【數學】習題課 直線與雙曲線的位置關系問題課件-2023-2024學年高二上人教A版2019選擇性必修第一冊

習題課4直線與雙曲線的位置關系問題習題課1.掌握直線與雙曲線位置關系的判斷方法，會判斷直線與雙曲線的位置關系.2.了解通徑的概念，能利用弦長公式求解雙曲線的弦長問題.任務：判斷直線與雙曲線的位置關系.目標一：掌握直線與雙曲線位置關系的判斷方法，會判斷直線與雙曲線的位置關系.

已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，在下列條件下，求實數k的取值范圍．(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點．解：消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)當1－k2＝0，即k＝±1時，直線l與雙曲線漸近線平行，方程化為2x＝5，故此方程(*)只有一個實數解，即直線與雙曲線相交，且只有一個公共點．(2)當1－k2≠0，即k≠±1時，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①即－＜k＜，且k≠±1時，方程(*)有兩個不同的實數解，即直線與雙曲線有兩個公共點．②即k＝±時，方程(*)有兩個相同的實數解，即直線與雙曲線有且僅有一個公共點．③即k＜－，或k＞時，方程(*)無實數解，即直線與雙曲線無公共點．當k＝±1，或k＝±時，直線與雙曲線有且只有一個公共點；綜上所述，當－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜時，直線與雙曲線有兩個公共點；當k＜－，或k＞時，直線與雙曲線沒有公共點．

1.直線與雙曲線位置關系的判斷方法：設直線y=kx+b，雙曲線－＝1(a>0，b>0)聯立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC.若A=0即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若Δ>0,直線與雙曲線相交，有兩個交點；若Δ=0，直線與雙曲線相切，有一個交點；若Δ<0，直線與雙曲線相離，無交點；直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件.歸納總結思考1：如何判斷直線與雙曲線的兩個交點具體交于哪一支？2.判斷直線與雙曲線交點位置（1）若一條直線與雙曲線的右支交于兩個不同的點，則應滿足條件；（2）若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點，則應滿足條件；（3）若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則應滿足條件.歸納總結練一練

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）

A． B．C． D．D解：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化簡得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由題意知即解得＜k＜－1.答案：D.思考2：若雙曲線的漸近線斜率為±k，根據漸近線的定義，能否利用直線與漸近線的斜率關系來判斷過P點的直線與雙曲線交點關系？如圖，設此雙曲線的漸近線斜率為±k.1.當直線的斜率等于±k時，直線與雙曲線相交于一點，直線①③均與雙曲線右支交于一點；2.當直線過P點且斜率在（﹣k，k）上時，直線與曲線左右兩支各交于一點，如直線②3.當直線過點P且斜率在（﹣∞，﹣k）∪（k，+∞）上時，直線可能與曲線的右支交于兩點，如直線⑥，也可能與曲線右支相切，如直線④，還可能與曲線相離，如直線⑤.歸納總結練一練

直線l：kx－y－2k＝0與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，則實數k的值為（）A．－1或1B．－1C．1 D．1，－1，0因為直線l：kx－y－2k＝0過定點(2,0),而直線l：kx－y－2k＝0與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，所以直線l：kx－y－2k＝0與雙曲線漸近線平行，即實數k的值為－1或1，故選A.A任務1：求直線與雙曲線相交的弦長.目標二：了解通徑的概念，能利用弦長公式求解雙曲線的弦長問題.

已知中心在原點的雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線過點．（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線右焦點F作傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點，求．解：（1）由題意設雙曲線方程為，把點代入，可得，即．∴所求雙曲線方程為；（2）由（1）知，雙曲線右焦點的坐標為，設，，，，直線AB的方程為，聯立，得．，，則

雙曲線弦長問題求解方法：1.求解直線與雙曲線相交弦的有關問題時，常用到根與系數的關系.直線l：y=kx+m（k≠0）與雙曲線相交于兩個不同的點，則弦AB的長為或.2.通徑：過焦點且與雙曲線焦點所在軸垂直的弦.其模長為.如圖,AB、CD即為橢圓通徑.歸納總結練一練

已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．（1）試求雙曲線的方程；（2）過左焦點作傾斜角為的弦MN，試求的面積(O為坐標原點)．解：（1）中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為.

,方程為.（2）直線與聯立，消去