高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題09 立體幾何 文（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題09立體幾何

歷年考題細(xì)目表題型年份考點(diǎn)試題位置單選題2018三視圖與直觀圖2018年北京文科06單選題2017三視圖與直觀圖2017年北京文科06單選題2015三視圖與直觀圖2015年北京文科07單選題2013空間角與空間距離2013年北京文科08單選題2012三視圖與直觀圖2012年北京文科07單選題2011三視圖與直觀圖2011年北京文科05單選題2010三視圖與直觀圖2010年北京文科05單選題2010表面積與體積2010年北京文科08填空題2019三視圖與直觀圖2019年北京文科12填空題2019點(diǎn)線面的位置關(guān)系與立體幾何基本定理2019年北京文科13填空題2016三視圖與直觀圖2016年北京文科11填空題2014三視圖與直觀圖2014年北京文科11填空題2013三視圖與直觀圖2013年北京文科10解答題2019平行關(guān)系的判定與性質(zhì)2019年北京文科18解答題2018平行關(guān)系的判定與性質(zhì)2018年北京文科18解答題2017空間角與空間距離2017年北京文科18解答題2016空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2016年北京文科18解答題2015表面積與體積2015年北京文科18解答題2014垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)2014年北京文科17解答題2013垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)2013年北京文科17解答題2012垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)2012年北京文科16解答題2011空間角與空間距離2011年北京文科17解答題2010垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)2010年北京文科17

歷年高考真題匯編1．【2018年北京文科06】某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：PA⊥底面ABCD，AC，CD，PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形，分別為：△PAB，△PBC，△PAD．故選：C．

2．【2017年北京文科06】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，該三棱錐的體積10．故選：D．

3．【2015年北京文科07】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．2【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD，PD．PC═該幾何體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為：故選：C．

4．【2013年北京文科08】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|＝3，則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴（﹣3，﹣3，3），設(shè)P（x，y，z），∵（﹣1，﹣1，1），∴（2，2，1）．∴|PA|＝|PC|＝|PB1|，|PD|＝|PA1|＝|PC1|，|PB|，|PD1|．故P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有，3，，共4個(gè)．故選：B．

5．【2012年北京文科07】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角邊長(zhǎng)為4和5的三角形，一個(gè)側(cè)面垂直底面的等腰三角形，高為4，底邊長(zhǎng)為5，如圖，所以S底10，S后，S右10，S左6．幾何體的表面積為：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故選：B．

6．【2011年北京文科05】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（）A．16 B．16+16 C．32 D．16+32【解答】解：由已知中的三視力可得該幾何體是一個(gè)四棱錐，棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，故底面面積為16，棱錐的高為2，故側(cè)面的高為：2，則每個(gè)側(cè)面的面積為：4，故棱錐的表面積為：16+16，故選：B．

7．【2010年北京文科05】一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所，則該幾何體的俯視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：由正視圖可知去掉的長(zhǎng)方體在正視線的方向，從側(cè)視圖可以看出去掉的長(zhǎng)方體在原長(zhǎng)方體的左側(cè)，由以上各視圖的描述可知其俯視圖符合C選項(xiàng)．故選：C．

8．【2010年北京文科08】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上．點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(tǒng)（x，y大于零），則三棱錐P﹣EFQ的體積（）A．與x，y都有關(guān) B．與x，y都無(wú)關(guān) C．與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān) D．與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)【解答】解：三棱錐P﹣EFQ的體積與點(diǎn)P到平面EFQ的距離和三角形EFQ的面積有關(guān)，由圖形可知，平面EFQ與平面CDA1B1是同一平面，故點(diǎn)P到平面EFQ的距離是P到平面CDA1B1的距離，且該距離就是P到線段A1D的距離，此距離只與x有關(guān)，因?yàn)镋F＝1，點(diǎn)Q到EF的距離為線段B1C的長(zhǎng)度，為定值，綜上可知所求三棱錐的體積只與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)．故選：C．

9．【2019年北京文科12】某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為l，那么該幾何體的體積為．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是把棱長(zhǎng)為4的正方體去掉一個(gè)四棱柱，則該幾何體的體積V．故答案為：40．

10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：．【解答】解：由l，m是平面α外的兩條不同直線，知：由線面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α．故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α．

11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個(gè)以俯視圖為底面四棱柱，棱柱的底面面積S（1+2）×1，棱柱的高為1，故棱柱的體積V，故答案為：

12．【2014年北京文科11】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為．【解答】解：由主視圖知CD⊥平面ABC，設(shè)AC中點(diǎn)為E，則BE⊥AC，且AE＝CE＝1；由主視圖知CD＝2，由左視圖知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中，BD，在Rt△ACD中，AD＝2．則三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為2．故答案為：2．

13．【2013年北京文科10】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為．【解答】解：幾何體為底面邊長(zhǎng)為3的正方形，高為1的四棱錐，所以體積．故答案為：3．

14．【2019年北京文科18】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．【解答】證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE，∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE?平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE．理由如下：取AB中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CG，∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)，∴CG∥AE，F(xiàn)G∥PA，∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF?平面CFG，∴CF∥平面PAE．

15．【2018年北京文科18】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．【解答】證明：（Ⅰ）PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，可得PE⊥AD，底面ABCD為矩形，可得BC∥AD，則PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一個(gè)公共點(diǎn)P，且AB∥CD，在平面PAB內(nèi)過(guò)P作直線PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD為平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中點(diǎn)H，連接DH，F(xiàn)H，在三角形PCD中，F(xiàn)H為中位線，可得FH∥BC，F(xiàn)HBC，由DE∥BC，DEBC，可得DE＝FH，DE∥FH，四邊形EFHD為平行四邊形，可得EF∥DH，EF?平面PCD，DH?平面PCD，即有EF∥平面PCD．

16．【2017年北京文科18】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．（1）求證：PA⊥BD；（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；（3）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E﹣BCD的體積．【解答】解：（1）證明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD?平面ABC，可得PA⊥BD；（2）證明：由AB＝BC，D為線段AC的中點(diǎn)，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD?平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD?平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA?平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D為AC的中點(diǎn)，可得E為PC的中點(diǎn)，且DEPA＝1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDCS△ABC2×2＝1，則三棱錐E﹣BCD的體積為DE?S△BDC1×1．

17．【2016年北京文科18】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求證：DC⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；（3）設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC；（2）證明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C，∴AB⊥平面PAC，∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF．∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA，∵PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF．

18．【2015年北京文科18】如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．（1）求證：VB∥平面MOC；（2）求證：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱錐V﹣ABC的體積．【解答】（1）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，∴OM∥VB，∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC＝BC，O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB?S△VAB，∴VV﹣ABC＝VC﹣VAB．

19．【2014年北京文科17】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E、F分別為A1C1、BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求證：C1F∥平面ABE；（3）求三棱錐E﹣ABC的體積．【解答】解：（1）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）證明：取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則∵F是BC的中點(diǎn)，∴FG∥AC，F(xiàn)GAC，∵E是A1C1的中點(diǎn)，∴FG∥EC1，F(xiàn)G＝EC1，∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F∥EG，∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，∴AB，∴VE﹣ABCS△ABC?AA1（1）×2．

20．【2013年北京文科17】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD．又AD?平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，故有BE∥平面PAD．

（Ⅲ）平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

21．【2012年北京文科16】如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2．（1）求證：DE∥平面A1CB；（2）求證：A1F⊥BE；（3）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC，又DE?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．

（3）線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即為平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，從而A1C⊥平面DEQ，故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ．

22．【2011年北京文科17】如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由．【解答】證明：（Ⅰ）∵D，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，∴DE∥PC，∵DE?平面BCP，∴DE∥平面BCP．

（Ⅱ）∵D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四邊形DEFG為平行四邊形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四邊形DEFG為矩形．

（Ⅲ）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QGEG，分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN，與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QNEG，∴Q為滿足條件的點(diǎn)．

23．【2010年北京文科17】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE＝EF＝1．（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G．因?yàn)镋F∥AG，且EF＝1，AGAC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG，因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE．

（Ⅱ）連接FG．因?yàn)镋F∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四邊形CEFG為菱形．所以CF⊥EG．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC．又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．

考題分析與復(fù)習(xí)建議本專題考查的知識(shí)點(diǎn)為：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖，空間幾何體的表面積與體積，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，直線、平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，空間向量及其運(yùn)算，立體幾何中的向量方法（證明平行與垂直、求空間角和距離）等.歷年考題主要以選擇填空或解答題題型出現(xiàn)，重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖和直觀圖，空間幾何體的表面積與體積，直線、平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，立體幾何中的向量方法（證明平行與垂直、求空間角和距離）等.預(yù)測(cè)明年本考點(diǎn)題目會(huì)比較穩(wěn)定，備考方向以知識(shí)點(diǎn)三視圖和直觀圖，空間幾何體的表面積與體積，直線、平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，立體幾何中的向量方法（證明平行與垂直、求空間角和距離）等為重點(diǎn)較佳.最新高考模擬試題

1．在正方體中,與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連結(jié)BC1、BD和DC1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是異面直線AD1與BD所成角，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三個(gè)面上的對(duì)角線，它們相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故異面直線AD1與BD所成角的大小為60°．故選：C．2．在正方體中，用空間中與該正方體所有棱成角都相等的平面去截正方體，在截面邊數(shù)最多時(shí)的所有多邊形中，多邊形截面的面積為，周長(zhǎng)為，則()A．為定值，不為定值 B．不為定值，為定值C．與均為定值 D．與均不為定值【答案】C【解析】正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，如圖：與面平行的面且截面是六邊形時(shí)滿足條件，不失一般性設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，即六邊形，其中分別為其所在棱的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可得，∴六邊形的周長(zhǎng)為定值．∴六邊形的面積為，由正方體的對(duì)稱性可得其余位置時(shí)也為正六邊形，周長(zhǎng)與面積不變，故與均為定值，故選C.3．在四面體中，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，，，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，因?yàn)?，故為等腰三角形，又，故，所以即，故，因?yàn)椋?，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋蕿橹苯侨切?，所以，又，而，故即為直角三角形，所以，所以，故選C.4．若是不同的直線，是不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【解析】中，若，平面可能垂直也可能平行或斜交，不正確；中，若，平面可能平行也可能相交，不正確；中，若，則分別是平面的法線，必有，正確；中，若，平面可能平行也可能相交，不正確.故選C.5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由一個(gè)正方體切去一個(gè)正方體的一角得到的．故：該幾何體的外接球?yàn)檎襟w的外接球，所以：球的半徑，則：.故選：B．6．如圖，正方體中，為棱的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)、、的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：正方體中，過(guò)點(diǎn)的平面截去該正方體的上半部分后，剩余部分的直觀圖如圖：則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分．故選：A．7．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行B．若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直C．一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行D．一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直【答案】D【解析】由線面垂直的性質(zhì)定理知，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,正確；由面面垂直的性質(zhì)定理知，若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直,正確；由面面平行的判定定理知，一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，正確；當(dāng)一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條相互平行的直線垂直時(shí)，該直線與平面不一定垂直，錯(cuò)誤，故選D.8．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的四棱錐中，平面，底面是正方形，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則圖中的鱉臑有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【解析】由題意，因?yàn)榈酌?，所以，，又四邊形為正方形，所以，所以平面，，所以四面體是一個(gè)鱉臑，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，同理可得，四面體和都是鱉臑，故選C.9．在三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)______．【答案】【解析】如圖，在等邊三角形中，取的中點(diǎn)，設(shè)其中心為，由，得，是以為斜邊的等腰角三角形，,又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫?，，則為棱錐的外接球球心，外接球半徑，該三棱錐外接球的表面積為，故答案為.10．若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開(kāi)，其展開(kāi)圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)檎归_(kāi)圖是半徑為3，圓心角為的扇形，所以圓錐的母線，圓錐的底面的周長(zhǎng)為，因此底面的半徑，根據(jù)勾股定理，可知圓錐的高，所以圓錐的體積為.11．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列正確命題序號(hào)是_____．（1）若，，則（2）若，則（3）若，且，則；（4）若，，則【答案】（3）（4）【解析】若，則與可能平行，相交或異面，故（1）錯(cuò)誤；若則或，故（2）錯(cuò)誤；若且，則，故（3）正確；若，由面面平行的性質(zhì)可得，故（4）正確；故答案為：（3）（4）12．長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得，則側(cè)棱的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______．【答案】2【解析】設(shè)側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為x，A1E＝t，則AE＝x﹣t，∵長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，∠C1EB＝90°，∴，∴2+t2+1+（x﹣t）2＝1+x2，整理，得：t2﹣xt+1＝0，∵在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB＝90°，∴△＝（﹣x）2﹣4≥0，解得x≥2．∴側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值為2．故答案為2．13．如圖，在中，，和分別是邊和上一點(diǎn)，，將沿折起到點(diǎn)位置，則該四棱錐體積的最大值為_(kāi)______．【答案】【解析】在中，由已知，，，所以設(shè)，四邊形的面積為,當(dāng)平面時(shí)，四棱錐體積最大,此時(shí)，且,故四棱錐體積為，，時(shí)，；時(shí)，,所以，當(dāng)時(shí)，.故答案為14．三棱錐的個(gè)頂點(diǎn)在半徑為的球面上，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】△ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，可得外接圓的半徑2r2，即r＝1．∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距離d等于三棱錐的高PA的一半即，那么球的半徑R,解得h=2,又由知，得故點(diǎn)到平面的距離為故答案為．15．如圖，該幾何體由底面半徑相同的圓柱與圓錐兩部分組成，且圓柱的高與底面半徑相等．若圓柱與圓錐的側(cè)面積相等，則圓錐與圓柱的高之比為_(kāi)______．【答案】【解析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R，則圓柱的高＝R，圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，因?yàn)閳A柱與圓錐的側(cè)面積相等，所以，，解得：L＝2R，得圓錐的高為＝R，所以，圓錐與圓柱的高之比為.故答案為：16．直三棱柱中，，設(shè)其外接球的球心為，已知三棱錐的體積為，則球表面積的最小值為_(kāi)_________．【答案】.【解析】如圖，在中，設(shè)，則．分別取的中點(diǎn)，則分別為和外接圓的圓心，連，取的中點(diǎn)，則為三棱柱外接球的球心．連，則為外接球的半徑，設(shè)半徑為．∵三棱錐的體積為，即，∴．在中，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴球表面積的最小值為．故答案為：．17