專題04 數列及求和（解析版）2024年高考數學二輪復習高頻考點追蹤與預測（新高考專用）

第第頁專題4數列及其應用01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點·以考定法（五大命題方向+五道高考預測試題，高考必考10-15分）命題點1等差數列及性質命題點2等比數列及性質命題點3等差等比數列綜合命題點4數列情景題命題點5數列求和高考猜題04創(chuàng)新好題·分層訓練（精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升）一、一般數列性質：單調性：遞增數列：an+1>an；遞減數列：an+1二、等差數列及性質1．定義式：an+12．等差中項：若a，b，c成等差數列，則2b=a+c?相鄰三項，2a3．通項公式：an從函數角度理解：an=An+B，其中A=d推廣：a4．an為等差數列，Sn為其前性質1：若m+n=s+t，則a特殊的，若m+n=2t，則a性質2：am，am+k，am+2k，a性質3：Sm，S2m?Sm5．前n項和：Sn從函數角度理解：Sn=An26．單調性：d>0，單調遞增；d<0，單調遞減；d=0，常函數7．Sn法一：Sn最值問題可由S法二：若a1>0,d>0，Sn的最小值為S若a1>0,d<0，Sn的最大值為項的正負分界處（an≥0若a1<0,d<0，Sn的最大值為S若a1<0,d>0，Sn的最小值為項的正負分界處（an≤0法三：解不等式組Sn≥Sn?1，Sn≥S解不等式組Sn≤Sn?1，Sn≤S8．判斷等差數列的方法：﹡定義法﹡等差中項法﹡通項公式法﹡前n項和公式法三、等比數列及性質：1．定義式：an+12．等比中項：若a，b，c成等比數列，則b?相鄰三項，a3．通項公式：an=a4．an為等比數列，Sn為其前性質1：若m+n=s+t，則a特殊的，若m+n=2t，則a性質2：am，am+k，am+2k，a性質3：Sm，S2m?Sm5．前n項和：Sn=aSn=na6．單調性：若a1若a1若a1若a1若q=1，常數列；若q<0，擺動數列.四、數列綜合問題：1．求通項公式：（1）猜想證明法根據條件猜想通項公式，再驗證或證明其符合題意.（2）an與S由an=S（3）累加法：a（4）累乘法：a（5）構造法：1※構造等比數列※形如：an+1待定系數法an+1+t=2(an+t)2※構造等比數列※形如：an+1待定系數法an+13※構造等差數列※形如：an+1等式兩邊同時除以2n+1，即得a4※構造等比數列※形如：an+1等式兩邊同時除以2n+1，得到a5※構造等差數列※形如：an等式兩邊同時除以ana6※構造等比數列※形如：a等式兩邊同時取對數，得lna2．數列求和方法：（1）公式求和法﹡等差、等比數列直接用公式求和i=1ni=1（2）倒序相加法距首位兩端等距的兩項和相等（3）錯位相減法差比數列：形如an=bn?（4）裂項相消法形如an=1ba形如an（5）分組求和法通項公式有若干個等差數列、等比數列或可求和的數列組成，可分別求和后再相加.如：a（6）并項求和法形如an數列是高考中必考點，一般以1+1或者是2+1形式出現，主要考查等差等比數列及其性質應用真題多維細目表考點考向考題等差等比數列應用等差數列性質等比數列及性質③等差等比數列綜合④數列情景題⑤數列求和2023新全國Ⅰ卷T7全國乙T10全國甲T52022全國乙卷T132021全國甲卷T18全國ⅡT172023新高考Ⅱ卷85全國乙卷T15全國甲卷T13T52022全國乙卷T10T82021Q全國甲卷T72023全國乙卷T102022全國甲卷T18新高考ⅡT172021全國乙卷T192022新高考Ⅱ卷T3全國乙卷T42020新高考Ⅱ卷T42023新高考ⅠT20新高考ⅡT18乙卷T18甲卷T172022新高考ⅠT172021全國乙卷T19甲卷T9T18新高考ⅠT17新高考ⅡT17命題點1等差數列及其性質典例01（2023·全國乙卷）已知等差數列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數列中，，顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B典例02（2023·全國·統(tǒng)考甲卷）記為等差數列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列的公差和首項，再根據前項和公式即可解出；方法二：根據等差數列的性質求出等差數列的公差，再根據前項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.命題點2等比數列及性質典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考Ⅱ卷）記為等比數列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據等比數列的前n項和公式求出公比，再根據的關系即可解出；方法二：根據等比數列的前n項和的性質求解．【詳解】方法一：設等比數列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考乙卷）已知為等比數列，，，則.【答案】【分析】根據等比數列公式對化簡得，聯立求出，最后得.【詳解】設的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.命題點3等差等比數列綜合典例01（2022·全國·統(tǒng)考高考甲卷）記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數列．（2）[方法一]：二次函數的性質由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，即有.則當或時，．【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．典例02（2022·全國新高考Ⅱ卷）已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數列的公差為，根據題意列出方程組即可證出；（2）根據題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設數列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數為．命題點4數列情景題典例01（2022·全國·統(tǒng)考Ⅱ）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D典例02（2022·全國·統(tǒng)考乙卷題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.命題點5數列求和典例01．（2023·全國·統(tǒng)考Ⅱ卷）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.典例02（2023·全國·統(tǒng)考乙卷）記為等差數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結合運算求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.典例03（2023·全國·統(tǒng)考甲卷）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據即可求出；（2）根據錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．典例04（2022·全國·統(tǒng)考Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴①裂項①裂項求和常見類型有：分式型：，，，，等；指數型：，等；擺動型：；根式型：等；對數型：，且；②錯位相減法常見類型：數列的通項為或（公比為：），即“等差×等比數列”，基本步驟：用錯位相減法求數列前項和過程可概括為“一加、二乘、三減、四除”八字一加：將數列的各項展開相加①二乘：對所列等式的每一項都乘上等比數列的公比②三減：將列出的兩等式上減下，錯位相減，①-②得四除：右側括號部分用等比求和公式，注意為項，左右兩邊同時除以，再整理結果.對于絕對值求和：務必注意如果數列是分段的，則數列求和務必是分段的，一定要注意范圍問題.預計2024年高考中數列也會是以等差等比求和的形式出現解答題與小題，小題將是以等差與等比結合的性質，解答題將是數列求和的形式出現1．設等比數列的前項和為，且，則（

）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】根據條件列出關于首項和公比的方程組，求出首項和公比，然后根據等比數列前n項和公式計算即可求解.【詳解】由，得，解得，，所以.故選：B.2．若成等差數列；成等比數列，則等于A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數列以及等比數列的性質求出等差數列的公差，等比數列的公比，然后計算求解即可．【詳解】若1，a1，a2，4成等差數列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比數列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數列奇數項的符號相同）．∴故答案為A．3．已知各項均為正數的數列的前n項和為，且，（且）．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）當時，，即，解得．因為（），所以（），又（，），，所以（），又，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，所以．當時，，當時，，滿足上式，所以數列的通項公式為．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．4．已知正項數列的前n項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設，若數列滿足，求的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，且，則，可知數列為常數列，且，則，即，當時，，且也符合上式，所以.（2）由（1）可得，則，設的前n項和為，則，所以的前n項和為.5．已知數列的前項和為，，當時，.(1)求數列的通項公式；(2)設數列，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，當時，，且，若，則，即，當時，，兩式相減得，，整理得，即，所以.綜上所述，.（2）因為，設數列的前項和為，當時，，當時，，此時時適合上式，所以.（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）A·A·新題速遞一、單選題1．（2023上·廣東·高三執(zhí)信中學校聯考期中）已知等差數列和的前n項和分別為，，若，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等差中項與等差數列前項和得出，，即可代入已知得出答案.【詳解】由等差數列的性質可得：，，則，即，，故選：C.2．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校?？奸_學考試）已知公比為2的等比數列的前n項和為，且，，成等差數列，則（

）A．64 B．63 C．126 D．128【答案】B【分析】根據三項成等差數列，利用等比中項列出等量關系，再結合等比數列定義，即可求得首項和公比，代入求和公式即可.【詳解】由于，，成等差數列，所以，即，所以，解得，所以.故選：B.3．（2023·山東濟南·高三山東師范大學附中?？茧A段練習）已知數列滿足且，則（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【分析】由已知可得數列是以2為公差的等差數列，再，代入可得選項.【詳解】,∴數列是以2為公差的等差數列，，，，，故選：B.【點睛】本題考查等差數列的定義，等差數列的項的關系，屬于基礎題.4．（2023·江西·校聯考模擬預測）在《九章算術》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚六尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？大意是有厚墻六尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.問幾天后兩鼠相遇？（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于前兩天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5.第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺，因此第三天相遇．設第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5?y尺，則,解得.相見時大鼠打了尺長的洞,用了天，小鼠打了尺長的洞，用了天，即天后兩鼠相遇.本題選擇A選項.二、解答題5．（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學校校聯考期中）記正項數列的前項和為，已知.(1)求；(2)若，數列的前項和為，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，將上述兩式相減得：，由于是正項數列，當時，，因為，所以或(舍去)，所以，所以可得：，故數列是首項為1，公差為2的等差數列，所以；（2）因為，結合（1）的結論可得，.6．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知數列的前n項和為，，．(1)求數列的通項；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，兩邊同時除以，所以，所以，所以是以為首項，為公差的等差數列，所以，所以，當時，，當時，也滿足上式，所以.（2）由（1）可得，，則.7．（2023上·廣東廣州·高三廣州市白云中學?？计谥校┮阎獢盗袧M足，，記．(1)證明：數列為等差數列；(2)設數列的前n項和為，求數列的前n項的和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意，得到，結合，得出，即可求解；（2）由（1），求得，得到，分為偶數和為奇數，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為數列滿足，，可得，又因為，即，且，所以數列表示首項為，公差為的等差數列.（2）解：由（1），可得數列的通項公式為，可得，所以當為偶數時，；當為奇數時，，所以數列的前項和為：.8．（2023上·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學校聯考階段練習）已知數列滿足（，且，．求：(1)數列的通項公式(2)數列的前項和．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）數列滿足，根據等比數列定義可知為等比數列，又，設公比為，則，所以所以，故．所以數列的通項公式為（2）由（1）可得．；所以.BB·易錯提升一、單選題1．（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習）記為等比數列的前項和，若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據條件列出關于首項和公比的方程組，求出首項和公比即可求解.【詳解】由，得，解得，，.故選：C.2．（2023上·河南三門峽·高三陜州中學?？茧A段練習）已知正項等比數列的前項和為，若，，成等差數列，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】借助等比數列的片段和性質得出與的關系，再借助基本不等式即可得到.【詳解】根據等比數列的片段和性質有，由，，成等差數列，有，即，故有，又因為數列為正項等比數列，則，即，當且僅當時，等號成立.故選：D.3．（2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學校聯考期中）在遞增的等差數列中，首項為，若，，依次成等比數列，則的公差為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用等比中項性質及等差數列通項公式計算即可.【詳解】設等差數列的公差為d（），由題意知，，，所以，即，解得或，因為，所以.故選：C.4．（2023上·黑龍江牡丹江·高三牡