貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題

畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試(一)

文科數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效.

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.請保持答題卡平整，不能折疊.考試結(jié)束，監(jiān)考員將答題卡收回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z="~+"+("+1)1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.0B.0或-1C.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的類型可得出關(guān)于。的等式與不等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=/+a+(a+i)i為純虛數(shù)，則］"+"一，解得。=0.

'7a+lwO

故選：A.

2.設(shè)集合4={-2,-1,0,1,2},B={X|2X2-5X<0},則Ac僅3)=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,—1,0}D.{-2,—1}

【答案】D

【解析】

【分析】首先求集合B,再根據(jù)集合的運(yùn)算求A(43)

【詳解】2d一5x<0,解得：所以8=

2I2J

所以條B={x|x<0或x>g),

因?yàn)?={-2,—1,0,1,2},

所以Ac(QB)={-2,T}.

故選：D

3.已知數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式為%=2",則4一。2+4-%++的一40的值為（）

2(1+叫.2(5。)

B,2(2'°+1)cD

33

【答案】D

阿斤】

【分析】根據(jù)給定條件，判斷為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式計(jì)算作答.

(-1)4

【詳解】依題意，（—I）"%”=（一。12’,是首項(xiàng)為2,公比為-2

(-1廣%

等比數(shù)列,

2[1-(-2)10]2(1-210)

所以4—a+—ci+-+cig—ci

24w1-(-2)3

故選：D

4.某營救小組有48人，需要乘船過河去執(zhí)行營救任務(wù)，現(xiàn)從甲、乙兩種型號的船中選擇一種.甲型號的

船比乙型號的船少5艘.若只選擇甲型號的，每艘船載4人，則船不夠；每艘船載5人，則有船沒有載滿.若

只選擇乙型號的，每艘船載3人，則船不夠：每艘船載4人，則有多余的船.甲型號的船有（）

A.9艘B.10艘C.II艘D.12艘

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)甲船有x艘，則乙船有（x+5）艘，根據(jù)題意列出不等式組，解之即可得解.

【詳解】設(shè)甲船有x艘，則乙船有（x+5）艘,

4%<48<5x

由題意可得《3(x+5)<48<4(x+5-l),解得96<x<U，

又因?yàn)閤為正整數(shù)，所以x=10,

即甲型號的船有10艘.

故選：B.

5.已知向量a=(d-3,x),b=(2,1),則“x=3”是"4與人同向”的O

02/21

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】先求出a與。同向的x的值，再利用條件定義判斷.

x~—3尤

【詳解】因?yàn)楫?dāng)。與/，同向時，---=即x=3或—1(舍)；

21

所以"％=3”是"a與匕同向”的充要條件.

故選：C.

6.圖(1)是由正方形ABC。和正三角形組合而成的平面圖形，將三角形沿折起，使得

平面24。J_平面ABC。，如圖(2),則異面直線依與。。所成角的大小為()

圖⑴

A.15B.30C.45D.60

【答案】C

【解析】

【分析】由平面平面ABCD,/記,仞可得筋人平面如。，從而A」B_LQ4.由AB0c可

知NPBA為異面直線P8與。。所成角，從而得解.

【詳解】.??平面平面ABCD,平面A4￡>c平面ABC￡>=AD，ABu平面ABC。，ABVAD,

，ASI平面PA￡>，又尸Au平面2LD，，筋，叫.

VABDC,.?./PBA為異面直線形與。。所成角,

VPA^AB，：.ZPBA=45°.

故選：C.

7.如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)

一的和諧美，若函數(shù)Ax)的圖象能將圓的周長和面積同時等分成兩個部分，則稱/(x)為這個圓的一個“太

極函數(shù)”.已知函數(shù)/("=刀3+瓜2+3%是圓*-1)2+日一］)2=1的一個太極函數(shù)，若函數(shù)

g(x)=/(x)-小+12有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為()

A.(O,+8)B.[0,+oo)

C(-oo,0)D.(-oo,0]

【答案】A

【解析】

【分析】首先由題意，可知函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，列式求。，再根據(jù)函數(shù)有2個極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

g'(x)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

【詳解】圓(X-1了+(y-1>=1的圓心為(1』)，若函數(shù)f(x)=x3+，2+3x是圓的太極函數(shù),

則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，則VxeR,有〃2-x)=2-"x),

即(2—xy+Z?(2—x)?+3(2—》)+丁+法2+3%=2,

整理為：(6+2Z?)f—(12+4Z?)x+4Z?+12=0恒成立，

解得：b=-3,

則函數(shù)g(x)=,f(x)-，四+12=%3-3/+(3-〃7)X+12,

g'(x)=3f-6x+3-w,若函數(shù)g(x)有兩個極值點(diǎn)，則g'(x)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

則A=36—4x3x(3—〃?)>(),解得：機(jī)>0.

故選：A

8.給出下列命題：

①函數(shù)/(刃=2'-％2恰有兩個零點(diǎn)；

②若函數(shù)"X)=x+—(a>0)在(0,+8)上的最小值為4,則。=4；

③若函數(shù)/(X)滿足/(x)+/(l—X)=4,則+/(')=%

④若關(guān)于x的方程2國一膽=0有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(0,1].

其中正確的是()

A①③B.②④C.③④D.②③

04/21

【答案】D

【解析】

【分析】①利用圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，即可判斷；

②利用基本不等式，即可求解；

③結(jié)合條件，找到規(guī)律，即可求解；

④參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，即可求解.

【詳解】①當(dāng)x>0時，/(x)=2*-f有2個零點(diǎn)，2和4,

根據(jù)y=V和y=2,可知，當(dāng)x<0時，函數(shù)/(x)=2、-f有1個零點(diǎn)，

所以函數(shù)/(x)=2、有3個零點(diǎn)，

故①錯誤；

②/(同=%+q226,(。>0),即2G=4,得a=4,故②正確；

X

③UPS/+哈卜8①,.楣卜用++*18,②

且因?yàn)閒(x)+/(l-X)=4,則

所以①+②=4x9=36,

④若關(guān)于x的方程28一m=0有解，則加=2兇，因?yàn)閲?,則根“，故④錯誤.

故選：D

9.已知點(diǎn)P在直線/：3x+4y-33=0上，過點(diǎn)p作圓C：(x—l)2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,6,

則圓心C到直線AB的距離的最大值為()

4

BC.1D.

-13

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)P(m,〃)為直線/：3%+4y-33=0上的一點(diǎn)，由圓的切線的性質(zhì)得點(diǎn)A3在以CP

為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓C的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線A8恒

過的定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離分析可得答案.

【詳解】由題意可得C:(x-+V=4的圓心C(l,0)到直線/:3x+4y—33=0的距離為

.13-331

a=------=o>Z,

5

即/:3x+4y-33=0與圓相離；

設(shè)?(加,〃)為直線/:3x+4y—33=0上的一點(diǎn)，則3加+4〃-33=0,

過點(diǎn)P作圓C:(尤一1)2+V=4的切線，切點(diǎn)分別為AB,則有CALPACELPB,

則點(diǎn)A8在以CP為直徑的圓上,

以CP為直徑的圓的圓心為（5,2）,半徑為r=1.1cP1=1,

2222

則其方程為+（y_t）2=+〃一,變形可得f+y2—（m+1）尤一〃y+m=o,

1）2+v2=4

聯(lián)立八22/\，可得：（S-l）X+〃y-a—3=°，

\x"+y-（機(jī)+l）x-幾y+=0

又由36+4〃-33=0,則有4（加一1）%+（33-3〃。丁一412=0,

變形可得皿4%—3丫-4）-4%+33丁-12=0,

06/21

4尤一3y一4=0

則有《

-4x+33y-12=0

7Q727X

設(shè)“（M，石），由于［-1）2+（百）2<4,故點(diǎn)”（土石）在C:（x—lf+y2=4內(nèi),

則CB_LAB時，C到直線AB的距離最大，

2

其最大值為|CM|=

3

故選：B

10.正方體ABC?！?耳GA的棱長為J5,點(diǎn)M為44的中點(diǎn)，一只螞蟻從M點(diǎn)出發(fā)，沿著正方體表

面爬行，每個面只經(jīng)過一次，最后回到M點(diǎn).若在爬行過程中任意時刻停下來的點(diǎn)與“點(diǎn)的連線都與AG

c.3百D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知螞蟻從M點(diǎn)出發(fā)，沿著與AG垂直的正方體ABC。-4月GR的截面爬行，回到M

點(diǎn)，作出螞蟻爬行得路線，求得相關(guān)線段長度，即可求得答案.

【詳解】由題意可知螞蟻從M點(diǎn)出發(fā)，沿著與AG垂直的正方體耳G2的截面爬行，回到M

點(diǎn),

設(shè)E,F,G,H,P為gB,BC,CD,RA的中點(diǎn)，連接ME,EF,FG,GH,HP,PM,

連接4。,則PH〃4。,尸"而4M〃OG,AM=OG,即四邊形A"GO為平行四邊形,

故4。〃例6,4。=知6,所以尸”〃加6,尸”=^MG,

故四邊形為梯形，則延長MRG”必交于一點(diǎn)，設(shè)為N,

則MRG"確定一平面，設(shè)a,

同理可證從廬〃即，GF〃EH,;.GF〃MP,

而Gwa,故G/7ua,同理可證EEua,MEua,

即憶七,￡6,"/共面,該平面即為&；

又A4,，平面44GA，加u平面A4GA，故44,LPM，

又PM〃BQ],BR±4G，，PM±4cl,

而AA|/AjC]=Ax,AA,AGu平面AA]G,故PA/_L平面AA|G,

Agu平面A4C，故P"，AG，同理可證PHJ_AC-

而PMPH=P,PM,PHua,散ACJa,

即平面a即為過點(diǎn)M和AG垂直的平面，

則螞蟻沿著ME,EF,FG,GH,HP,PM爬行,

由題意可得ME=EF=FG=GH=HP=PM==1,

故爬行的總路程為6,

故選：B

08/21

11.已知。=31og83,〃=一!logJ6,c=log43,則。，h,c的大小關(guān)系為（）

25

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【解析】

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化筒a,Ac,并判斷范圍，采用作差法結(jié)合基本不等

式可判斷即可得答案.

10g

【詳解】由題意可得a=310gg3=3x-^=log23>1,

logaZ

,1.I,1log,16.,

八.c,

b=—log,16=—x-------=log3,4>1

2I2,1，0<c=log43<l,

Og33

2

V1q?.Ig3lg4（Ig3）-lg21g4

又log23-log34=告一1=s's，

lg2lg31g21g3

由于lg2>0/g4>0,lg2wlg4,，lg21g4〈（里竽&）2=（ig而）2<Qg3）2,

故Iog23-log34>0,.,.a>bf

綜合可得

故選：A

FF

12.已知"，鳥為雙曲線。的兩個焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑長為I周生I的圓記為。，過大作。的

3-

切線與C交于N兩點(diǎn)，且cosNE”=g,則。的離心率為（）

A86+4D4石+8

1113

C8百+4D96+3

-n-'13

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用幾何關(guān)系表示焦半徑的長度，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.

【詳解】如圖，點(diǎn)E為切點(diǎn)，則OELMN,過點(diǎn)/作與F_LMN,垂足為點(diǎn)/，則用//0E,

因?yàn)閨OE|=r=B，|04|=c,則|環(huán)|=@°，

22

因?yàn)辄c(diǎn)。是線段片行的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是線段耳尸的中點(diǎn)，則|W|=gc,|尸周=c,

因?yàn)閏osNf；NK=|,則tanN￡N鳥=；則|N/|=(c,|N瑪|=(c,

因?yàn)閨N片|TNE|=2a=Gc+；c-(c=2a,

解得：￡/占上4

a11

即雙曲線的離心率為8百+4

11

故選：C

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第

22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某機(jī)床生產(chǎn)一種零件，10天中，機(jī)床每天出的次品數(shù)分別是：

則該機(jī)床的次品數(shù)的中位數(shù)為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】把給定數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列，再求出中位數(shù)作答.

【詳解】10天中的次品數(shù)由小到大排成一列為：0,0,0,1,1,2,2,2,3,4,

1+23

所以該機(jī)床的次品數(shù)的中位數(shù)為——=-.

22

,3

故答案為：—

2

14.勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作圓弧，三段圓弧

10/21

圍成的曲邊三角形(如圖)，己知橢圓工+[=1(0<人<2)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個勒洛三角形，則該

4b-

勒洛三角形的周長為.

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出正三角形的邊長，再利用弧長計(jì)算公式計(jì)算作答.

22

【詳解】因?yàn)闄E圓土+[=1(0<〃<2)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個勒洛三角形，令其半焦距為c,

4b-

則點(diǎn)(-c,0),(c,0),(0,b)或(—c,0),(c,0),(0,一份或(-c,0),(0,份,(0,—加或(c,0),(0,垃(0,一份為一正三

角形的三個頂點(diǎn)，

于是得正三角形邊長為+萬=如=2,顯然勒洛三角形三段圓弧長相等，所對圓心角為:，

7T

所以該勒洛三角形的周長為3x：x2=27i.

故答案為：2兀

71

15.已知函數(shù)丁=$山/x(<y>0)在區(qū)間0,-上恰有兩個零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

【答案】[2,4)

【解析】

【分析】由題意求出3xe[0,空],結(jié)合題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列出不等式，求得答案.

2

【詳解】當(dāng)時，則3xe[0,絲]，則/(0)=0,

L2J2

兀

要使y=sin0x(<y>O)在區(qū)間0,-上恰有兩個零點(diǎn)，

則兀〈處<2兀，解得240<4,

2

即。的取值范圍是[2,4),

故答案為：［2,4）.

!1=卜“+2，〃為田數(shù)，則數(shù)列---------!--------1的前〃項(xiàng)和

16.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1

n

【答案】

6〃+4

【解析】

【分析】先根據(jù)遞推關(guān)系式求出。2〃，然后利用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】由題意可得。2="1+2=3,%”=%“-1+2=。2”-2+3,〃22,

所以｛4〃｝是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以％“=3+3（〃-1）=3〃,

]_[_}_(_______1_

(?2n—1)(?2?+2)(3〃一1)(3〃+2)3、3〃-13〃+2

]

設(shè)數(shù)列，的前〃項(xiàng)和為S“,

(%，，一1)(4"+2)

則s〃=」仕一!］+卑」］++-f———U-f--一

“3（25）3（58J3（3〃-13n+2J3123n+2）6〃+4

故答案為：—.

6/1+4

三、解答題：本大題共7小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.2022年11月21日到12月180,第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件賽事中

40場比賽以上的人稱為“足球愛好者”，否則稱為“非足球愛好者”，該機(jī)構(gòu)通過調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群

中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：

足球愛好者非足球愛好者合計(jì)

女2050

男15

合計(jì)100

（1）將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為足球愛好與性別有

關(guān)？

（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“足球愛好者”和“非足球愛好者”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后

12/21

再從這5人中隨機(jī)選出3人，求其中至少有1人是“足球愛好者”的概率.

附：K2=----------、一,--,其中〃=。+人+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.100.050.0250.0100.0050.001

k（）2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）表格見解析，能

【解析】

【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)補(bǔ)全表格，根據(jù)公式計(jì)算K?即可判斷；

（2）將選中的5人編號，用枚舉法列出所有的可能，即可求出概率.

【小問1詳解】

足球愛好者非足球愛好者合計(jì)

女203050

男351550

合計(jì)5545100

K'幽空延-沖3空=100。9.091>7.879，

55x45x50x5011

能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為足球愛好與性別有關(guān).

【小問2詳解】

依題意，從女性人群中抽取的5人中，是“足球愛好者”的有2人，設(shè)為A，4；“非足球愛好者”的有3人，

設(shè)為用，B2,層.

隨機(jī)選出3人的情況有：4劣4，44與，44名，其用與，4g片，45%,aB3,

A,B2B3,A2

A遇B3,BtB2B3,共10種,

其中至少有人是“足球愛好者”的情況有：瓦，，員,當(dāng)名，,

144A,AB2,4A44A44,4

44員,A>B2B3,共9種,

則選出的3人中至少有1人是“足球愛一好者”的概一率為：P=^9.

4IB

18.己知LABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,C.若氏os-----=csinB.

2

（1）求角C；

（2）若c=G，求邊上的高的取值范圍.

2兀

【答案】（1）C=—；

3

3

（2）（0,-）.

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.

（2）由（1）可得8e（0,；）,再利用三角形面積公式計(jì)算作答.

【小問1詳解】

TT—C

在.ABC中，由正弦定理及A+5=%—C,得sinBcos----==sinCsinB,

2

CCC1。,曰，即sinBwO,singwO,

即有sinBsin—=2sin—cos—sin8,而A,_Be（0,不）,一e

222'’21

E,uC\CTt

因此cos——,—=—,

2223

所以C=§.

3

【小問2詳解】

令-ABC邊上的高為人，

由SABC=-—acsinB,得〃二百sinB，

由（1）知，Be（0g）,即sinBe（0，￥），則力=瓜缶8e（0,?!>-

3

所以BC邊上的高的取值范圍是（（）,一）.

2

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，24,底面M,N分別為CD,PD的中點(diǎn)，AC

與BM交于點(diǎn)E,AB=672>AO=6,K為94上一點(diǎn)，PtC=-PA.

3

14/21

(1)證明：K,E,M,N四點(diǎn)共面;

(2)求證：平面B4C，平面技⑷放.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形中等比例性質(zhì)證明K"PC,再證明MNPPC,從而KEMN,所以K，E，

M,N四點(diǎn)共面；

(2)先通過線面垂直性質(zhì)定理證明身0,再由勾股定理證明AC_LBM,最后由線面垂直證明面

面垂直

【小問1詳解】

證明：連接KE

四邊形488是矩形，M為8的中點(diǎn),

.?.CM〃45且CM^-AB,

2

CECM1

PK^-PA,

3

:.PK=>KA,

2

.PK_CE

'~KA~~AE'

：.KE//PC,

M,N分別是CO,PO的中點(diǎn)，

.-.MN//PC，

：.KE//MN,

：.K，E,M,N四點(diǎn)共面.

【小問2詳解】

證明：；Q4_L底面ABC￡>且8Wu平面45c。，

:.PAVBM，

AB=6\[2>AD=6，M為C￡>中點(diǎn)，

/.CM=3\/2>AC=6A/3>BM=3娓,

：.EM=-BM=y/6,CE=-AC=2y[3,

33

CE2+EM2=MC2，

71

:.ZMEC=~,:.AC±BM,

2

QB4IAC=A,Q4u平面PAC,4?匚平面24。，二四0_1平面尸4。，

8Wu平面8MMn???平面Q4C,8MNK.

20.已知函數(shù)〃x)=(。-x)ln%.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(Dy=(a—D(x—1)

(2)a<--v

e

【解析】

【分析】(1)先求出/(1)=(),借助導(dǎo)函數(shù)求得了進(jìn)而可得切線方程.

(2)函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減等價于/'(力=則竺子卬40成立，令g(x)=—xlnr—x+a,借

助導(dǎo)數(shù)判斷g(x)單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，則有±+a40,進(jìn)而可得答案.

e

【小問1詳解】

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根據(jù)題意,

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),"1)=0，

/,(x)=-lnx+^—

曲線”X)在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線方程為>=(。-1)(》一1).

【小問2詳解】

/(力的定義域?yàn)?0,+8)

1a-x-xlnx-x+a

f(x)=-Inx+----=------------

xx

令g(x)=_xlnx-x+Q

g'(x)=-lnx-2

令/(x)=0=>x=5

g[x)>0=0<x<4

g，(x)<0nx>!

；.g(x)在(o,j)上為增函數(shù)，在±,+oo]上為減函數(shù)，g(x)max=g(/')=*'+“

/(x)為單調(diào)遞減的函數(shù)

—~+a<0

e~

aW——.

e-

21.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。(2p,0),過尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MZ)

垂直于x軸時，|MF|=5.

(1)求C的方程；

(2)在X軸上是否存在一定點(diǎn)Q,使得?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

從①點(diǎn)N關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)N'與M,。三點(diǎn)共線；②X軸平分NMQN這兩個條件中選一個，補(bǔ)充在題

目中“”處并作答.

注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分.

【答案】（1）y2=4x

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）當(dāng)直線垂直于x軸時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2。，根據(jù)拋物線的定義，|“川=々+2〃=5,

則C的方程可求；

（2）若選①，設(shè)直線MN的方程為：x=my+\,與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線MN'的斜

率，得直線肱V'的方程即可判斷；

若選②，設(shè)直線的方程為：x^my+l,與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)Q（f,O）,由題意上M°+心/°=。，結(jié)

合韋達(dá)定理得4m。+1）=0對任意的,"eR恒成立，則］=一1,得出答案.

【小問1詳解】

當(dāng)直線垂直于x軸時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2P

根據(jù)拋物線的定義，|MF|=f+2p=5,.”=2

則拋物線方程為：/=4x.

【小問2詳解】

若選①，若直線MN_Ly軸，則該直線與曲線C只有一個交點(diǎn)，不合題意，

廠（1,0）,設(shè)直線MN的方程為：x=〃?y+l,設(shè)A7（X|，x）,N（x2,y2）,N'（x2,-y2）

x=my+1.

聯(lián)立《2-，得/_4切_4=0,△=16m2+16>0恒成立

[y-=4x

得y+>2=4根，X>2=-4

k_X+>2_4m_4m_4_4y

直線MN'的斜率M*x]-x2x]-x2m（y,-y2）Y>；+4

,%

.-■直線MN的方程為y—X=魯Z（x一西）

24y

由>，化簡得y=17（x+i）

14芳+4

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，直線A1N'過定點(diǎn)(TO),，存在。(TO)

若選②，若直線MN_Ly軸，則該直線與曲線。只有一個交點(diǎn)，不合題意,

F(l,0),設(shè)直線MN的方程為：x=my+\

設(shè)N(X2，y),設(shè)。(t,0)

x=my+1

聯(lián)立〈2；，得丁o一4/2一4=0,4=16根2+16>0恒成立

y=4x

得乂+%=4根，=-4

x軸平分NMQN

-k+k_X?%一一?乂

MQ

NO玉-fx2-tmy}+1-rmy.,+]一/

=乂(陽2+1T)+%(沖i+1—)_2陽+(i-I(Y+%)

(/nj,+l-r)(my2+l-z)+l-/)(my2+1-/)

=--------8--m---+--4--m--(--l--z-)-----=(j_

(my,+l-r)(my2+l-r)

-8m+4m(l-r)=0,即4加。+1)=0對任意weR恒成立，貝心=一1.

，存在。(T,O).

請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時用2B鉛

筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號的方框涂黑.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程