復(fù)習(xí)材料三章

1不定積分與定積分2一、不定積分、定積分的定義任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量

若F(x)

是f(x)在區(qū)間I

內(nèi)的一個原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I

內(nèi)的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I

內(nèi)的不定積分,注：不定積分求出來最終是一個函數(shù)，一定要加常數(shù)C，而定積分(上下限為常數(shù))是一個數(shù)（即變上下限除外）3說明：4被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和積分號定積分注：定積分求出來最終是一個數(shù)，由牛頓-萊布尼茲公式知這個數(shù)就是f(x)的原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量5幾何意義：6二、定積分的性質(zhì)（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1(為常數(shù))

線性性質(zhì)補充：不論的相對位置如何,上式總成立.性質(zhì)2積分區(qū)間具有可加性7性質(zhì)3性質(zhì)4如果在區(qū)間上，則有推論1：推論2：8性質(zhì)5估值定理例5

證明解令由得9性質(zhì)6（定積分中值定理）(經(jīng)?？?函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值

積分中值公式10證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知使即11解由積分中值定理知有使例設(shè)可導(dǎo)，且，求.12解由積分中值定理知有使例設(shè)在內(nèi)連續(xù)，求.13變上限的定積分（很重要）微積分基本定理如果在上連續(xù)，函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是一般地14三、定積分的計算3、下面提到的不定積分方法全部適用于求定積分（原理：根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式）1516微積分基本公式，又稱牛頓—萊布尼茨公式證明17微積分基本公式表明：由此可知：求不定積分、定積分都可歸結(jié)為求被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)，故求不定積分的方法如湊微分法、第二換元法以及分部積分法同樣適用于定積分

18不定積分與微分(導(dǎo)數(shù))的關(guān)系(很重要)結(jié)論：求不定積分的運算與微分運算是互逆的.由此根據(jù)微分公式可得積分公式.19定積分/變上限函數(shù)與微分(導(dǎo)數(shù))的關(guān)系(很重要)2021例22例求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達法則.23不定積分基本積分表(同樣適用定積分)(k

是常數(shù));2425四、不定積分的計算(同樣適用定積分)1)根據(jù)常用函數(shù)基本積分公式直接積分解例.

求積分例求積分解26例求積分解例解27定理12)第一類換元法(湊微分法)注意:282930解313233343536湊微分法常見類型:373）第二類換元法（同樣適用于定積分）注意:38一般規(guī)律如下：不定積分中當被積函數(shù)中含有如下形式，首先要想到把根號去掉，可采用換元法可令可令可令39例4(1)解40例2

求解41說明

當分母的階較高時,可采用倒代換例求令解42434)分部積分法（同樣適用于定積分）當被積函數(shù)是不同類型，要想到利用分部積分法，具體如下4445465)有理函數(shù)不定積分法（同樣適用于定積分）（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式（一定要最簡）之和的一般規(guī)律：47特殊地：分解后為48真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例149例求積分50516)三角函數(shù)有理式的不定積分令（萬能置換公式）52例求積分解由萬能置換公式5354曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積五、定積分的幾何應(yīng)用平面圖形的面積a.直角坐標系情形55解兩曲線的交點選為積分變量56xyo曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積xyo57解兩曲線的交點選為積分變量58如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積b)用參數(shù)方程表示的曲邊梯形的面積59解由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．例求星形線圍成圖形的面積.60面積元素曲邊扇形的面積c)極坐標系情形61解利用對稱性知62xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為a)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積2)求旋轉(zhuǎn)體體積63解64b)繞

y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積65x特殊:f(x)為直線繞y軸旋轉(zhuǎn)另外一類型：6667解體積元素為683)平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積69解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積70解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積714)平面曲線的弧長

1、平面曲線弧長的概念72弧長元素弧長a)直角坐標情形4)平面曲線的弧長73解74曲線弧為弧長b)參數(shù)方程情形75解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長76曲線弧為弧長c)極坐標情形77解781.函數(shù)在區(qū)間上的平均值為幾何平均值公式ò-=badxxfaby)(1791）無窮限的反常積分

當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散.定義1

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,+)上連續(xù)，取

b>a，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)

f(x)在無窮區(qū)間

[a,+)上的廣義積分，記作.六、廣義積分（反常積分）80和

均收斂.收斂的充要條件是

和

中,至少有一個發(fā)散,則廣義積分發(fā)散.

81例計算廣義積分82例計算廣義積分解類似地有83證84例計算廣義積分解852）無界函數(shù)的反常積分定義2

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點的右鄰域內(nèi)無界．取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作.

當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散.86當極