力的合力作用線在摩擦錐之外，則不論主動力有多小，物體一定會滑動。

通過分析可知，放在斜面上的物塊在重力作用下不至于產(chǎn)生滑動的條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角，即斜面自鎖條件為自鎖的應用實例5.4

考慮摩擦時物體的平衡問題

(1)取研究對象時，一般總是從摩擦面將物體分開；

(2)分析受力時必須考慮摩擦力；

(3)在臨界狀態(tài)下，摩擦力達到最大值；

(4)物體未達到臨界狀態(tài)，摩擦力未知，如物體具有兩種可能滑動趨勢時，要分別討論；

(5)解題的最后結果常常為不等式或用最大值和最小值表示。

考慮摩擦時物體的平衡問題的解法與不考慮摩擦時物體的平衡問題大致相同，可用平面任意力系的平衡方程求解同時要注意以下幾點：

【例5-1】曲柄連桿滑塊機構如圖所示。已知OA=l，在OA上作用一力偶矩M，連桿AB與鉛垂線的夾角為θ，滑塊與水平面間的摩擦系數(shù)為fs，系統(tǒng)在圖所示位置保持平衡。求保持平衡時力P的最小值。解：該機構有兩種運動趨勢：（1）力較小時，滑塊B有向右滑動趨勢；（2）力P較大時，滑塊B有向左滑動趨勢。本題僅求P的最小值，屬于第一種情況。解析法：分別取曲柄OA和滑塊B為研究對象，受力分析如圖所示，分別列平衡方程。解得桿OA

：滑塊B：解得保持平衡時力P的最小值為

(2)幾何法：對滑塊B進行受力分析，如圖所示，其中FRmax是支撐面對滑塊B的全約束反力，作力的多邊形，如圖所示。由三角關系，有

P最小值為由于

故有

若力P較大時，滑塊B有向左滑動的趨勢，摩擦力Fs應向右，分析方法與上述相同，保持平衡時P力的最大值為

解：本題應考慮兩種情況：(1)如果Q太小，物體將有向下滑動趨勢；(2)如果力太小，物體將有向下滑動趨勢；(2)如果力Q太大，物塊將有向上滑動的趨勢?！纠?-2】將重量為P的物塊放置在斜面上，斜面傾角α大于接觸面的靜摩擦角，如圖所示，已知靜摩擦系數(shù)為fs，若加上一水平力Q使物塊平衡，求力Q值的范圍。

由于物塊處于下滑的臨界平衡狀態(tài)，摩擦力達到最大值，方向沿斜面向上，物塊受力分析如圖所示。根據(jù)平衡條件可列靜力平衡方程：

臨界狀態(tài)時，最大靜滑動摩擦力為。聯(lián)立求解，可得再求出使物體不至于上滑時所允許的水平力的最大值

由于物體處于上滑的臨界平衡狀態(tài)，摩擦力達到最大值，方向沿斜面向下，物塊受力分析如圖所示。根據(jù)平衡條件可列平衡方程：

臨界狀態(tài)時，最大靜滑動摩擦力為Fsmax=fsFN。聯(lián)立求解，可得物體不至于上滑所充許Q的最大值為

因此，要維持物體平衡，力Q的值必須滿足以下條件

≤≤【例5-3】制動器的構造如圖所示。已知重物重W=500N，制動輪與制動塊間的靜摩擦系數(shù)

fs=0.6

，R=250mm

，r=150mm，a=1000mm

，b=300mm，h=100mm。求制動鼓輪轉(zhuǎn)動所需的力的大小。

解：先選取鼓輪為研究對象。受力分析如圖所示。列平衡方程

再取桿AB(包括制動塊)為研究對象。其受力圖如圖所示。列平衡方程這是制動鼓輪轉(zhuǎn)動所需的力的最小值。

靜摩擦定律聯(lián)立求解，可得【例5-4】均質(zhì)直桿AB如圖所示，重力為G，長為l，處于水平位置，桿上D處有一傾角為60o的細繩拉住，桿的A端與墻面接觸壓緊。墻面與桿端的摩擦系數(shù)

fs=0.2。試驗算桿端A是否向下滑動？

解：本題要驗算桿端A是否向下滑動，要先假設桿AB處于靜止狀態(tài)。選桿AB為研究對象，對其進行受力分析如圖所示。列平衡方程

聯(lián)立求解，可得

桿端不可能產(chǎn)生保持靜止所需的摩擦力值0.2857G。假設不成立，故A端向下滑動。

假設在拉力F=1kN作用下，木箱處于平衡狀態(tài)。選擇木箱為研究對象，其受力分析如圖所示,地面對木箱法線方向約束反力作用在距離A點為d的E點。列平衡方程

【例5-5】如圖所示的均質(zhì)木箱重量P=5kN，它和地面間的摩擦系數(shù)fs=0.4，圖中h=2a=2m，θ=30o，求：(1)當B處的拉力F=1kN時，木箱是否平衡？(2)能保持平衡的最大拉力。解：(1)木箱在力F的作用下有三種可能發(fā)生的情況：木箱處于平衡狀態(tài)，木箱滑動或翻倒。

聯(lián)立求解，可得

，

此時，木箱和地面間的最大摩擦力

可見:木箱不會滑動,也不至于翻倒。

(a)(b)(c)木箱處于滑動的臨界狀態(tài)下，有聯(lián)合平衡方程(a)和(b)，有

解之得到木箱處于滑動的臨界狀態(tài)下的拉力大小為

(2)為了求保持木箱平衡的最大拉力，可分別求出木箱將滑動時的臨界拉力和木箱繞A點翻倒時的臨界拉力。

木箱繞點A翻倒時的臨界狀態(tài)下，地面對木箱法線方向約束反力作用點為點A，即在平衡方程(c)中，令，可得解之得到木箱繞A點翻倒時的臨界拉力的大小為

木箱能保持平衡最大拉力5.5滾動摩阻的概念

在人們的日常生活和工程實踐中，經(jīng)常碰到另一種形式的運動——滾動。現(xiàn)以一圓柱體在地面上滾動為例來分析說明。

設一半徑為r的滾子，靜止放置于水平地面上。對滾子進行受力分析，可知作用于滾子的力除了主動力P和F

之外，還有地面對滾子的約束反力，其受力圖如圖所示。列平衡方程有

解得切向反力和法向反力分別為，。

法向反力FN和重力P相互抵消，但力F和力Fs剛好形成力偶，該力偶應使?jié)L子向前滾動。但實際上滾子并沒有滾動。這說明支撐面對滾子還作用有一個阻礙滾子滾動的力偶，稱為滾動摩阻力偶，簡稱滾動摩阻。

滾子相對于地面滾動或有滾動趨勢時產(chǎn)生的阻礙物體滾動的力偶，其方向與物體滾動或滾動趨勢的方向相反。

事實上，地面上的滾子和地面的接觸不可能是點(或線)接觸，地面在滾子重力的作用下必然產(chǎn)生變形而和滾子有一接觸面。

與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶隨主動力F的增大而增大，當F增大到某一數(shù)值時，滾子處于將滾未滾的臨界平衡狀態(tài)。這時滾動摩阻力偶達到最大值，稱為最大滾動摩阻力偶，用Mfmax來表示。最大滾動摩阻力偶矩是在極限平衡條件下產(chǎn)生的，其值由滾動摩阻定律確定，即

式中，δ為滾動摩阻系數(shù)，其單位為長度單位，一般用mm或cm。滾動摩阻系數(shù)只與滾子和支撐面的硬度和濕度等因素有關，而與滾子的半徑無關。

靜力學公理及物體

的受力分析