高中數(shù)學壓軸題復習-導數(shù)中的參數(shù)問題（剖析版）

【方法綜述】導數(shù)中的參數(shù)問題主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零點等條件,求解參數(shù)的取值或取值范圍”.這類型題目在近幾年的高考全國卷還是地方卷中，每一年或多或少都有在壓軸選填題或解答題中出現(xiàn)，屬于壓軸常見題型.學生要想解決這類型的題目，關鍵的突破口在于如何處理參數(shù)，本專題主要介紹分類討論法和分離參數(shù)法.【解答策略】一．分離參數(shù)法分離參數(shù)法是處理參數(shù)問題中最常見的一種手段，是把參數(shù)和自變量進行分離，分離到等式或不等式的兩邊（當然部分題目半分離也是可以的，如下面的第2種情形），從而消除參數(shù)的影響，把含參問題轉化為不含參數(shù)的最值、單調性、零點等問題，當然使用這種方法的前提是可以進行自變量和參數(shù)的分離.1．形如或(其中符號確定)該類題型，我們可以把參數(shù)和自變量進行完全分離，從而把含參數(shù)問題轉化為不含參數(shù)的最值、單調性或圖像問題.例1．【河北省滄州市2019屆高考模擬】直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】因為直線與曲線有兩個公共點，所以方程有兩不等實根，即有兩不等實根，令，則與函數(shù)有兩不同交點，因為，所以由得；由得或；因此函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，作出函數(shù)的簡圖大致如下：因為；又與函數(shù)有兩不同交點，所以由圖像可得，只需.故答案為【指點迷津】由直線與曲線有兩個公共點可得方程有兩不等實根，即有兩不等實根，令，求出函數(shù)的值域即可.【舉一反三】【湖南省永州市2019屆高三三模】若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】原不等式等價于：令，則存在，使得成立又當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減，，即當且僅當，即時取等號，即本題正確選項：2．形如或（其中是關于一次函數(shù)）該類題型中，參數(shù)與自變量可以半分離，等式或不等式一邊是含有參數(shù)的一次函數(shù)，參數(shù)對一次函數(shù)圖像的影響是比較容易分析的，故而再利用數(shù)形結合思想就很容易解決該類題目了.例2．【安徽省蚌埠市2019屆高三下學期第二次教學質量檢查】定義在上的函數(shù)滿足，且，不等式有解，則正實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，故，因，所以即.不等式有解可化為即在有解.令，則，當時，，在上為增函數(shù)；當時，，在上為減函數(shù)；故，所以，故選C.【指點迷津】不等式的恒成立問題，應優(yōu)先考慮參變分離的方法，把恒成立問題轉化為函數(shù)的最值（或最值的范圍）問題來處理，有時新函數(shù)的最值點（極值點）不易求得，可采用設而不求的思想方法，利用最值點（極值點）滿足的等式化簡函數(shù)的最值可以求得相應的最值范圍．【舉一反三】【山東省濟寧市2019屆高三第一次模擬】已知當時，關于的方程有唯一實數(shù)解，則所在的區(qū)間是()A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），則f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，則g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴當x∈（1，x0）時，f′（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0．則f（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，則∈（5，6）．∴a所在的區(qū)間是（5，6）．故選：C二．分類討論法分類討論法是指通過分析參數(shù)對函數(shù)相應性質的影響，然后劃分情況進行相應分析，解決問題的方法，該類方法的關鍵是找到討論的依據(jù)或分類的情況，該方法一般在分離參數(shù)法無法解決問題的情況下，才考慮采用，常見的有二次型和指對數(shù)型討論.1.二次型根的分布或不等式解集討論該類題型在進行求解過程，關鍵步驟出現(xiàn)求解含參數(shù)二次不等式或二次方程，可以依次考慮依次根據(jù)對應定性（若二次項系數(shù)含參），開口，判別式，兩根的大小（或跟固定區(qū)間的端點比較）為討論的依據(jù)，進行分類討論，然后做出簡圖即可解決.例3．【江蘇省揚州中學2019屆高三3月月考】已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函數(shù)有兩個不同的極值點，，∴，是方程的兩個實數(shù)根，且，∴，且，解得．由題意得．令，則，∴在上單調遞增，∴．又不等式恒成立，∴，∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為．【指點迷津】1.本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，體現(xiàn)了導數(shù)的工具性，解題的關鍵是得到的表達式．解答恒成立問題的常用方法是轉化為求函數(shù)的最值的問題解決，當函數(shù)的最值不存在時可利用函數(shù)值域的端點值來代替.2.由是函數(shù)的兩個不同的極值點可得，進而得到，然后構造函數(shù)，求出函數(shù)的值域后可得所求范圍．【舉一反三】【2019年3月2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】若函數(shù)有個零點，則實數(shù)取值的集合是________．【答案】或（填也給滿分）【解析】由題意得，令，得．設，則，易得在和上單調遞增，在和上單調遞減．因為函數(shù)有個零點，所以函數(shù)的圖象和直線有個交點，而，，注意，即軸與的圖象只有個交點．畫出函數(shù)的大致圖象和直線,如下圖所示，依題意得或，即或．故實數(shù)取值的集合是或．故答案為：或或．2．指數(shù)對數(shù)型解集或根的討論該類題型在進行求解過程，關鍵步驟出現(xiàn)求解含參指對數(shù)型不等式或方程，可以依次考慮依次根據(jù)對應指對數(shù)方程的根大小(或與固定區(qū)間端點的大小)為討論的依據(jù),進行分類討論.即可解決.例4．函數(shù),則在的最大值（）A.B.C.D.【答案】D【指點迷津】該題為含參數(shù)的最值問題,關鍵是確定單調性和區(qū)間,即含參數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上的符號,該導數(shù)含f’′(x)=x?2kx=x(?2k)含有指數(shù)，且有兩個根，故而要根據(jù)兩個根的大小和兩根與固定區(qū)間端點的大小進行相應的討論，確定單調性，再確定最值.【舉一反三】【福建省2019屆備考關鍵問題指導適應性練習（四)】已知函數(shù)，，若關于的方程在區(qū)間內有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】易知當≤0時，方程只有一個解，所以>0．令，，令得，為函數(shù)的極小值點，又關于的方程=在區(qū)間內有兩個實數(shù)解，所以，解得，故選A.【強化訓練】1．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，令；故選A.2．【天津市和平區(qū)2019屆高三下學期第一次調查】已知函數(shù)，若關于的方程恰有三個不相等的實數(shù)解,則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】關于的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，即方程恰有三個不相等的實數(shù)解，即與有三個不同的交點.令，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；且當時，，當時，，，當時，，據(jù)此繪制函數(shù)的圖像如圖所示，結合函數(shù)圖像可知，滿足題意時的取值范圍是.本題選擇C選項.3．當時，恒成立，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】當x≥0時，≥aln（x+1）恒成立，∴x≥0則f′（x）=，再設g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，則g′（x）=（1+x）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln（x+1）+1＞0恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴g（x）≥g（0）=0，∴f′（x）≥0∴f′（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴f（x）≥f（0），∵根據(jù)洛必達法則可得∵f（0）=1∴a≤1，故a的取值范圍為（﹣∞，1]，故答案為A.4.【四川省成都外國語學校2019屆高三3月月考】已知函數(shù)恰好有兩個極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，令并化簡得，，構造函數(shù)，，故當時，遞增，當時，遞減，.注意到時，，由此可知與有兩個交點，需要滿足，故，故選.5.【2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍為()A． B．（） C． D．（）【答案】D【解析】當時，為減函數(shù)，令易得，所以只需有兩個零點，令則問題可轉化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點.求導可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增，由此可知當時，函數(shù)取得最小值，即．在同一坐標系中作出函數(shù)與的簡圖如圖所示，根據(jù)圖可得故選D.6．【遼寧省撫順市2019屆高三一模】若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，又由，得，則等價為方程，在上有兩個不同的根，設，，由得得，得，此時，函數(shù)為增函數(shù)，得得，得或，此時，函數(shù)為減函數(shù)，即當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，要使，有兩個根，則即可，故實數(shù)的取值范圍是，故選：D．7.【廣東省2019屆廣州市高中畢業(yè)班綜合測試（一)】已知函數(shù)，對任意，，都有，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知函數(shù)是上的單調遞減函數(shù)，且當時，，據(jù)此可得：，即恒成立，令，則，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，函數(shù)的最小值為，則，據(jù)此可得：實數(shù)a的取值范圍是．故選：A．8．【安徽省馬鞍山市2019年高三第二次監(jiān)測】已知函數(shù)，若的解集為，且中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，,設，，問題就轉化為在內，，且中恰有兩個整數(shù).先研究函數(shù)的單調性，當時，，所以函數(shù)在單調遞減；當時，，所以函數(shù)在單調遞增，注意到，當時，.，恒過要想在內，，且中恰有兩個整數(shù)，必須要滿足以下兩個條件：故本題選C.9．【重慶市南開中學2019屆高三第三次檢測】已知函數(shù)，若不等式對任意上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，記g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以在x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值為5，所以.(3)在x∈時，x≥，恒有.綜上.故選:C10．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重點中學2019屆高三4月聯(lián)考】已知函數(shù)，，函數(shù)的最小值，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求得考察是否有零點，令，可得，記，,在上遞減，在上遞增，所以，即，因為,所以，故可知，當時，單調遞減，當時，單調遞增，從而由上知，設，記在上單調遞減，，的最小值為0.故選C.11．【遼寧省鞍山一中2019屆高考三模】已知函數(shù)有三個極值點，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的導數(shù)，若函數(shù)有三個極值點，等價為有三個不同的實根，即，即，則，所以有兩個不等于﹣1的根，則，設，則，則由得x＞1，由得且，則當時，取得極小值，當時，，作出函數(shù)，的圖象如圖，要使有兩個不同的根，則滿足，即實數(shù)a的取值范圍是．故選：C．12．【湖南省湘潭市2019屆高三二模】設，已知函數(shù)，對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設函數(shù)，由當時，對于任意，都有，即對于任意，，由于，那么在上單調遞減，而，在上單調遞減，所以，，則，那么，或，結合，所以，故選C.二、填空題13．【江蘇省蘇州市2019屆高三下學期測試】若函數(shù)在其定義域上恰有兩個零點，則正實數(shù)a的值為_____.【答案】【解析】當x≤0時，f（x）＝x+2x，單調遞增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零點存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一個零點；則由題意可得x＞0時，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一個零點，即有a有且只有一個實根．令g（x），g′（x），當x＞e時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）遞增．即有x＝e處取得極大值，也為最大值，且為，當x如圖g（x）的圖象，當直線y＝a（a＞0）與g（x）的圖象只有一個交點時，則a．故答案為：．14．【2019年3月2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】已知函數(shù)，，若，則_______【答案】【解析】令，則，易知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，故.當，即時，，，此時，不合題意，舍去；當，即時，，，若，即，則，解得；若，即，則，解得；當，即時，，，此時，不合題意，舍去.綜上所述，.故答案為：15．【山東省淄博實驗中學、淄博五中2019屆高三上學期第一次教學診斷】函數(shù)有極值，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】令函數(shù)有極值，則在區(qū)間上有實數(shù)根當時，，則函數(shù)在區(qū)間單調遞增時，；時，故存在，使得在遞減，在遞增故的極大值是，符合題意；當時，令，解得令，解得，此時函數(shù)單調遞增令，解得，此時函數(shù)單調遞減當時，函數(shù)取得極大值．當趨近于與趨近于時，要使在區(qū)間上有實數(shù)根，則，解得綜上：實數(shù)的取值范圍是本題正確結果：16．【河南省鄭州市2019年高三第二次檢測】已知函數(shù)，