江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編-三角形面積公式

江蘇省2022年高考數(shù)學模擬題分類匯編■■三角形面積公式

一、單選題

1.（2022江蘇?南京市雨花臺中學模擬預測）已知AOAB,OA=\,OB=2,OA-OB=-\,

—?1—?

過點。作。。垂直A3于點。，點E滿足OE=5即，則詼?麗的值為（）

二、多選題

2.（2022.江蘇?揚中市第二高級中學模擬預測）在AMC中，角A、8、C的對邊分別

為。、b、c,面積為S,有以下四個命題中正確的是（）

A.二三二的最大值為更

a2+2bc12

B.當a=2,sinb=2sinC時，不可能是直角三角形

C.當4=2,sinB=2sinC,A=2C時，AABC的周長為2+26

D.當a=2,sin3=2sinC,A=2C時，若。為AABC的內(nèi)心，則AAOB的面積為縣1

3

三、填空題

3.（2022?江蘇連云港?模擬預測）已知拋物線?:丫2=2外（°>0）的焦點為凡點P是拋

物線C上的動點，過P向動直線x=f（r<0）作垂線，垂足為Q.若△PQF是面積為由的

正三角形，則°=.

4.（2022?江蘇?新沂市第一中學模擬預測）英國數(shù)學家莫利提出：將三角形各內(nèi)角三等

分，靠近某邊的兩條三分角線相交于一點，則這樣的三個交點構(gòu)成一個正三角形（如下

圖所示）.若△ABC為等腰直角三角形，且4c=2,則4尸的面積是.

A

D

E

5.（2022江蘇南京?二模）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，全書

十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題《數(shù)書九章》中記錄了秦九解的許多

創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊“，b,c求面積的公式，

這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜累并大斜累減中斜哥，余半之，

自乘于上，以小斜基乘大斜基減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積”若把以

上這段文字寫成公式，即S=c2a2為三角形的面積,a,h,c為

三角形的三邊長，現(xiàn)有AABC滿足sinA:sinB:sinC=3:2上:亞且5白人皿=12,則4ABe

的外接圓的半徑為

四、解答題

6.（2022?江蘇?南京市天印高級中學模擬預測）在①〃=4，②AC邊上的高為上叵，

2

③sinB=4互這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并完成解答.

7

問題：記AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知NA=60。，c=b+\,.

⑴求c的值：

（2）若點。是邊8c上一點，且求4。的長.

7.（2022?江蘇?華羅庚中學三模）在AABC中，已知48=4,AC=5.cosB=

7

（1）求sinA的值；

（2）若A￡＞是N8AC的角平分線，求AD的長.

22

8.（2022?江蘇?南京市江寧高級中學模擬預測）從①A為銳角且sinB—cosC=三二幺；

lab

②6=2asin(C+J)這兩個條件中任選一個，填入橫線上并完成解答.在三角形ABC中,

O

已知角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.

⑴求角A；

⑵若6=@c且BC邊上的高A3為28，求CO的長.

4

9.(2022?江蘇泰州?模擬預測)在銳角IBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,

已知8C邊上的高等于a.

(1)求證：sinA=sin8sinC；

Ch

⑵若N84C=45。，求:+一的值.

bc

10.(2022?江蘇?南京師大附中模擬預測)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別

??,?、在2c,tanA

為a,b,c,且滿足a丁=IH----.

htan8

(1)求角A；

(2)角A的內(nèi)角平分線交BC于點M,若。=4近，AM=36求sin/AMC.

ll.(2022?江蘇南京?模擬預測)請在①向量了=^F，sin8),y=^"￡,sin4],且到y(tǒng)；

②病=2csin(A+三)這兩個條件中任選一個填入橫線上并解答.

在銳角三角形43c中，已知角A,B,C的對邊分別為“，h,c,.

(1)求角C;

⑵若A4?C的面積為26，求2a+b的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

12.(2022?江蘇?徐州市第七中學模擬預測)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為”,

b,C,請在①/?+3cosC=^CsinB;②(20-a)cosC=ccosA；

③/+/-'2=竽533「這三個條件中任意選擇一個，完成下列問題：

⑴求NC;

(2)若a=5,c=7,延長CB到。，使cosNACC=叵，求線段8。的長度.

7

13.(2022?江蘇南通?模擬預測)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,

bcosA=a^cosB-+c.

⑴求COS&

(2)若b=3,a>c,aABC的面積為2&，求Q.

14.(2022?江蘇淮安?模擬預測)在中，記角A,B,。所對的邊分別為mb,c,

.csinA

已知tanB=-------

2-cosA

(1)若tanB=g,求tanC的值：

(2)已知中線A例交BC于M,角平分線AN交BC于N,且A"=3,MV=1,求AA8C的

面積.

15.(2022?江蘇南通?模擬預測)已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD=2g，8c=2,

CD=273.

(1)求四邊形A3CD的面積；

(2)設(shè)邊A8,CD的中點分別為E,F,求在.(荏+而)的值.

16.(2022?江蘇?模擬預測)已知AMC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，％,c,面

積為S,滿足S=g(/-6)sinC.

(1)證明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整數(shù)左，加的值，使得c=〃函和tanA=A:tanC同時成立.

17.(2022?江蘇揚州?模擬預測)在①/=〃+3乩；(g)cosC=->/7；③tanC=si而這三

7

個條件中任選一個，

補充在下面問題中.

問題：在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,,c=2b,點E是線段

BC上一點.

⑴若NBAE=g,求攔的值；

6EC

(2)若BE=2EC,且=求AABC的面積.

18.(2022?江蘇鹽城?三模)己知AABC中，角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,滿足

TT

a2+c2-h2=-ac,力是AC邊上的點且80=2,ZDBC=-.

6

⑴求ZABC；

⑵求“'sc的最小值.

19.(2022?江蘇連云港?模擬預測)在平面四邊形ABC。中，對角線AC平分44￡>,

37t

8=彳，AC=y[5CD,AD=4,BC=20，且BC>CD.

⑴求8;

(2)求4ABC的面積.

20.(2022?江蘇連云港?模擬預測)在4ABC中，角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,

且q=cosB=-.

b49

(1)證明：a=c.

(2)從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求4ABC的面積.

條件①：AABC的中線AD=a；

條件②：△A8C的角平分線AE=理.

21.(2022?江蘇?阜寧縣東溝中學模擬預測)在A"C中，角A,B,C的對邊分別為a,

b,cf且a=5,b=6.

4

⑴若cos3=-g,求A；

(2)若AMC的面積S="也，求c.

4

22.(2022?江蘇?南京市雨花臺中學模擬預測)在①3“sinC=4ccos4；

②&singCnAsinB這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完

整的題.

在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知，,a=3板.

⑴求sinA；

jr

(2)如圖，〃為邊AC上一點，MC=MB,NABM=已,求AABC的面積.

23.(2022?江蘇?二模)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

sin2A+sin2B-sin2C_2b-c

sinA?sinBa

⑴求4

(2)若a=5,3=c+3,求AABC的面積.

24.(2022?江蘇?南京市第一中學三模)在AA8C中，。為BC上靠近點C的三等分點,

且4)=C￡>=1.記AABC的面積為S.

(1)若sinC=2sin8,求S；

(2)求S的取值范圍.

25.(2022?江蘇南通?模擬預測)在AABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c,

a=l,/?cosA+cosB=2b.

(1)證明：c=2b;

(2)求AMC的面積的最大值.

26.(2022?江蘇?新沂市第一中學模擬預測)在小A8C中，角4,B,C所對的邊分別為

a,b,c,且A=5，6=&c.若”是BC的中點，且csinNM4c=1,求4ACM的面積.

27.(2022?江蘇徐州?模擬預測)如圖，在平面四邊形45。中，

ABLAD,AB=l,AD=?BC=yli.

⑴若C￡>=2,求sinZADC；

⑵若NC=45。，求四邊形A8CO的面積.

28.(2022?江蘇泰州.模擬預測)在①a=2d?c2=b2+ab-,③6+2sinC=2石sinA這

三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積的

值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在“WC,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,=百，

萬

A=8+-,?

3

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

29.(2022?江蘇南通?模擬預測)已知AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,4c,且

A=—,a=2,2abcosC-ic+a-b)^c-a+b).

⑴求C；

(2)求AABC的面積.

30.(2022?江蘇揚州?模擬預測)在△ABC中，6sinA=acosfi.

(1)求N8的大?。?/p>

(2)再從下列三個條件中，選擇兩個作為已知，使得AABC存在且唯一，求△ABC的面

積

條作①cosA=-g；

條件②6=&;

條件③：48邊上的高為逅.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分

別解答，接第一個解答計分.

31.(2022?江蘇省濱海中學模擬預測)已知AABC的外心為O,為線段A8,AC上

的兩點，且。恰為中點.

(1)證明：目4VHNCI

(2)若［4。|=6，\OM\=\,求學曳的最大值.

\ABC

32.(2022?江蘇連云港?二模)在平面四邊形ABCD中，ZG4D=ZfiAC=6()0,

ZDCB=\50°,BD=屈,BC=2.

⑴求△￡)(%的面積；

(2)求AC的長.

33.(2022?江蘇江蘇?一模)在①sinB+sinC=3^,@cosB+cosC=—,③A+c=5

99

這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

已知A/WC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=3,sinA=2包，，

3

求“WC的面積.

34.(2022?江蘇?阜寧縣東溝中學模擬預測)如圖，在四邊形ABCO中，

AQ,sin(g-/A)cos(V+/A)=；.

⑴求ZA；

(2)若AB=&AD=3,CD=\,ZC=2ZCBD,求四邊形ABCD的面積.

35.(2022?江蘇?金陵中學模擬預測)記AABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,

且c=bcosA+〃sin8.

⑴求B；

⑵若匕=4,點M為AC邊的中點，且|麗|=2四，求AABC的面積.

36.(2022?江蘇江蘇?二模)在平面四邊形ABCO中，已知ZA8C=^,ZADC=-,AC

36

平分440.

TT

(1)若=AC=2,求四邊形ABC。的面積；

Q）若CD=2^AB,求tanNB4c的值.

37.（2022.江蘇無錫.模擬預測）在AMC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是“，b,c,

已知2ccosB=2a-b.

⑴求C；

（2）若AB=AC,。是AABC外的一點，且4）=2,CD=1,則當NO為多少時，平面

四邊形A8CD的面積S最大，并求S的最大值.

38.（2022?江蘇南通?模擬預測）已知△A8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,

[sinB+C=asinB

2

⑴求角A；

（2）若人=6,BC邊上的高為生叵，求c.

2

39.（2022?江蘇南通?模擬預測）在中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知

c=5,2bcosC=2a-c,

（1）求角8的大小；

（2）若AABC的面積104，設(shè)。是BC的中點，求萼粵的值.

sinZCAD

40.（2022?江蘇南通?模擬預測）在△A3C中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且

2c-a=2/?cosA.

⑴求B：

（2）若M是AC的中點，且6=2,在下面兩個問題中選擇一個進行解答.

①求AABM面積的最大值；

②求8M的最大值.

（注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分）

41.（2022?江蘇?模擬預測）記AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已

知6sinC=sinC+>/5cosC,^4=y.

⑴求c；

（2）在下列三個條件中選擇一個作為補充條件，判斷該三角形是否存在？若存在，求出三

角形的面積；若不存在，說明理由.

①8c邊上的中線長為當，②A8邊上的中線長為近，③三角形的周長為6.注：如

果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

42.（2022?江蘇省贛榆高級中學模擬預測）在平面四邊形ABCD中，AB=\,3c=3,

ZB=60°,ZACD=30°.

歷

(1)^AD=—,求NAPC；

3

(2)若8。=8,求八48的面積.

43.(2022?江蘇省木瀆高級中學模擬預測)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，

。，。，且滿足①C=2B；②反osA=acosB；③廿-d=a2-&ac.

(1)從①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；

(2)若。為線段AB上一點，S.ZBCD=-ZB,CO=4,求△38的面積.

44.(2022?江蘇江蘇一模)從①sinZ)=sinA；②山火=35.。；③歷.配=-4這三個

條件中任選一個，補充在下面的問題中，并完成解答.

己知點￡>在AABC內(nèi)，cosA>cosD,AB=6,AC-BD=4,CD=2,若,求

△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

45.(2022?江蘇省濱海中學模擬預測)在AABC中，已知。是BC上的點,4。平分ZBAC,

且AC-C￡)=]3.

(1)若AB=23O=5,求AABC的面積；

(2)若AB+B￡>=6,求AQ.

24

46.(2022?江蘇無錫?模擬預測)在AA3C中，c=2bcosB,C=—.

(1)求DB；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AMC存在且

唯一確定，求BC邊上中線的長.

條件①：c=J5b;

條件②：AABC的周長為4+26;

條件③：AA8C的面積為定；

4

47.(2022?江蘇?揚中市第二高級中學模擬預測)已知IAABC中，。是AC邊的中點，且

①BA=3；②BC=近；③BD=近;④4=60°.

(1)求AC的長；

(2)ZBAC的平分線交BC于點E,求4E的長.

上面問題的條件有多余，現(xiàn)請你在①，②，③，④中刪去一個，并將剩下的三個作為條

件解答這個問題，要求答案存在且唯一.你刪去的條件是,請寫出用剩余條

件解答本題的過程.

五、雙空題

48.（2022?江蘇?南京師大附中模擬預測）法國的拿破侖提出過一個幾何定理：“以任意

三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰好

是一個等邊三角形的三個頂點，，.在A45c中，A=60。，以A3,BC,AC為邊向外作三

個等邊三角形，其外接圓圓心依次為0,。2,。3,則NQAQ=；若4。。2。3

的面積為6，則三角形中|AB|+|AC|的最大值為.

參考答案:

1.D

【解析】作出圖形,由平面向量數(shù)量積的定義及余弦定理可得,再由平面向量數(shù)

量積的運算律即可得解.

【詳解】由題意，作出圖形，如圖,

?/OA=\,OB=2,OAOB=-\

.,.次?麗=1x2cosZAOB=2cosZAOB=-1，cosNAO8=一；,

27r

由ZAOBe(0,乃)可得NAOB=y,

AB=y/OA^+OB2-2-OA-OBcosZAOB=幣,

A

又52.=’.04.037布/408='.0￡>,43=也，則8=君,

Zjrtizo222

,'.EdEA=-dE(ED+DA]=-2OE2=--.OD=--x-=~—

\)99721

故選：D.

2.ACD

【解析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可判斷

選項A；

利用勾股定理的逆定理即可判斷選項B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項

C；

由已知條件可得AABC是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得AAOB的面積

即可判斷選項D.

【詳解】對于選項A：

答案第1頁，共50頁

bcsinA

1sinA

2—x---------------------------

a2+2bcb1+c2-2bccosA+2bc0hc

乙上++2—2cosA

Icin<4

八（當且僅當方二C時取等號）?

4cosA-2

S|y

令sinA=y,cosA=x,故二-----<——x二一

a~+2bc4x-2

因為V+y2=],且y>o,

故可得點（X,y）表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示:

.1OiAx

目標函數(shù)2=告上，表示圓弧上一點到點A（2,0）點的斜率，

數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點"g,岑，即A=6（）時，取得最小值-日,

故可得z母

12

當且僅當A=60,b=c,即三角形為等邊三角形時，取得最大值，故選項A正確：

對于選項B：因為sin3=2sinC,所以由正弦定理得b=2c,若〃是直角三角形的斜邊，則

有々2+。2=廬，即4+/=公2,得0=拽，故選項B錯誤；

3

對于選項C,由A=2C,可得3=九一3。，由sin3=2sinC得力=2c,

由正弦定理得,即sin（7r-3C）sinC9

sinBsinC

所以sin3C=2sinC,化簡得sinCcos2C+2cos2CsinC=2sinC,

3

因為sinCwO,所以化簡得cos2C=夏，

因為b=2c,所以所以cosC=3,則sinC=1,

答案第2頁，共50頁

所以sin3=2sinC=l,所以8=：,C=2,4=g,

263

因為a=2,所以c=,b=

23"43",

所以AA8C的周長為2+26，故選項C正確；

對于選項D,由C可知，AABC為直角三角形，且B=；,C=2,A=&c=空,b=—,

26333

所以AABC的內(nèi)切圓半徑為，=+=l--y-,

b,,112>/3f,06-1

所以AABC的面積為=1--—=—^―

所以選項D正確，

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是正余弦定理以及面積公式，對于A利用面積公式和

S_1sinA<1sinA

余弦定理，結(jié)合不等式得77^=5、i4--?COSA-2,再利用三角換元、

—H---F2—2cosA

cb

數(shù)形結(jié)合即可得證，綜合性較強，屬于難題.

3.1

【分析】先寫出△PQF邊長為2,由幾何法求出焦準距為p=l.

【詳解】如圖示：△PQ尸是面積為6的正三角形，所以歸產(chǎn)|=|也|,所以x=f為準線.

由jpQ「sin6()o=6,解得：|尸。=2.

過F作尸OLPQ于￡>,則出力=歸@8$60。=1.

所以焦準距為p=l.

答案第3頁，共50頁

故答案為：1

47百-12

--T~

【分析】若G是EF中點，連接CG,且根據(jù)題設(shè)角的關(guān)系、三角形全等及相似

I「口1

可得8尸=8"=-48、一=—=-,設(shè)EF=DH=2x,結(jié)合已知可得AB=4(2+G)x,

2BFFD2

即可求無值，應用三角形面積公式求△DEF的面積.

【詳解】若G是EF中點，連接CG,且

由題設(shè)知：△AEC^ABFC,則CE=CF,又zACE=4CF=4CF=30。,

ZCAE=ZEAD=ZDAH=ZCBF=ZFBD=ZDBH=15°,

所以NAE￡>=/BED=90°,則4A￡D=AAHD*BFD2BHD,

i「ry?

所以3F=8"=不4B,又4CGFBFD,且...-...=—,

2BFFD2

TS：EF=DH=2X,則CG=xtan75Q=(2+G)x,故8尸=2(2+百)工，

J2

所以A8=4(2+6)x,又4c=2,則4(2+6)x=2近，可得x=；=,

4+2V3

貝1］《尸=捶尸=20-卡，故4DEF的面積是，、（2&-指）2*且=拽二^

2+，3222

故答案為：7占72

2

答案第4頁，共50頁

5.M.

【解析】由正弦定理得到三條邊長的比，利用所給面積公式得到邊長，再結(jié)合面積公式和正

弦定理可得答案.

【詳解】由已知和正弦定理得：a:b:c=sinA:sin8:sinC=3:2近：布,

設(shè)a=3r,b=2叵t,c=>0),

由=弓互[=*(5①(9產(chǎn))-『+9；一812=12)

解得f=2,所以a=6,0=4&,c=26，設(shè)AABC的外接圓的半徑為R,

由Sv.。=[*bcsinA='x4&x2遙sinA=12,解得sinA=,

2210

"-6=2R

由正弦定理得sinA-32叵-,所以R=

10

故答案為：M

【點睛】本題考查了正弦定理、面積公式解三角形，關(guān)鍵點是利用所給面積公式求出三角形

邊長，考查了學生的基礎(chǔ)知識及閱讀能力.

6.(1)(?=3

(2)2

［分析】(1)選條件①：a=夕,c=6+1,利用余弦定理求解；選條件②:AC邊上的高為空,

2

利用三角形的面積公式;b(6+l)sinA=￥^求解；選條件③：sinB=母，利用正弦定理

答案第5頁，共50頁

sin8b4

—^=一求解.

sinCc

TVTT

(2)根據(jù)NAOB-/4BC=§,得到N403=ZA3C+1,求得相應正弦值，再利用正弦定

ADAB

理求解;

sinBsin/ADB

⑴

解：選條件①：a=曰,c=b+l,

由余弦定理cosA==',則〃+8-6=0,

/+2bfc-'2

解得6=2,貝ijc=b+l=3；

選條件②：AC邊上的高為地,

2

由三角形的面積公式;Z?(Z?+l)sinA=^^-b,

解得人=2,c=3.

選條件③：sinB=

7

由題意可知8<C,所以cos3=J1—sin'B=

因為A+B+C=TC,

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

=與年+4叵=也，

272714

V2T

sinBb即工，

由正弦定理得1==

sinC35/2Tb+1

14

解得b=2,c=3.

⑵

選條件①:

IT7T

因為ZADB-ZABC=一,所以幺O8=NABC+—,

33

Ca2+c2-b27+9-42不

cosB=----------=-----j=——=-----,

lac2xV7x37

sinB=Vl-cos2B=

V2112773屈

則sinZADB=sinINABC+yx—|x—=-----

7-27----214

答案第6頁，共50頁

3x@

ADABsinB

由正弦定理——,AD=1=2；

sinBsin/ADBsinZADB3721

14

選條件②;

jrjr

因為ZAr>5—z/wc=H，所以NADB=NABC+1,

a'2+c2-h1-27+9-42不

cosB=

2ac2義S乂3-7

叵」+4*立=通

則sinZAQB=sinIZABC+y

727214

AB.cABsinB

由正弦定理蓊A/J—______________=2；

sinZ.ADB"sinZADB3721

14

選條件③:

sin4O嶺in(WC+q=^4+殛3=液，

I3j727214

3x----

AB.cABsinB7.

由正弦定理一^

sinBsinZ.ADB'sinNA￡>B3&T

14

7.(1)巫

5

⑵迎

【分析】(1)先利用余弦定理求出邊BC的長，再利用正弦定理求出sinA(2)利用三角形

的面積公式及面積關(guān)系S,MC=S,ABD+S,A8，建立關(guān)于AO邊的關(guān)系式求解即可得到答案

(1)

在AABC中，由余弦定理AC?=44+BC2—2A8-BC-cos8

整理得7叱-40BC-63=0

9

解得BC=7或BC=-I

由于5c>0,所以5c=7

答案第7頁，共50頁

因為B￡(0,乃)，所以sinB>0,所以sin8=Jl-cos?B=-----

7

ATRC丁2瓜一

由正弦定理得：冬=￡，故..BC^inB7-T276

sinBsinAsmA=------------=---------=------

AC55

(2)

設(shè)ZBAD=e,AD=x

由兀詠=SA.+S“6及三角形的面積公式可得：

g倉％5?sin2^；倉保x倉ikinq+J5倉呢sing

整理得」=20sin2g=40cosg

9sinq9

十^,士工田xAB2+AC2-BC216+25-491

在△AAnBzC中，由余弦定理cosA=-----------------------=-----------------=--

2AB^AC405

由cosA=cos2q=2cos2q-1得cos0-

則9=戶迎

9

8.(1)條件選擇見解析，A=J

o

(2)3

【分析】(1)在三角形中，運用正余弦定理，實現(xiàn)邊角互化即可求解.

(2)根據(jù)三角形的面積公式可得"c的關(guān)系，在A43C中運用余弦定理可求出”,6,c的值,

然后根據(jù)邊的長度用余弦定理求角，即可求解.

(1)

選①

22

因為sin3-cosC=-——,所以2a/?sin3=一片+2ahcosC，

lab

由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC,所以2a/?sin3=方2，即加sin3=Z?

由正弦定理得2sinAsinB=sinB

在AABC中，有sin8>0,故sinA='

2

由A為銳角，得A47T

6

選②

答案第8頁，共50頁

因為〃=2asin(C+白，由正弦定理得sinB=2sinAsin(C+-)

66

即sin(A+C)=2sinAsin(C+—)

6

化簡得cosAsinC=6sinAsinC

在△ABC中，有sinC>(),由A為銳角得cosAw(),

所以tanA=@,得A=?

36

⑵

由題意得，SsA3c=；4x2G=；bcsinA=；bc,所以，be=4瓜

又b=@~c,所以/=16a,/=3a

4

由余弦定理cosABAC="+C-"=3"16二”=B,解得。=7,°=45/="[

2bc2x4島22

49+21-16x7叵

所以,cosZ.BCA-

lab2x7后7

所以AABC是鈍角三角形

所以cosZACD=-cosNBCA=叵，所以tanZACD=38

73

在直角八48中，CD=-——=28速=3

tanZ.ACD2

9.(1)證明見解析

⑵*李

bc2

【分析】(1)由銳角三角形可得A0=bsinC,結(jié)合題意和正弦定理整理可證；(2)利用等

面積:8。5皿45。=[“七可得/=Jc,結(jié)合余弦定理—力ccos45。化簡整理.

222

(1)

設(shè)BC邊上的高為AO,則4)=AsinC,所以a=6sinC,

由正弦定理得sinA=sin3sinC.

(2)

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccos45°=b2+c2-\[2bc>

因為]bcsin45°=1a-a,所以/=也兒.，

222

答案第9頁，共50頁

所以#bC=〃+c2-&bc,即^+C2=g怎c,

10.⑴？；

⑵邁

7

【分析】(1)先由正弦定理及切化弦得cosA=g,結(jié)合角A的范圍，即可求解；

(2)先由邑"，=邑"材結(jié)合面積公式求得6c=3S+c),再由余弦定理求得匕,c的值,

再由正弦定理求出sinZAMC即可.

(1)

由正弦定理及切化弦可得

sinA

2sinC_]+cosA[十sinAcos3_sinBcosA+sinAcosB_sin(A+B)

sinBsinBsinBcosAsinBcosAsin5cosA'

cosB

■^./人口、?/L、nnr-nmi2sinCsinC1

Xsin(A+B)=sm(^--C)=smC,sinB>0,sinC>0,貝ij--------=--------------,即HncosA=一,又

sin3sinBcosA2

Ae(O,乃)，則A=?；

⑵

可得bc=3(b+c),又由余弦定理得

b2+c2-a2+-2bc-\12(Z?+c)2-6(Z?+c)-l121.,..

cosA=-~~-—=——1--------------=——LJj-----=一，解得0+c=16(z負值舍

2bc2bc6e+c)2

去)，則歷=48,

答案第10頁，共50頁

I/>=41/2=12

可得《,~或〈“，又sinNAMC=sinZAM8，顯然當匕=4或12時，sinZAMC的值相

c=12|c=4

同，不妨設(shè)〃=12,則。=4,

—,可得sinC=爵又黑b

由正弦定理得一J可得

sinCsinZAMC

sin4AMe二點~

7

Tl

11.(1)C=-

⑵(8,10)

【分析】(1)選①：根據(jù)平面共線向量的坐標表示和正弦定理可得/="+從一昉，結(jié)合余弦

定理即可求出C；選②：根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡計算可得6cosC=sinC,

結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；

Q

(2)由三角形的面積公式可得2a+%=2a+—=/(〃)，法一：利用余弦定理解得2<a<4；法

a

二：由正弦定理可得2<a<4,進而利用導數(shù)求出函數(shù)/3)的值域即可.

(1)

選擇①：

因為利y,所以?小山人=("c)sinB,

b+cc+a

由正弦定理得，!￡&=也二￡昭，

b+cc+a

即a-/)=b(b~-c),即ac2+be2=a34-b2,>即/(〃+/?)=(.+。乂〃~—〃。+。~),

BPc2=a2+b2-ab,因為cosC="十"--=—,

2ah2

又c為銳角，所以c=7T(

選擇②：

因為百6=2csin(A+弓),

由正弦定理得，Ksin8=2sinCsin(A+W),

即&sinA=sinCsinA+sinCcosA.

答案第11頁，共50頁

XsinB=sin(/I+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以JisinAcosC=sinCsinA.

因為sinA>0,所以&cosC=sinC，

又C為銳角，所以tanC=G，C=y.

⑵

因為SJBC=ga〃sinC=^-ah=2\/3,

Q

所以"=8,則2。+/?=2。+—.

a

(法一)由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2.①

222

f,aj_[cosA>0,\b+c-a>0,

因為△ABC為銳角三角形，所以.八即22[2;

[cosB>0,[a+c-b~>0.

將①代入上式可得h>4，>，解得2<〃<4.

即

a2>4,

令3*,則…)=2一

所以在2<a<4上單調(diào)遞增，所以〃2)<〃a)</(4),

即8<f(a)<10,即2a+b的取值范圍為(