貴州省遵義2023學年高三一診考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1+i/

1.已知i是虛數(shù)單位，則'I?廠()

--＞一■r.+r~-~i

A.22B.22C.22D.22

2.用一個平面去截正方體，則截面不可能是()

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

3.如圖所示，已知雙曲線。：￡-21=1(。＞()力＞())的右焦點為尸，雙曲線C的右支上一點A,它關(guān)于原點。的對稱

。2bi

點為8,滿足NAF8=120。，且18尸1=21461,則雙曲線C的離心率是().

J1-11-11

4,已知函數(shù)/(x)=2sinGox+(p)+b((o〉0),

/(+x)=/(-X),且/()=5,貝|J〃=()

OOO

A.3B.3或7C.5D.5或8

設(shè)為虛數(shù)單位，復數(shù)

5.iz=Q+i)(l-i)eR,則實數(shù)。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

4

6.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)、=()

(1-O2

A.2zB.-2/C.2D.-2

7.復數(shù)2i(l+i)的模為().

1

A.-B.1C.2D.25/2

2

Y2

8.已知雙曲線C：彳J勺為其左、右焦點,直線/過右焦點與雙曲線c的右支交于A,8兩點,

且點A在x軸上方,若”尸明,則直線/的斜率為（）

A.1B.-2C.-1D.2

,71

9.如圖，四面體A8C。中，面說和面88都是等腰直角三角形，AB=",NBAD=NCBD）,且二面角

2兀

A—%＞一。的大小為？，若四面體ABCO的頂點都在球。上，則球。的表面積為（）

10.已知尸為圓C：（x—5"+盧=36上任意一點，A（—5,0）,若線段R4的垂直平分線交直線尸C于點。，則。點

的軌跡方程為（）

X2戶X2V2

A.-----I---------1B.---=1

916916

X2V2尤2

C.一--=1（x<0）D.———1=1（x〉0）

916916

_471

11.如圖所示，用一邊長為J》的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為亍的

雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）

72+1

B.

22

cD事一］

'2'2

12.設(shè)集合A={xlx<3},8={xlx(0或r)2},則ACB=()

A.(-00,0)B.(2,3)C.(-oo-0)U(2,3)D.(-00-3)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分，將所留部分折成一個正四棱錐.當該棱錐的體積取得

最大值時，其底面棱長為.

13

14.在AA8C中，角A,B,C的對邊長分別為。,b,c,滿足a?-2(z(sinB+>/TcosB)+4=0,b—2J7,則AA8C

的面積為一.

15.某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為4B,C三組，其人數(shù)之比為5:3:2,現(xiàn)用分層抽樣的方

法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若C組中甲、乙二人均被抽到的概率是:，則該部門員工總?cè)藬?shù)為.

16.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體)，觀察向上的點數(shù)，

則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為一.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)=&(x+l).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當左=2時，求證：對于Vx>-1,/*)<g(x)恒成立；

(3)若存在方>一1,使得當％€(-1,七)時，恒有/(x)>g(x)成立，試求攵的取值范圍.

18.(12分)己知。力都是大于零的實數(shù).

一「a2b2,

(1)證明］―+—

ba

a1

⑵若"人證明成+hEy2

b

19.(12分)已知二階矩陣.4-，矩陣.4屬于特征值4-/的一個特征向量為勺-,屬于特征值％4的一個

特征向量為a?=口?求矩陣工

20.(12分)如圖，在多面體"CDEF中，四邊形ABC。是菱形，EFIIAC,EF=\,ZABC=6Oo,比_1_平

面ABC。，CE=58=2,G是￡>E的中點.

(I)求證：平面ACG〃平面班F；

(II)求直線AO與平面A5F所成的角的正弦值.

21.(12分)設(shè)”為實數(shù)，已知函數(shù)/(x)="ex,gG)=x+lnx.

(1)當a<0時,求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)設(shè))為實數(shù)，若不等式fG)>2心+bx對任意的a>1及任意的x〉0恒成立，求b的取值范圍；

(3)若函數(shù)//Ct)=/G)+g(x)(x>0,xeR)有兩個相異的零點，求。的取值范圍.

22.(10分)2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經(jīng)濟損失達52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了

某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風中造成的直接經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：[0,2000],(2000,40001,

(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000](單位：元)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)臺風后該青年志愿者與當?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000

元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用復數(shù)的運算法則即可化簡得出結(jié)果

【詳解】

1+ii-;(/+i)i(l-i)i-ii131

---+----=----；-+；---%---X=-/-/2-+---=?j+/4--+-=---/

il+i-/(-)22222

故選。

【點睛】

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題。

2.C

【解析】

試題分析：畫出截面圖形如圖

---------Q

顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C.

考點：平面的基本性質(zhì)及推論.

3.C

【解析】

易得IAFI=2a,\BF\^4a,又F。=；(F?+FA),平方計算即可得到答案.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點為E,易得AEBP為平行四邊形，

所以IBEI—IAF1=15/1一18。=2。，又15/1=214/1,

故IAFI=2a,\BF\^4a,FO-(FB+FA),

所以C2=J-(4tz2+16a2-2ax4a),即02=3〃2,

4

故離心率為e=J5.

故選：C.

【點睛】

本題考查求雙曲線離心率的問題，關(guān)鍵是建立“，Ac的方程或不等關(guān)系，是一道中檔題.

4.B

【解析】

n

根據(jù)函數(shù)的對稱軸x=g以及函數(shù)值，可得結(jié)果.

O

【詳解】

函數(shù)/(x)=2sin(o)x+(p)+/?(co>O),

若/(g+x)=/(：—x),則/(x)的圖象關(guān)于x=g對稱，

OOO

n

又/(不)=5,所以2+/?=5或-2+/?=5,

O

所以人的值是7或3.

故選：B.

【點晴】

本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎(chǔ)題

5.A

【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡，由復數(shù)的意義即可求得。的值.

【詳解】

復數(shù)Z=(a+i)G-i)eR,

由復數(shù)乘法運算化簡可得Z=a+l+(l-a),

所以由復數(shù)定義可知1一。=0,

解得。=1,

故選：A.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的乘法運算，復數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

根據(jù)復數(shù)的基本運算求解即可.

【詳解】

442i?

==-----=2z

(l-z)2----2i-Z2-------.

故選：A

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解.

【詳解】

解：?.?2i(l+i)=-2+2i,

復數(shù)2?(1+z)的模為［(-2)2+22=2點.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

由IAFJ=3IBFJ,可得”=3￡瓦設(shè)直線1的方程x=my+6,m>0,設(shè)展》)；)，虱口工)，即y1=-3y?①，

聯(lián)立直線1與曲線C,得丫］+丫2=-^"②，％力=啟二③，求出m的值即可求出直線的斜率.

【詳解】

雙曲線C：；一>2=1,F］,F?為左、右焦點，貝IJF2(6,0),設(shè)直線1的方程x=my+J5,m>0,:雙曲線的漸

近線方程為x=±2y,.\m^±2,

設(shè)A(X］,yj,B(x2,y2),且丫］>0,由IAFJ=3IBFJ.,??.丫］=-3y2①

由｛x_m9+4,得如2-4)y2+2占沖+1=0

x2-4y2-4=0

，△=(2^/5m)2-4(m2-4)>0,即m2+4>0恒成立,

26n__1

一孫=標口

聯(lián)立①②得一2%=-洛聯(lián)立①③得一3y廠白＜。,

J5m1m＞0,解得：m=L,直線/的斜率為2,

>2=-------即

%二E212—3血2

故選D.

【點睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題.

9.B

【解析】

分別取80、CO的中點M、N,連接40、MN、AN,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角A-%＞一。的平面角為

2K

NAMN=6,然后分別過點M作平面AM的垂線與過點N作平面8co的垂線交于點。，在MAQMN中計算出

0M,再利用勾股定理計算出即可得出球。的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案.

【詳解】

如下圖所示,

分別取8。、CD的中點M、N,連接40、MN、AN,

由于A的是以NB4O為直角等腰直角三角形，M為3。的中點，.1AWJ.8。，

71

???/。5。=彳，且M、N分別為BD、。的中點，所以，MNHBC,所以，MN±BD,所以二面角4一8。一。

2兀

的平面角為ZAMN=—,

AB=AD=y/2,則BD=yjAB?+A。？=2，且8C=2,所以，AM=1BD=1,MN=lfiC=l,

?.?AAB￡>是以/54O為直角的等腰直角三角形，所以，\ABD的外心為點M,同理可知，ABCD的外心為點N,

分別過點M作平面ABD的垂線與過點N作平面BCD的垂線交于點。，則點。在平面AMN內(nèi)，如下圖所示，

八_2717171

由圖形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=———

326

lMN2d3

在RfAOMN中,”=cos/OMN=且，‘°下=丁，

0M22L

2

所以，04==吁,

、228兀

所以，球。的半徑為/?=、—，因此，球。的表面積為4兀尺2=4兀X早=.

3I3J3

故選：B.

【點睛】

本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等

題.

10.B

【解析】

如圖所示：連接QA,根據(jù)垂直平分線知。A=QP,=故軌跡為雙曲線，計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：連接QA,根據(jù)垂直平分線知如=0P,

故段q-網(wǎng)|=儼|-閉=四=6<io,故軌跡為雙曲線,

2a=6,a=3,c-5,故b=4,故軌跡方程為二一21=1.

916

故選：B.

V

【點睛】

本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.

11.D

【解析】

因為蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1,又因為雞蛋的體積為三47r，所

以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d=F：=孚，而截面到球體最低點距離為1-￡,而蛋巢的高度為:，

1。岡r-1

故球體到蛋巢底面的最短距離為5-=工3—.

點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何

體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解

決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.

12.C

【解析】

直接求交集得到答案.

【詳解】

集合A={xlx<3},8={%1尤{0蛆}2},則4c8=(-oo,0)u(2,3).

故選：C.

【點睛】

本題考查了交集運算，屬于簡單題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4

⑶5

【解析】

根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可.

【詳解】

設(shè)底面邊長為2r,則斜高為1一x,即此四棱錐的高為‘匚與[[0<x<J

所以此四棱錐體積為V=1-4x2-出-2x=1,

令/?(x)=X4-2x5(0<x<；),

令h'(x)=4x3-10x4=2x3(2-5x)=0,

易知函數(shù)〃(x)在x=耳時取得最大值.

c4

故此時底面棱長2x=_.

4

故答案為：j.

【點睛】

本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導數(shù)研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.

14.25/3.

【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求B,進而可求。，然后結(jié)合余弦定理可求代入

S=lacsinB,計算可得所求.

MfiC2

【詳解】

解：把。2-2a(sin8+4cosB)+4=0看成關(guān)于a的二次方程，

則ANO,Ep4(sinB+^3cosB)2-16>0,

即為42sinffi+lH--16>0,

而sin218+g

化為sin2KI,

則sin2(B+：

nn4TI

由于()＜8＜兀，可得可＜5+9〈亍，

7171jr

可得3+丁=k，即8=—,

326

代入方程可得，G-4。+4=0,

.6?—2,

兀4+C2-28_73

由余弦定理可得,cos—=

62x2c2

解得：c=473（負的舍去）,

..S9csinB=，2x46；=2/

MBC

故答案為20.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應用，屬于中檔題.

15.60

【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得c組中的人數(shù)；由C組中甲、乙二人均被抽到的概率是:可求得C組的總?cè)藬?shù),

即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).

【詳解】

A，B,C三組人數(shù)之比為5:3:2,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，

則4B,。三組抽取人數(shù)分別10,6,4.

ccC2121

設(shè)c組有”人，則c組中甲、乙二人均被抽到的概率苦=“（；_1）=打，

n

解得〃=12.

該部門員工總共有等（5+3+2）=60人.

故答案為：60.

【點睛】

本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用，古典概型概率的簡單應用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

5

16-9

【解析】

總事件數(shù)為6x6=36,

目標事件：當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有

6）,（2,3）,（2,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,共8種；

當?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以，則有2x6=12種；

c205

所以目標事件共20中，所以尸===K。

369

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）單調(diào)減區(qū)間為（一2,二V巨），單調(diào)增區(qū)間為（-3；產(chǎn),+00）；（2）詳見解析；（3）（田,2）.

【解析】

試題分析：（1）對函數(shù)/G）求導后，利用導數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，可求得函數(shù)/G）的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)

力Q）=/W—ga）,利用導數(shù)求得函數(shù)〃G）在（T，+°。）上遞減，且〃（T）=0,則〃G）<0,故原不等式成立.（3）

同⑵構(gòu)造函數(shù)雙x）=/（x）-g（x）,對上分成%（2,k=2尚2三類，討論函數(shù)人G）的單調(diào)性、極值和最值，由此

求得〃的取值范圍.

試題解析：

（1）/'G）=--2（x+l）

x+2

-2Cv2+3x+1）

=-------------------（X>-2），

x+2

當/'（x）<0時,彳2+3x+1>0.

解得x>.13+6.

2

當/'（x）>0時，解得一2vxv二3：直.

2

所以/（x）單調(diào)減區(qū)間為—2,—，

、

單調(diào)增區(qū)間為,+00

7

(2)設(shè)〃(x)=/(x)-g(x)

=21n(x+zICv+l)2-Mx+l)(x>-1),

當左=2時，由題意，當xe(-l,+co)時,

/z(x)<0恒成立.

z\-2+3x+1)

h\x)=____________-2

x+2

-2(X+3)G+1)

x+2

.?.當X>-1時，〃'(x)<0恒成立，〃(x)單調(diào)遞減.

又〃(-1)=0,

.?.當xe(-l,+oo)時，〃(x)<〃(T)=0恒成立，即/(九)-g(x)<0.

對于Vx>-1,/Q)<g(x)恒成立.

z\—2Ct2+3x+0

(3)因為外(x)=___________-k

x+2

2"+(k+6)x+2k+2

x+2

由⑵知，當攵=2時，/Q)<g(x)恒成立,

即對于Vx>-1,2In(x+2)—(x+1><2(x+1),

不存在滿足條件的x；

0

當k>2時，對于Wx>—1,x+1>0,

此時2(X+1)<MX+1).

/.21nG+2)-(x+l)2<2(x+l)<k(x+l),

即/G)<g(x)恒成立，不存在滿足條件的X;

0

當&<2時，令f(x)=-2x2-(A+6)x-(2火+2),

可知/(x)與〃'(x)符號相同，

當XG(%,+00)時，/(x)<0,〃'(x)<0,

〃(x)單調(diào)遞減.

???當xw(一1,%。)時，A(%)>/?(-1)=0,

即/G)-g(x)>。恒成立.

綜上，左的取值范圍為(-00,2).

點睛：本題主要考查導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導數(shù)與不等式的證明，導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

這是導數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問

題，一個是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.

18.(1)答案見解析.(2)答案見解析

【解析】

(1)利用基本不等式可得丁+/2。,一+兩式相加即可求解.

ba

.f,b2]h2(a-b)

(2)由(1)知a+h--=ah+.--------?，代入不等式，利用基本不等式即可求解.

(a)a

【詳解】

(1)—+b^2a,一+專26

ba

。2。2

兩式相加得一+『2a+b

ab

.(心抗)b2(a-b)

(2)由(1)知。。十人一一二次?+---------

aa

G+2+-_L一9+b?(a-b)+Q+1

于是,

加a(a-b)a加a(a-b)

%2(a/?)+

,cia(a-b)

〃

>2.—+J2—>4.

'ba

【點睛】

本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題.

19.A；

【解析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣〃

【詳解】

由特征值、特征向量定義可知，㈣力勺,

瞰為外八［"得已匚

3。,為一721

（；c+；d解得“2,b3,c2,d/.因此矩陣X；

【點睛】

本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單

20.（I）詳見解析；（口）孚?

【解析】

試題分析：（I）連接5。交AC于。，得OG//BE,所以O(shè)G〃面BEF,又EFHAC,得AC〃面

即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；

（II）如圖，以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，求的平面的一個法向量加，利用向量和向量機夾

角公式，即可求解與平面A3F所成角的正弦值.

試題解析：

（I）連接5。交AC于。，易知。是30的中點，OG//BE,BE^BEF,OG在面5EF外，所以。G〃

面BEF；

又EFHAC,AC在面外，AC/7ffiBEF,又AC與OG相交于點O,面ACG有兩條相交直線與面5E尸

平行，故面ACG〃面5EF；

設(shè)面ABF的法向量為根=\a,h,c),m±AB

依題意有q令。=小,6=1,

m_LAF

直線AD與面ABF成的角的正弦值是半.

函數(shù)/(x)單調(diào)減區(qū)間為(，，。,一1)；單調(diào)增區(qū)間為(―I,”).(2)b<2-2\n2(3)

21.(1)

【解析】

(1)據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；

(2)分離參數(shù)，可得ae*>2x+b對任意的a>1及任意的x>()恒成立，構(gòu)造函數(shù)<P(')=/一2%,利用導數(shù)求出函數(shù)的

最值即可求出匕的范圍；

(3)先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出。的范圍

【詳解】

解：(1)當a<0時，因為/'G)=a(x+l)e*,當x<—1時,/'Q)〉0；

當x>-l時,/(x)<0.所以函數(shù)/G)單調(diào)減區(qū)間為(F,—D；單調(diào)增區(qū)間為(―1,+。。).

(2)由/(x)N2x2+bx,得奴exN2x2+6x,由于x>0,

所以aex>2x+b對任意的a>1及任意的x〉0恒成立，

由于小>0,所以aex>ex，所以ex-2x>b對任意的x>0恒成立，

設(shè)(p(x)=e”一2%，%>0,

則(p'(x)=&-2,所以函數(shù)(pG)在(o,ln2)上單調(diào)遞減，在(in2,”)上單調(diào)遞增,

所以①(x)=<p(ln2)=2-21n2,

min

所以b42—21n2.

（3）由人（x）=奴外+x+Inx,得〃，（x）=a（x+1）e「+1+1=”，其中x>0.

XX

①若a20時，則"G）〉0,所以函數(shù)〃G）在（0,”）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)〃G）至多有一個零點，不合題意；

②若a<0時，令"G）=0,得xex=-J->0.