通信原理電子版講義信道編碼2

9.2線性分組碼信道編碼：研討各種編碼的方法和譯碼的方法。

編碼器是一對(duì)一的映射，譯碼器是多對(duì)一的映射圖中的編碼器稱做碼，編碼率是。1線性分組碼的主要性質(zhì)線性分組碼:信息位和校驗(yàn)位之間的監(jiān)視關(guān)系是線性的監(jiān)視位能表示成信息的線性和方式1。封鎖性。恣意兩個(gè)碼組的和還是許用的碼組。2。碼的最小間隔等于非零碼的最小碼重。線性分組碼:碼的校驗(yàn)矩陣〔監(jiān)視矩陣〕碼的生成矩陣生成矩陣G與監(jiān)視矩陣H的關(guān)系系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼(碼的等價(jià)性〕對(duì)偶空間校驗(yàn)子S〔伴隨式、糾錯(cuò)〕2問題：為了能糾一位錯(cuò)，k位信息至少需求多少位的監(jiān)視信息？如何設(shè)計(jì)？回想：偶校驗(yàn)碼的監(jiān)視關(guān)系：S=1，傳輸出錯(cuò)；S=0，無誤傳輸上式稱為監(jiān)視關(guān)系，S稱為校驗(yàn)子。對(duì)于分組碼(n,k)，如希望用r=n-k個(gè)監(jiān)視位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)視方程式來指示一位錯(cuò)碼的n種能夠位置，糾正錯(cuò)誤，那么要求或。3舉例:闡明詳細(xì)如何構(gòu)造線性分組碼設(shè):分組碼(7,4)中，假設(shè)要能糾正一位錯(cuò)碼，要求監(jiān)視碼元數(shù)?，F(xiàn)取假設(shè)取k=4，那么可以確定n>=7。用3個(gè)校驗(yàn)子來確定傳輸?shù)?個(gè)位置能否出錯(cuò)假設(shè)傳輸時(shí)的碼字為假設(shè)與錯(cuò)碼的位置對(duì)應(yīng)如下:4傳輸時(shí)的碼字與錯(cuò)碼的位置關(guān)系如下錯(cuò)碼位置錯(cuò)碼位置001101010110100111011000無錯(cuò)5根據(jù)上表發(fā)送端編碼時(shí),信息位監(jiān)視位,根據(jù)信息位的取值按監(jiān)視關(guān)系來確定即:監(jiān)視位應(yīng)該使上三式的取值為0得到：6給出信息位根據(jù)上式可以算出監(jiān)視位從而得到〔7，4〕的一切碼組：00000001000111000101110011000010101101001000111101011001010011011000010101101110101001100111110100011100011111117寫成矩陣的方式即8H就稱為〔7，4〕碼的校驗(yàn)矩陣〔或監(jiān)視矩陣〕。只需監(jiān)視矩陣確定，那么編碼時(shí)信息位與監(jiān)視位的關(guān)系就確定了。線性分組碼的設(shè)計(jì)實(shí)踐上是如何設(shè)計(jì)監(jiān)視矩陣的問題。寫成另一種矩陣方式

變換得到9G稱為碼的生成矩陣。如知道生成矩陣同樣可以確定編碼的碼組。上例中：其中10生成矩陣G與監(jiān)視矩陣H的關(guān)系線性分組碼全部碼字：且對(duì)于任何線性分組碼而言，上述關(guān)系總是存在的：11例：假設(shè)輸入碼組為0011，知分組碼的監(jiān)視方程如下，求編碼器輸出碼字。解：監(jiān)視方程的矩陣方式：12監(jiān)視矩陣注：H矩陣稱為典型方式，各行一定是線性無關(guān)的。一個(gè)非典型方式的經(jīng)過運(yùn)算可以化成典型方式，經(jīng)過監(jiān)視矩陣可以知道監(jiān)視碼和信息碼的監(jiān)視關(guān)系。13生成矩陣

經(jīng)過生成矩陣可以得到生成碼組。假設(shè)輸入碼組為001114注：由這種方式得到的生成矩陣稱為典型生成矩陣由它產(chǎn)生的分組碼必定為系統(tǒng)碼就是信息碼字堅(jiān)持不變，監(jiān)視位附加其后，每行一定是線性無關(guān)的，每行都是一個(gè)生成碼組。15系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼假設(shè)信息位為:編碼后的碼組為:稱這種碼為系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼-----編碼后前k個(gè)就是信息位，后n-k是監(jiān)視位。假設(shè)不存在上述關(guān)系，那么稱為非系統(tǒng)碼。上例的〔7，4〕碼是系統(tǒng)碼只需系統(tǒng)碼才有關(guān)系系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼都有性質(zhì)

16碼的等價(jià)性設(shè)兩編碼器，輸出的碼集合是C1、C2。如(1)C1、C2集合一樣，(2)C1、C2只是變換了比特順序。稱這兩個(gè)編碼器是等價(jià)的等價(jià)性不涉及信息映射。系統(tǒng)碼可同一個(gè)非系統(tǒng)碼等價(jià)〔假設(shè)是線性的那么一定能〕，線性碼有能夠同一個(gè)非線性碼等價(jià)。17零空間、對(duì)偶碼假設(shè)C是n維線性空間的一個(gè)k維子空間，那么必存在一個(gè)的n-k維子空間H，它與C互為零空間。即CH，或CH=。用校驗(yàn)矩陣H中行矢量張成的子空間是一個(gè)(n,n-k)線性分組碼，它與碼C互為對(duì)偶碼18對(duì)偶碼在中恣意找出k個(gè)線性不相關(guān)的向量就構(gòu)成了一種〔n，k〕碼。恣意找出〔n－k〕個(gè)線性不相關(guān)的向量就夠成了一種〔n，n－k〕分組碼。對(duì)〔n，k〕碼，給定G那么會(huì)有一個(gè)H和它對(duì)應(yīng)，H的各行是中的〔n－k〕個(gè)線性不相關(guān)的向量，所以可以用來構(gòu)造一個(gè)〔n，n－k〕碼，這個(gè)碼叫做原來那個(gè)碼的對(duì)偶碼。假設(shè)H和G〔或者其行初等變換的結(jié)果〕相等，那么對(duì)偶碼和原來的碼是一樣的，稱自對(duì)偶。19校驗(yàn)子S與錯(cuò)誤圖樣假設(shè)我們發(fā)送的碼組為C，接納到的碼組為Y，那么Y＝C＋e錯(cuò)誤圖樣發(fā)送，收到y(tǒng)，y中能夠有些位置上和c不一樣〔有誤碼〕?？梢员硎境蒠＝C＋e。向量e叫錯(cuò)誤圖案，它指示哪些位置有錯(cuò)〔e中值為1的位置〕，哪些位置沒有錯(cuò)〔e中值為0的位置〕。錯(cuò)誤圖案e是中的一個(gè)向量，有個(gè)能夠的圖案。20校驗(yàn)子S〔伴隨式〕伴隨式只和錯(cuò)誤圖案e有關(guān)，和發(fā)送內(nèi)容c無關(guān)，故可用于譯碼器判別出錯(cuò)的位置。伴隨式s是r＝n－k維向量，總共有2k個(gè)不同的值。如將接納到的Y按照設(shè)計(jì)的監(jiān)視關(guān)系進(jìn)展運(yùn)算，可以得到上例結(jié)果。如設(shè)計(jì)使S的不同組合與錯(cuò)誤e一一對(duì)應(yīng)，那么我們可以利用錯(cuò)誤圖樣得到e，從而進(jìn)展糾錯(cuò)譯碼。21陪集陪集給定e就能算出一個(gè)，但e和s不是一一對(duì)應(yīng)的。假設(shè)某個(gè)e算出的伴隨式是s，那么對(duì)恣意，也算出一樣的s。也就是說，有個(gè)不同的e對(duì)應(yīng)著一樣的s。把一切的e按其伴隨式的值排成一個(gè)規(guī)范陣列〔94頁表9.2.1〕。排法是：一切一樣s的e排成一行〔這一行的一切e構(gòu)成的集合叫給定s所對(duì)應(yīng)的陪集〕，每行中碼重最小的〔即錯(cuò)誤最少的圖案〕排在第一個(gè)〔這個(gè)e叫這個(gè)陪集的陪集首〕22譯碼器任務(wù)過程(1)計(jì)算s(2)根據(jù)s查出陪集首〔3〕糾正錯(cuò)誤23編碼器與譯碼器編碼器24漢明碼 漢明碼監(jiān)視位為位，因此它可以組成個(gè)能夠情況，其中一個(gè)為無錯(cuò)。因此可以監(jiān)視碼位共 要糾正一個(gè)錯(cuò)誤，必需滿足 最小碼距假設(shè)r位監(jiān)視位所組成的校正子碼組與誤碼圖樣一一對(duì)應(yīng)，這種碼組稱為完備碼〔取等號(hào)時(shí)〕25擴(kuò)展?jié)h明碼假設(shè)在漢明碼根底上，再加上一位對(duì)一切碼字進(jìn)展校驗(yàn)的監(jiān)視位監(jiān)視碼字由r位添加到r+1位信息位不變碼長 碼構(gòu)造糾1位錯(cuò)，檢測(cè)2位錯(cuò)如〔8，4〕