數(shù)形結(jié)合概念通透學(xué)習(xí)的力量 論文

數(shù)形結(jié)合概念學(xué)習(xí)通透的力量摘要：針對當(dāng)前小學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的問題，分析數(shù)學(xué)概念的特點以及學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的思維路徑，嘗試從數(shù)學(xué)的兩個最基本的研——數(shù)與形出發(fā)，總結(jié)提煉基于數(shù)形結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教，幫助小學(xué)生構(gòu)建概念本質(zhì)，形成概念構(gòu)，提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念，數(shù)形結(jié)合，教學(xué)策略引言：數(shù)學(xué)概念反映的是現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征。其表現(xiàn)形態(tài)是高度概括、精確的語言。因其抽象的內(nèi)容、靜態(tài)的呈現(xiàn)方式以及在教材中的點狀分布，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念很困難，如何突破該學(xué)習(xí)難點？教師可以從數(shù)學(xué)中的兩個最基本的研究對象數(shù)與形出發(fā)，探尋數(shù)形結(jié)合揭示概念本質(zhì)的教學(xué)策略。一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念很在市2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期五年級期末測試卷中有一道判斷題：棱長是6厘米的正方體，表面積和體積相等。我校504班44人參與測試，8人答錯，錯誤率18.18%。無獨有偶，人教版三年級下冊課本第74頁上有這樣一道判斷題：邊長4米的正方形，它的周長和面積相等。之前在我校304班學(xué)生學(xué)完《正方形的面積》一課之后，筆者立即進(jìn)行了后測。參與測試的52人中，30人認(rèn)為這題是正確的，錯誤率高達(dá)57.69%。看來，無論是在剛剛建構(gòu)數(shù)學(xué)概念之時，還是在經(jīng)歷多輪鞏固練習(xí)消化吸收之后，總有學(xué)生分不清概念周長與面積、表面積和體積?！八麄兪窃鯓酉氲哪?？”筆者對504班學(xué)生進(jìn)行了訪談。判斷失誤的學(xué)生認(rèn)為：“正方體表面積和體積計算公式S=6a2、V=a3，棱長是6厘米的正方體的表面積和體積都是6×6×6=216，所以它的表面積和體積相等。”能正確判斷的學(xué)生認(rèn)為：“正方體表面積是一個面的大小，是二維的；正方的體積是它所占空間的大小，是三維的，它們無法”。對比兩種觀點，錯誤判斷的學(xué)生關(guān)注的是表面積和體積怎樣計算，正確判斷的學(xué)生抓住了表面積和體積概念的形狀。不僅周長、面積、體積學(xué)生易錯，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還有許多概念是學(xué)生很難把握的。例如：正反比例概念。人教版六年級上冊課本第49頁和基礎(chǔ)訓(xùn)練出現(xiàn)了這樣兩道題（見圖1）。也是讓我們教師教的很抓狂的比例的兩種量的變化方向，卻很難get到這種變化方向后的本質(zhì)，不能正確判斷。不僅如此，學(xué)生畫出的正比例圖像竟然是線段，有的還拐彎。正比例意義教學(xué)之后，學(xué)生完成了這樣一道題（見圖2），從學(xué)生的答題中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生已經(jīng)從水時間成正比例了，可畫出的正比例圖像竟然是線段，還拐彎了。細(xì)細(xì)想來，從學(xué)生的角度出發(fā)，這種錯誤也情有可原。學(xué)生已有的經(jīng)驗是在學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計圖時的描學(xué)生是把那時的經(jīng)驗遷移所致。可見，小學(xué)數(shù)學(xué)概念是多么難學(xué)。圖1圖2二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念為什么這1．概念的內(nèi)容是抽象的。數(shù)學(xué)概念為什么這么難學(xué)？宋乃慶認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念是“客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映，它是用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物的共同屬性的思維形式。”[1]。其學(xué)術(shù)形態(tài)是高度概括、精確的語言。在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，以簡短的文字呈現(xiàn)的。在抽象的文字中往往包含著子概念。例如：人教版六年級下冊課本呈現(xiàn)的正比例概念（見圖3），短短的幾行字中就包含“相關(guān)聯(lián)”“變量”“比值一定”等字眼。對六年級學(xué)生而言，理解靜態(tài)的離散的數(shù)比較容易，要感知動態(tài)的、連續(xù)的、變化的量，而且還要理解量變化現(xiàn)象的背后是比值一定，很困難。圖3，圖42.概念的呈現(xiàn)方式是靜止的。抽象的數(shù)學(xué)概念，如圖文并茂，可有助于學(xué)生理解。但教材因篇幅限制，圖示往往較少，并且是靜態(tài)的。學(xué)生看到的是思維的結(jié)果，而看不到思維的過程。如教材給出了正比例圖像（見圖4）。“正比例圖像是如何形成的？看似很像折線統(tǒng)點？”學(xué)生不得而知。3.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念呈點狀分布。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中概念編排呈螺旋式上升結(jié)構(gòu)，對應(yīng)了小學(xué)生思維由簡單到復(fù)雜的特點。同時，小學(xué)生的思維還具有連續(xù)性、整體性的特點，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中概念的點狀分布也給學(xué)生整體構(gòu)建概念帶來困難。例如：在小學(xué)三年級學(xué)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識之后，在三年級下冊和四年級并沒有接著學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，在五年級下冊繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。這樣的編排方式割斷了學(xué)生對數(shù)概念整體性結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。三、學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的思關(guān)于數(shù)學(xué)概念的形成與建構(gòu)，發(fā)展心理學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)和教育心理學(xué)開展了許多研究，著名的成果有杜賓斯基的APOS理論，該理論被譽(yù)為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一。該理論認(rèn)為概念形成經(jīng)歷四個階段：活動階段、過程階段、對象階段和圖示階段。[2]一般來說，先經(jīng)歷上一階段再進(jìn)入下一階段5）圖5《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課201版）》指出，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量[3]“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的兩大研究對象，也可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)知識的表征形“形”主要提供研究的對象和輔助思考的工具，“數(shù)”則是為研究提供必要的工具、方法、視角，將研究向更深入、更抽象方向引領(lǐng)的關(guān)鍵。通過對學(xué)生學(xué)習(xí)概念的現(xiàn)狀、學(xué)習(xí)難度分析，學(xué)生形成概念的思維路徑的學(xué)習(xí)，我們提出了《基于數(shù)形結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實踐研究》，以課堂教學(xué)研究為主線，開展了一系列較用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生親歷概念的形成過程，使抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象，繼而掌握概念本質(zhì)，構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系，進(jìn)而獲得思維能力和核心素養(yǎng)的提升。四、基于數(shù)形結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)概念近年來，我們提煉出以下基于數(shù)形結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略。策略一，數(shù)形表征“前概念”，激活概念生長點。前概念，指的是學(xué)生在概念學(xué)習(xí)之前在生活和學(xué)習(xí)過程中形成的對概念的認(rèn)知和了解。把陌生的知識放到學(xué)生熟悉的情境中，既可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又可激活在概念教學(xué)中，以前概念為起點，從數(shù)與形的角度激活前概念，打通前概念與概念的通道。例如：人教版教材對周長是這樣定義的：“封閉圖形”學(xué)生沒有“一周”的經(jīng)驗，但有“一”的生活經(jīng)驗，體育課上有圍繞操場跑步的體生活中的“一圈”可以抽象成數(shù)”。我設(shè)計了這樣的學(xué)習(xí)活動行體育鍛煉，每天圍著操場跑一圈，他跑對了嗎？操場一周有多長呢（見圖6）？”本案例中，創(chuàng)設(shè)樂樂操場跑步的情境，激發(fā)學(xué)生的前概念“一圈”。通過3次“跑一圈”2的對比，將前概念“一圈”抽象為”，初步建立一周之形表象量和計算操場的周長，使學(xué)生將周長與一周的長度建立關(guān)聯(lián)，為從數(shù)形結(jié)合的角度理解周長概念搭好橋梁，作好鋪墊。圖6策略二，數(shù)形表征操作，積累概念表象。概念表象就是通過感官形成的對概念的感性認(rèn)識。概念表象，對學(xué)生掌握概念來說非常重要，感性認(rèn)識豐富，表象就清晰，想象就生動，理解和掌握概念就更容易。教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形表征操作，促進(jìn)操作經(jīng)驗的內(nèi)化；并借助表象”。1.數(shù)表征操作。數(shù)表征操作指文字、數(shù)、代數(shù)式來表征概念，以及三者之間的相互轉(zhuǎn)換達(dá)成對概念的理解。以《正比例的意義》教學(xué)為例：①從數(shù)據(jù)變化的角度初步認(rèn)識相關(guān)聯(lián)的量。相關(guān)聯(lián)的量是正比例概念的上位概念，是學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)？”對學(xué)生來說比較抽象。教學(xué)中，我出示四組材料（見圖7），讓學(xué)生觀察感受一個量變化，另一個量也隨之變化，從而清楚地認(rèn)識相關(guān)聯(lián)的量，為理解正比例關(guān)系作好鋪墊。圖7②數(shù)、文字與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化表征正比例概念。出示一種絲帶銷售數(shù)量與總價的關(guān)系表格（見圖8），“仔細(xì)觀察，表中有哪兩種量？你能發(fā)現(xiàn)總價和數(shù)量是怎樣相應(yīng)的總價與數(shù)量的比分別是多少？比值是多少？”借助3個關(guān)鍵問題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷量的變化過程，發(fā)現(xiàn)總價和數(shù)量之間的變化規(guī)律，同時將目光聚焦到變化中的聯(lián)系，并歸納出數(shù)學(xué)關(guān)系式，實現(xiàn)數(shù)、文字與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化來表征正比例。圖82.形表征操作。形表征操作是指利用實物、圖形、圖像、符號等表征概念，并通過圖形的比較與動態(tài)變化達(dá)成對概念的理解。以《正比例的意義》教學(xué)為例：（1）數(shù)形對應(yīng)，動態(tài)形成圖像?！皩⒈砀裰械臄?shù)量與總價看成一個個數(shù)對，把它們表示出來，并按一定的順序連起來，”“這一條線段可以向兩延伸到數(shù)對（0，0），數(shù)對（0，0）表示什么？”“如果買了a米這樣的彩帶，付了b元錢，a和b有怎樣的關(guān)學(xué)生在數(shù)表征正比例概念時，已征。通過描點，連線，與原點溝通聯(lián)系。同時利用多媒體動態(tài)演示，a和b都是一對一對出現(xiàn)的（見圖9）。隨著直線不斷向上延伸，學(xué)生清晰地感受到另一種量也在不斷擴(kuò)大。學(xué)生經(jīng)歷直觀想象、抽象、建立模型等過程，豐富正比例概念表象。圖9數(shù)形對應(yīng)，動態(tài)形成圖像（2）在點的位置對比中明晰對應(yīng)變量中的不變量?！叭绻?米彩帶16元，這個點也在這條直線上嗎？11米彩帶38.5元呢？想一想：在這條直線上的點有什么特點？不在這條直線上的點呢？（見圖10）”教學(xué)中，我增加了2組數(shù)據(jù)描點的環(huán)節(jié)，一個點在這條直線上，一個點不在這條直線上。通過正例與反例的對比，學(xué)生看清了兩個變量之間的關(guān)系，突破正比例教學(xué)難點，形成正比例圖像，初步感受函數(shù)思想。圖10策略三，數(shù)形表征溝通與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建概念完整圖示。數(shù)表征與形表征的信息可以相互選擇和轉(zhuǎn)化，數(shù)表征與形表征結(jié)合在一起進(jìn)行儲存形成概念圖示，可以豐富兒童對概念內(nèi)11），這是數(shù)形結(jié)合學(xué)基本觀念。以五年級《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)為例，設(shè)計學(xué)習(xí)活動：用多種方法表征四分之三。圖形表征出分?jǐn)?shù)部分與整體的關(guān)系；數(shù)表征出分?jǐn)?shù)的測量意義，分?jǐn)?shù)是數(shù)出來的；數(shù)軸表征實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)是一個數(shù)。通過數(shù)表征和形表征之間尋找關(guān)聯(lián)，學(xué)生體會到不同形態(tài)分?jǐn)?shù)之間的結(jié)構(gòu)性相似，從而抽象出分12）。再如：《因數(shù)和一課，學(xué)生從數(shù)的角度找出一個數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的特點。在此基礎(chǔ)上，用數(shù)軸的從1乘幾開始，一對一對往里縮，直至最中心，從而理解一個數(shù)最小因數(shù)與最大因數(shù)的特點。通過數(shù)軸，更能直觀的看出一個數(shù)因數(shù)和倍數(shù)之”，倍數(shù)“有頭無尾”與線段和射線產(chǎn)13）。數(shù)與形的溝通和轉(zhuǎn)化凸顯因數(shù)和倍數(shù)的特征，使學(xué)生對這部分知識的理解走向深刻。圖11數(shù)形結(jié)合概念圖示，圖12分?jǐn)?shù)概念圖示圖13因數(shù)與倍數(shù)概念圖示策略四，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用概念深度理解概念模型。小學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，經(jīng)歷感知——表象——抽象——具體的過程。從抽象到具體就是概念應(yīng)用?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“應(yīng)”，既要用數(shù)學(xué)的概念、原理和方?jīng)Q生活中的問題；又要將生活中與數(shù)形有關(guān)的問題數(shù)學(xué)化。[4]把學(xué)過的數(shù)學(xué)知識放到陌生的情境中解決問題，促進(jìn)學(xué)生將獲得的概念進(jìn)行內(nèi)化、重構(gòu)、遷移，形成經(jīng)驗。在《周長的認(rèn)識》中，設(shè)計活動：“你能想辦法測量雨山湖的”（見圖14）運用已有的“繞”—“打開拉直”—“量長度”的方法已不方便解決測量湖周長的問題要想解決這個問題，需要重新展開思考。在思考測量周長策略的同時，不僅實現(xiàn)對周長本質(zhì)的理解，更能實現(xiàn)思維的創(chuàng)新。再如：在《三角形的面積》一課，用這樣的題組引發(fā)學(xué)生對概念的重構(gòu)（見圖15），在層層遞進(jìn)的練習(xí)中，引發(fā)學(xué)生深和高之間的關(guān)系。在內(nèi)化中重構(gòu)三角形概念。圖14圖15策略五，數(shù)形結(jié)合關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，形成概念體系。任何數(shù)學(xué)概念都不能孤立存在，總存在于概念體系中。學(xué)習(xí)一個新概念之后，教師要從縱向與橫向出發(fā)，把新概念與以前學(xué)過的有關(guān)概念聯(lián)系起來，使學(xué)生弄清楚它們之間的關(guān)系，建立一個”。例如，周長概念可以這樣關(guān)聯(lián)：“長度50厘米。它有魔力，能圍成這些封閉圖形（見圖16），你知道這些圖形的周長嗎五節(jié)棍的長度50厘米，為什么由它圍成的圖形卻是周長50厘米？這四個封閉圖形不一樣大，怎么周長都是50厘米？”通過以上梳理活動，使學(xué)生把周長和長度建立關(guān)聯(lián)形大，周長長；圖形小”，一直是部分學(xué)生的錯誤想法。通過成不同封閉圖形周長的比較，使學(xué)生感知：雖然面的大小和一周的長短同存于一個圖形中，它們之間不一定存在正向的變化關(guān)17）。圖16，圖17周長概念框架圖再如：學(xué)完四則運算后，借助數(shù)軸，溝通加減乘除之間的聯(lián)系：加法是在數(shù)軸上向右平移，減法是向相反的方向平移，減法和加法互為逆運算。乘法是幾個幾個的向右平移，乘法是加法的簡便運算，除法是幾個幾個的向左平移，乘法和除法互為逆運算，同時除法和減法都是向左平移，除法是減法的簡便運算。這樣，借助數(shù)軸，建立以加法為核心的四則運算關(guān)系圖示（見圖18）。圖18四則運算關(guān)系圖示在概念教學(xué)中，挖掘概念中的“數(shù)”是什么、“用以形助數(shù)或以數(shù)解形的方法，從數(shù)表征、形表征、數(shù)形結(jié)合表征概念入手。在數(shù)表征概念中，力求提供豐富的實例，在分類與比較中形成概念表象。在形表征概念中，力求通過觀察、操作、想象形成概念之