數學九年級上冊專題22.7 與二次函數圖象有關的八種考法-重難點題型（人教版）（教師版）

專題22.7與二次函數圖象有關的八種考法-重難點題型【人教版】【題型1根據條件確定二次函數的圖象】【例1】（2020?鎮(zhèn)平縣一模）已知函數y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函數的圖象可以是（）A． B． C． D．【解題思路】根據已知條件“a＜0、b＞0、c＜0”判斷出該函數圖象的開口方向、與x和y軸的交點、對稱軸所在的位置，然后據此來判斷它的圖象．【解答過程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴該函數圖象的開口向下，對稱軸是直線x=?b2a＞0，與y故選：D．【變式1-1】（2020秋?北侖區(qū)期中）若a＞0，則二次函數y＝ax2+2x﹣1的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據a＞0，判斷拋物線開口向上，對稱軸為直線x=?22a=?【解答過程】解：∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵對稱軸直線x=?2∴對稱軸在y軸的左側，由y＝ax2+2x﹣1可知，拋物線與y軸的交點為（0，﹣1），故選：D．【變式1-2】（2020秋?大連期中）函數y＝ax2+ax+a（a≠0）的圖象可能是下列圖象中的（）A． B． C． D．【解題思路】根據函數y＝ax2+ax+a（a≠0），對a的正負進行分類討論，排除有錯誤的選項，即可得出正確選項．【解答過程】解：在函數y＝ax2+ax+a（a≠0）中，當a＜0時，則該函數開口向下，頂點在y軸左側，拋物線與y軸的負半軸相交，故選項D錯誤；當a＞0時，則該函數開口向上，頂點在y軸左側，拋物線與y軸的正半軸相交，故選項A、B錯誤；故選項C正確；故選：C．【變式1-3】（2020?浙江校級模擬）已知函數y＝ax2+bx+c，當y＞0時，?12＜x＜13．則函數y＝cx2A． B． C． D．【解題思路】當y＞0時，?12＜x＜13，所以可判斷a＜0，可知?ba=?12+13=?16，【解答過程】解：因為函數y＝ax2+bx+c，當y＞0時，?所以可判斷a＜0，可知?ba所以可知a＝6b，a＝﹣6c，則b＝﹣c，不妨設c＝1則函數y＝cx2﹣bx+a為函數y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）則可判斷與x軸的交點坐標是（2，0），（﹣3，0），故選：A．【題型2根據拋物線特征確定其他函數的圖象】【例2】（2020?南寧一模）如圖，關于x的二次函數y＝x2﹣x+m的圖象交x軸的正半軸于A，B兩點，交y軸的正半軸于C點，如果x＝a時，y＜0，那么關于x的一次函數y＝（a﹣1）x+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據函數圖象與y軸的交點，可得m＞0，根據二次函數圖象當x＝a時，y＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根據一次函數的性質，可得答案．【解答過程】解：把x＝a代入函數y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，∵x＝a時，y＜0，即a（a﹣1）+m＜0．由圖象交y軸的正半軸于點C，得m＞0，即a（a﹣1）＜0．x＝a時，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，∴一次函數y＝（a﹣1）x+m的圖象過一二四象限，故選：A．【變式2-1】（2021秋?和平區(qū)校級月考）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax與一次函數y＝bx﹣c在同一坐標系內的圖象大致是（）A． B． C． D．【解題思路】根據二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可以得到a、b、c的正負，從而可以得到一次函數y＝ax與一次函數y＝bx﹣c的圖象，本題得以解決．【解答過程】解：由二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函數y＝ax的圖象經過第一、三象限，一次函數y＝bx﹣c的圖象經過第二、三、四象限，故選：A．【變式2-2】（2021?江西）在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx+c的圖象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函數y＝ax﹣+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x=?b2a＜0，與y【解答過程】解：觀察函數圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函數y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x=?b2a＜0，與y故選：D．【變式2-3】（2020秋?廬陽區(qū)期末）如圖，一次函數y＝﹣x與二次函數y＝ax2+bx+c圖象在同一坐標系下如圖所示，則函數y＝ax2+（b+1）x+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據一次函數y＝﹣x與二次函數y＝ax2+bx+c圖象交點位置，即可判斷函數y＝ax2+（b+1）x+c的圖像與x軸在交點的位置．【解答過程】解：∵一次函數y＝﹣x與二次函數y＝ax2+bx+c圖象的交點在第二象限，∴兩個交點的橫坐標都是負數，∴函數y＝ax2+（b+1）x+c的圖像與x軸的交點的橫坐標都為負數，∴函數y＝ax2+（b+1）x+c的圖像與x軸的負半軸有兩個交點，故選：D．【題型3確定一次函數與二次函數在同一坐標系內的圖象】【例3】已知一次函數y=bax+c的圖象如圖，則二次函數y＝ax2+bx+A． B． C． D．【解題思路】根據一次函數圖象經過的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函數y＝ax2+bx+c的圖象對稱軸x=?b2a＞【解答過程】解：觀察函數圖象可知：ba＜0、∴二次函數y＝ax2+bx+c的圖象對稱軸x=?b2a＞0，與y故選：A．【變式3-1】（2021?深圳）二次函數y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數y＝2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】由二次函數y＝ax2+bx+c的圖象得到字母系數的正負以及對稱軸，與一次函數y＝2ax+b的圖象得到的字母系數的正負以及與x軸的交點相比較看是否一致．【解答過程】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＝1，對稱軸為直線x=?b2a，由直線可知，a＞0，b＜0，直線經過點（B、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線經過點（C、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線經過點（D、由拋物線可知，對稱軸為直線x=?b2a，直線經過點（故選：A．【變式3-2】（2021?越秀區(qū)模擬）已知a，b是非零實數，|b|＞|a|，在同一平面直角坐標系xOy中，二次函數y1＝ax2﹣bx與一次函數y2＝ax﹣b的大致圖象不大可能的是（）A． B． C． D．【解題思路】根據二次函數y＝ax2﹣bx與一次函數y＝ax﹣b（a≠0）可以求得它們的交點坐標，然后根據一次函數的性質和二次函數的性質，由函數圖象可以判斷a、b的正負情況，從而可以解答本題．【解答過程】解：y=ax2?bxy=ax?b解得故二次函數y＝ax2﹣bx與一次函數y＝ax﹣b（a≠0）在同一平面直角坐標系中的交點在x軸上為（ba，0）或點（1，a﹣b在A中，由一次函數圖象可知a＞0，b＜0，二次函數圖象可知，a＞0，b＜0，ba＜0，a﹣b＞0，故選項在B中，由一次函數圖象可知a＞0，b＞0，二次函數圖象可知，a＞0，b＞0，ba＞0，由|b|＞|a|，a﹣b＜0，故選項在C中，由一次函數圖象可知a＜0，b＜0，二次函數圖象可知，a＜0，b＜0，ba＞0，由|b|＞|a|，a﹣b＞0，故選項在D中，由一次函數圖象可知a＜0，b＞0，二次函數圖象可知，a＜0，b＞0，ba＜0，a﹣b＜0，故選項故選：B．【變式3-3】（2021?廣西模擬）在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax2+bx+2b與y＝﹣ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【解題思路】根據y＝﹣ax+b的圖象判斷a、b與0的大小關系，進一步確定函數y＝ax2+bx+2b的圖象即可作出判斷．【解答過程】解：A、一次函數的圖象經過一、二、四象限，則﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函數y＝ax2+bx+2b的圖象開口向上，對稱軸x＜0，與y軸的交點位于直線的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，則兩圖象有交點，故A錯誤；B、一次函數的圖象經過一、二、四象限，則﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函數y＝ax2+bx+2b開口向上，對稱軸x＞0，故B錯誤；C、一次函數的圖象經過一、二、三象限，則﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函數y＝ax2+bx+2b開口向下，對稱軸x＞0，故C錯誤；D、一次函數的圖象經過二、三，四象限，則﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函數y＝ax2+bx+2b開口向上，對稱軸x＞0，故D正確；故選：D．【題型4利用二次函數的圖象解決不等式問題】【例4】（2020春?番禺區(qū)校級月考）如圖．拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+mx+c＞n的解集為（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3【解題思路】觀察兩函數圖象的上下位置關系，即可得出結論．【解答過程】解：∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，∴拋物線y＝ax2+c與直線y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）兩點，觀察函數圖象可知：當x＜﹣3或x＞1時，拋物線y＝ax2+c在直線y＝﹣mx+n的上方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集為x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故選：C．【變式4-1】（2021?賀州）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【解題思路】y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關于y軸對稱，利用數形結合思想，把不等式的解集轉化為圖象的交點問題求解．【解答過程】解：∵y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關于y軸對稱，∴直線y＝﹣kx+m與拋物線y＝ax2+c的交點A′、B′與點A、B也關于y軸對稱，如圖所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根據函數圖象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故選：D．【變式4-2】（2021?南山區(qū)校級二模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的右交點A（5，0），對稱軸是直線x＝2，當ax2+bx+c＞16a時，x的取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7【解題思路】由對稱軸公式得直線x=?b2a=2，可得b＝﹣4a，與x軸右交點為(5,0)，代入拋物線得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入拋物線得ax2﹣4ax﹣5a【解答過程】解：∵y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝2，∴?bb＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵與x軸右交點為(5,0)，∴25a﹣20a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，ax2﹣4ax﹣21a＞0，∵a＜0，∴x2﹣4x﹣21＜0（兩邊同除以a，不等號方向改變），∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，開口向上，當x2﹣4x﹣21＝0時，（x﹣7)(x+3)＝0（結合圖象，可得﹣3＜x＜7），∴x1＝7，x2＝﹣3，∴﹣3＜x＜7，故選：C．【變式4-3】（2020?梧州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h交于A，B兩點，下列是關于x的不等式或方程，結論正確的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【解題思路】聯立y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函數圖象知，上述方程的解為x＝2或4，進而求解．【解答過程】解：聯立y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函數圖象知，上述方程的解為x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示拋物線的值大于直線的值，此時，x＜2或x＞4，故選：D．【題型5利用二次函數的圖象解決一元二次方程問題】【例5】（2020秋?松山區(qū)期末）如圖所示，二次函數y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸的一個交點坐標為（3，0），則關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解為（）A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3【解題思路】由題意可知交點（3，0）中的橫坐標3是方程﹣x2+2x+k＝0的一個根，所以把x1＝3代入關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根據根與系數的關系即可求出另一個解x2的值．【解答過程】解：∵二次函數y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸的一個交點坐標為（3，0），∴橫坐標3是方程﹣x2+2x+k＝0的一個根，∴把x1＝3代入關于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，﹣9+6+k＝0，解得k＝3，∴原方程可化為：﹣x2+2x+3＝0，∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．故選：B．【變式5-1】（2020?海珠區(qū)校級模擬）二次函數y＝ax2+bx的圖象如圖所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，則整數m的最小值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解題思路】根據拋物線的圖象以及二次函數與一元二次方程的之間的關系即可求出答案．【解答過程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，∴ax2+bx＝2﹣m有兩個不相等的實數根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示與x軸平行的直線），∴y1與y2有兩個交點，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整數，∴m＝1，故選：C．【變式5-2】（2020?南寧二模）如圖，二次函數：y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數：y＝mx+n（m≠0）的圖象交于A，B兩點，則一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解為（）A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝x2＝2【解題思路】結合函數圖象得到兩函數圖象的交點的橫坐標，則當x＝﹣1或x＝2時，兩函數的函數值相等，從而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．【解答過程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數：y＝mx+n（m≠0）的圖象的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，2，∴當x＝﹣1或x＝2時，ax2+bx+c＝mx+n，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解為x1＝﹣1，x2＝2．故選：C．【變式5-3】（2021?開福區(qū)模擬）如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標是A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論：①2a+b＝0；②拋物線與x軸的另一個交點是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數根；④當1＜x＜4時，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；則x1+x2＝1．則命題正確的個數為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【解題思路】①根據對稱軸可以判斷；②根據已知交點坐標和對稱軸可以判斷；③根據圖象性質向下平移3個單位即可判斷；④根據圖象性質即可判斷；⑤根據圖象對稱性即可判斷．【解答過程】解：①∵對稱軸為直線x=?b則：2a+b＝0正確；②∵對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點是B（4，0），則與x軸的另一個交點是（﹣2，0），故②正確；③將拋物線y1=ax2+bx+c向下平移3個單位，得到y(tǒng)＝ax2∴頂點坐標變?yōu)椋?，0），∴此時拋物線與x軸只有一個交點，∴方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數根正確；④當1＜x＜4時，有圖象可知y2＜y1正確；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，則ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y(tǒng)2，∴x1、x2關于函數的對稱軸對稱，由①知函數對稱軸為直線x=?b故12（x1+x2∴⑤不正確，故選：B．【題型6利用二次函數的圖象特征判斷結論正誤】【例6】（2021?福田區(qū)二模）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸是直線x＝1．下列結論：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m為實數）．其中結論正確的個數為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解題思路】該函數開口方向向上，則a＞0，由對稱軸可知，b＝﹣2a＜0，與y軸交點在y軸負半軸，則c＜0，再根據一些特殊點，比如x＝1，x＝﹣1，頂點等進行判斷即可．【解答過程】解：∵函數開口方向向上，a＞0，∵對稱軸為x＝1，則?b∴b＝﹣2a＜0，∵與y軸交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①錯；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正確；對稱軸為x＝1，則?b2a=1，即b由上知，a﹣b+c＞0，則a+2a+c＞0，即3a+c＞0，∴4a+c＞a＞0，故③正確；由圖象可得，當x＝1時，函數取得最小值，∴對任意m為實數，有am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正確．綜上，正確的個數有三個．故選：B．【變式6-1】（2021?鐵嶺模擬）數學課上老師出了這樣一道題：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣2，與x軸的一個交點在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，其部分圖象如圖所示，請同學們據此寫出正確結論，每寫對一個結論得20分，寫錯一個結論倒扣10分；小濤得到了如下結論：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t為實數）；⑤點（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是該拋物線的點，則y1＞y3＞y2．則小濤此題得分為（）A．100分 B．70分 C．40分 D．10分【解題思路】由拋物線與x軸的交點及拋物線的對稱性可判斷①；根據拋物線的對稱軸可判斷②；由x＝﹣1時y＞0可判斷③，由x＝﹣2時函數取得最大值可判斷④；根據拋物線的開口向下且對稱軸為直線x＝﹣2知圖象上離對稱軸水平距離越小函數值越大，可判斷⑤．【解答過程】解：∵與x軸的一個交點在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，∴由拋物線的對稱性知，另一個交點在（﹣1，0）和（0，0）之間，∴拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，即c＜0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴4a﹣b＝0，所以②正確；∵由②知，x＝﹣1時y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正確；由函數圖象知當x＝﹣2時，函數取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t為實數），故④正確；∵拋物線的開口向下，且對稱軸為直線x＝﹣2，∴拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數值越大，∴y1＞y3＞y2，故⑤正確；∵寫對一個結論得20分，寫錯一個結論倒扣10分，∴小濤得到了70分，故選：B．【變式6-2】（2021?槐蔭區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M（2，0）．下列結論：①ac＜0；②2a+b＝0；③若關于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有兩個不相等的實數根，則t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝4．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】由拋物線開口向上得a＞0，由拋物線與y軸的交點在x軸上方得c＞0，則可對①進行判斷；根據拋物線的對稱軸為直線x=?b2a=2可對②進行判斷；由頂點M的坐標為（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判別式△＞0，則可對③進行判斷；由ax12+bx1＝ax22+bx2得出x【解答過程】解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴ac＞0，所以①不正確；②∵頂點M（2，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=?b∴4a+b＝0，所以②不正確；③∵拋物線的頂點M的坐標為（2，0），∴4a+2b+c＝0，又∵4a+b＝0，∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，∵關于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有兩個不相等的實數根，∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，得ct＞0，∵c＞0，∴t＞0，所以③正確；④∵ax12+bx1＝ax22+bx2，則ax12+bx1+c＝ax22∵當x＝x1與x＝x2時，y值相同，∴x1，x2關于對稱軸x＝2對稱，則x1+x22=2，即x1故選：B．【變式6-3】（2021?肇源縣模擬）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，﹣9a），下列結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四個根，則這四個根的和為﹣4．其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解題思路】根據二次函數的性質一一判斷即可．【解答過程】解：∵拋物線的開口向上，則a＞0，對稱軸在y軸的左側，則b＞0，交y軸的負半軸，則c＜0，∴abc＜0，所以①結論錯誤；∵拋物線的頂點坐標（﹣2，﹣9a），∴?b2a=?2，4ac?∴b＝4a，c＝﹣5a，∴拋物線的解析式為y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②結論正確，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③結論錯誤，∵拋物線y＝ax2+4ax﹣5a交x軸于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1，正確，故結論④正確，若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，設方程ax2+bx+c＝1的兩根分別為x1，x2，則x1+x22=?2，可得設方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根分別為x3，x4，則x3+x42=?2，可得所以這四個根的和為﹣8，故結論⑤錯誤，故選：A．【題型7由幾何動點問題確定函數圖象】【例7】（2021?聊城）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點P，Q同時由A點出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數關系的圖象是（）A． B． C． D．【解題思路】分點Q在線段AD上，點Q在線段CD上，點Q在線段BC上，三種情況討論，由三角形面積公式可求解析式，即可求解．【解答過程】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F，∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CFA＝90°，∴四邊形DEFC是矩形，∴DC＝EF＝3，∵AD＝5，DE＝4，∴AE=AD∵∠ABC＝45°，∴∠FCB＝∠ABC＝45°，∴CF＝BF＝4，∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，當點Q在線段AD上時，則0≤x≤3，y=12×x×43當點Q在線段CD上時，則3＜x≤6，y=12×x當點Q在線段BC上，則6＜x≤10，如圖，∵AP＝t，AB＝10，∴BP＝10﹣t，∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴PQ＝PB＝10﹣x，∴y=12×x×（10﹣x）=?12故選：B．【變式7-1】（2021?杭州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為5，動點P的運動路線為A→B→C，動點Q的運動路線為B→D．點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，當一個點到達終點且停止運動時，另一個點也隨之停止．設點P運動的路程為x，△BPQ的面積為y，則y隨x變化的函數圖象大致是（）A． B． C． D．【解題思路】分兩種情況：P點在AB上運動和P點在BC上運動時；分別求出解析式即可．【解答過程】解：（1）點P在AB上運動時，0＜x≤5，如右圖，∵正方形ABCD的邊長為5，點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，作QE⊥AB交AB于點E，則有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE=22∴△BPQ的面積為：y=12BP?QE=12×(5?x)×22∴此時圖象為拋物線開口方向向下；（2）點P在BC上運動時，5＜x≤52，如右圖，∵正方形ABCD的邊長為5，點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，作QE⊥BC交BC于點E，則有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE=22∴△BPQ的面積為：y=12BP?QE=12×（x﹣5）×22x=24∴此時圖象是拋物線一部分，開口方向向上，且y隨x的增大而增大；綜上，只有選項B的圖象符合，故選：B．【變式7-2】（2021?包河區(qū)二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直線上，將△ABC向右平移，則△ABC和正方形EFGH重疊部分的面積y與點B移動的距離x之間的函數圖象大致是（）A． B． C． D．【解題思路】首先確定每段與x的函數關系類型，根據函數的性質確定選項．【解答過程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝22，∴△ABC的底邊AB邊上的高為：AC?sin45°=22①當0＜x≤2時，y=1故第一段函數圖象為開口方向向上的拋物線，可排除選項A、D；②當2＜x≤4時，FB＝x﹣2，AE＝4﹣x，∴y=12×(22)故第二段函數圖象為開口方向向下的拋物線，可排除選項B；③當4＜x＜6時，y=1故第二段函數圖象為開口方向向上的拋物線，故選項C符合題意．故選：C．【變式7-3】（2021?瑤海區(qū)二模）如圖，直線a、b都與直線l垂直，垂足分別為E、F，EF＝1，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC在直線l上，且點C位于點E處，將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點F重合為止，記點C平移的距離為x，正方形ABCD位于直線a、b之間部分（陰影部分）的面積為y，則y關于x的函數圖象大致為（）A． B． C． D．【解題思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況，分別求出函數表達式，即可求解．【解答過程】解：①當0≤x≤1時，如圖1，設平移后的正方形交直線a于點G、H，則EC＝x，△GHC為等腰直角三角形，故GH＝2x，則y＝S△HGC=12×EC?GH=12?x?2②當1＜x≤2時，如圖2，設平移后的正方形交b于點M、N交a于點GH，則△A′GH、△MNC′均為等腰直角三角形，則y＝S正方形ABCD﹣（S△A′GH+S△MNC′）＝（2）2?12[（2﹣x）（2﹣x）×2﹣2×（x﹣1）（x﹣1）]＝﹣2x2+6該函數為開口向下的拋物線；③當2＜x≤3時，同理可得：y＝（3﹣x）×2（3﹣x）×12=x2該函數為開口向上的拋物線；故選：B．【題型8由動點問題的函數圖象獲取信息】【例8】（2021春?西城區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD，動點P從點A出發(fā)沿折線AB→BD→DA勻速運動，回到點A后停止．設點P運動的路程為x，線段AP的長為y，圖2是y與x的函數關系的大致圖象，則?ABCD的面積為（）A．245 B．165 C．125 D．36【解題思路】圖1和圖2中的點對應：點A對點O，點B對點M，點D對點N，根據點P運動的路程為x，線段AP的長為y，依次解出AB＝x＝6，即點M的橫坐標，AD＝AP＝y(tǒng)＝8，即點N的縱坐標，解出BE＝25，?ABCD的面積＝AD×BE＝8×25=165【解答過程】解：在圖1中，作BE⊥AD，垂足為E，在圖2中，取M（6，6），N（12，8），當點P從點A到點B時，對應圖2中OM線段，得AB＝x＝6，當點P從B到D時，對應圖2中曲線MN從點M到點N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，當點P到點D時，對應圖2中到達點N，得AD＝AP＝y(tǒng)＝8，在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝8，BE⊥AD，解得AE＝4，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝4，BE2+AE2＝AB2，解得BE＝25，∴?ABCD的面積＝AD×BE＝8×25=165故選：B．【變式8-1】（2021?花都區(qū)三模）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，點E是BC