離散概率分布

統(tǒng)計學(xué)

statistics李欣先

1/19/20241第6章離散概率分布

〔DiscreteProbabilityDistributions〕第1節(jié)什么是概率〔whatisaprobability〕第2節(jié)概率求解方法〔approachtoprobability〕第3節(jié)幾個概率法那么〔somerulesofprobability〕第4節(jié)樹形圖〔treediagrams〕第5節(jié)貝葉斯定理〔Bayes’theorem〕第6節(jié)計數(shù)定理〔principlesofcounting〕1/19/202423.2

隨機(jī)變量及其概率分布3.2.1隨機(jī)變量3.2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布3.2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差3.2.4幾種常用的離散型概率分布3.2.5概率密度函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量3.2.6常見的連續(xù)型概率分布1/19/20243隨機(jī)變量1/19/20244隨機(jī)變量

(randomvariables)一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X，Y，Z來表示例如：投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量〔discreterandomvariables〕和連續(xù)型隨機(jī)變量〔continuousrandomvariables〕1/19/20245離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來x1,x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為11/19/20246連續(xù)型隨機(jī)變量

可以取一個或多個區(qū)間中任何值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X

00

X100X

01/19/20247離散型隨機(jī)變量的概率分布(probabilitydistribution)1/19/20248離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi0；1/19/20249離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X及相應(yīng)的概率如下表故障次數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)

pi0.100.250.35

一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布

(1)確定

的值(2)求正好發(fā)生兩次故障的概率(3)求故障次數(shù)多于一次的概率(4)最多發(fā)生一次故障的概率1/19/202410離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)解：(1)由于0.10+0.25+0.35+

=1所以，

=0.30

(2)P(X=2)=0.35(3)P(X

2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4)P(X

1)=0.35+0.30=0.651/19/202411離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差1/19/202412離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度記為

或E(X)計算公式為1/19/202413離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為

2或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)，記為

或

D(X)1/19/202414離散型數(shù)學(xué)期望和方差

(例題分析)【例】一家電腦配件供給商聲稱，他所提供的配件100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表次品數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)

pi0.750.120.080.05每100個配件中的次品數(shù)及概率分布求該供給商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1/19/202415TheprobabilitydistributionfordamageclaimspaidbytheNewtonAutomobileInsuranceCompanyoncollisioninsurancefollows.payment0500100030005000800010000probability0.850.040.040.030.020.010.011/19/202416a.Usetheexpectedcollisionpaymenttodeterminethecollisioninsurancepremiumthatwouldenablethecompanytobreakeven.b.Theinsurancecompanychargesanannualrateof$520forthecollisioncoverage.Whatistheexpectedvalueofthecollisionpolicyforapolicyholder?(Hint:Itistheexpectedpaymentsfromthecompanyminusthecostofcoverage.)Whydoesthepolicyholderpurchaseacollisionpolicywiththisexpectedvalue?1/19/202417常用離散型概率分布離散型概率分布兩點(diǎn)分布二項分布泊松分布超幾何分布1/19/202418兩點(diǎn)分布一個離散型隨機(jī)變量X只取0和1兩個可能的值它們的概率分布為

或也稱0-1分布1/19/202419兩點(diǎn)分布

(例題分析)

【例】一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.04，合格率為q=1-p=1-0.04=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。那么任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)1/19/202420二項試驗

(伯努利試驗)

二項分布與伯努利試驗有關(guān)貝努里試驗滿足以下條件一次試驗只有兩個可能結(jié)果，即“成功〞和“失敗〞“成功〞是指我們感興趣的某種特征一次試驗“成功〞的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對每次試驗都是相同的試驗是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次在n次試驗中，“成功〞的次數(shù)對應(yīng)一個離散型隨機(jī)變量X1/19/202421二項分布

(Binomialdistribution)重復(fù)進(jìn)行n次試驗，出現(xiàn)“成功〞的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x的概率為1/19/202422二項分布對于P(X=x)0，x=1,2,…,n，有同樣有當(dāng)n=1時，二項分布化簡為1/19/202423二項分布

(例題分析)

【例】一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個。求5個產(chǎn)品中：(1)沒有次品的概率是多少？(2)恰好有1個次品的概率是多少？(3)有3個以下次品的概率是多少？1/19/202424Auniversityfoundthat20%ofitsstudentswithdrawwithoutcompletingtheintroductorystatisticscourse.Assumethat20studentsregisteredforthecourse.a.Computetheprobabilitythattwoorfewerwillwithdraw.b.Computetheprobabilitythatexactlyfourwillwithdraw.c.Computetheprobabilitythatmorethanthreewillwithdraw.d.Computetheexpectednumberofwithdrawals.1/19/202425泊松分布

(Poissondistribution)1837年法國數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點(diǎn)個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù)1/19/202426泊松分布

(概率分布函數(shù))—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功〞的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功〞的次數(shù)1/19/202427泊松分布

(例題分析)【例】假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時接到42次訂票，那么10分鐘內(nèi)恰好接到6次的概率是多少？解：設(shè)X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的次數(shù)1/19/202428Airlinepassengersarriverandomlyandindependentlyatthepassenger-screeningfacilityatamajorinternationalairport.Themeanarrivalrateis10passengersperminute.a.Computetheprobabilityofnoarrivalsinaone-minuteperiod.b.Computetheprobabilitythatthreeorfewerpassengersarriveinaone-minuteperiod.c.Computetheprobabilityofnoarrivalsina15-secondperiod.d.Computetheprobabilityofatleastonearrivalina15-secondperiod.1/19/202429泊松分布

(作為二項分布的近似)當(dāng)試驗的次數(shù)n很大，成功的概率p很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)P

0.05，n>20，np

5時，近似效果良好1/19/202430超幾何分布(hypergeometricdistribution)采用不重復(fù)抽樣，各次試驗并不獨(dú)立，成功的概率也互不相等總體元素的數(shù)目N很小，或樣本量n相對于N來說較大