卷03（天津卷）-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷（解析版）

卷03(天津卷數(shù)學(xué))-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件A與事件B互斥，那么P(A3)=P(A)+P(8).

?如果事件A與事件B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(8).

?球的表面積公式5=4?A?,其中R表示球的半徑.

1.己知全集。={—1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},8={—1,0,1},則&力八3=()

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】A

【分析】

本題根據(jù)交集、補集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.

【詳解】

C"={-1,3},則(QA)B={-1)

故選：A

【點睛】

易于理解集補集的概念、交集概念有誤.

2.設(shè)x,yeR,貝!|“x>y”是“Inx>Iny”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得x>y>0,進而可得充分性和必要性.

【詳解】

解：lnx〉lnyox〉y>0,

則“x>y”是Tnx>lny”的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考查充分性和必要性的判斷，考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)

是()

A.45B.5()C.55D.60

【答案】B

【解析】

根據(jù)頻率分布直方可知成績低于60分的有第一、二組數(shù)據(jù)，

2

在頻率分布直方圖中，對應(yīng)矩形的高分別為0.005,0.01,每組數(shù)據(jù)的組距為20,

則成績低于60分的頻率P=(0.005+0.010)x20=0.3.

又因為低于60分的人數(shù)是15人，

所以該班的學(xué)生人數(shù)是15+0.3=50.

本題選擇B選項.

4.已知定義在R上的函數(shù)f(x-l)的圖象關(guān)于x=l對稱，且當(dāng)x>()時，f(x)單調(diào)

遞減，若a=f(k)gos3),b=f(0.5-'3),c=f(0.76),則a,b,c的大小關(guān)系是(

)

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

【答案】A

【分析】

先根據(jù)對稱性將自變量轉(zhuǎn)化到了>0上，再根據(jù)尤>0時/(X)單調(diào)遞減，判斷大小.

【詳解】

???定義在R上的函數(shù)/(x—l)的圖像關(guān)于x=l對稱，...函數(shù)4％)為偶函數(shù)，

lo3<1

go.5^gos=0,/(log053)=/(log23),,1=log22<log23<log24=2,

0.5-6=26>2，0<0.76<l.:當(dāng)x>0時，/(x)單調(diào)遞減，c>a>從故選

A.

【點睛】

比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大?。菏紫雀鶕?jù)函數(shù)的性質(zhì)把兩個函數(shù)值中自變量調(diào)整

到同一單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小

5.三棱錐的棱長均為4傷，頂點在同一球面上，則該球的表面積為()

A.367rB.727rC.1447rD.2887r

【答案】C

【解析】試題分析：因為三棱錐的棱長均為4在，所以該三棱錐為正四面體，其外接球

的半徑R=漁x4>后=6,所以其外接球的表面積為S=4n/?2=4兀x6?=144兀，故選

4

C.

考點：1.正多面體的外接球與內(nèi)切球；2.球的表面積與體積.

【名師點睛】本題考查正多面體的外接球與內(nèi)切球、球的表面積與體積，屬中檔題；與

球有關(guān)的組合體的類型及解法有：1.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常通過作出它們的軸截面解題;

2.球與多面體的組合，通常通過多面體的一條側(cè)棱和不球心，或切點、接點作出軸截面，

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

22

6.已知雙曲線二一4=l(a>A>0)的右焦點為尸，虛軸的上端點為B,P為左支上

a~b~

的一個動點，若4PBF周長的最小值等于實軸長的3倍,則該雙曲線的離心率為()

A.叵B.叵C.V10D.V2

25

【答案】A

【分析】

先通過分析得到當(dāng)且僅當(dāng)BP,共線，?即周長取得最小值，且為

2a+2\lb2+c2,可得6a=2。+2”?+c2,解方程即得解?

【詳解】

由題意可得8(0,b),F(c,0),

設(shè)尸'(-c,0),由雙曲線的定義可得|班卜|尸「|=勿，|尸尸|=|PF|+2a,

\BF\=\BF'\=y/b2+c2,則BPF的周長為

歸用+|尸盟+忸耳|=仍四+忸0|+勿+|所,但2忸?|+2均當(dāng)且僅當(dāng)5,P,尸'共

線，取得最小值，且為2a+2廬Z7,

4

由題意可得6a=2a+2啟+c?,即+c2=2c2_,即5a2=2c，2；

【點睛】

本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)

生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.

7.已知a>（）,h>0,并且,，‘成等差數(shù)列，則a+9b的最小值為（）

a2b

A.16B.9C.5D.4

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，由等差中項的定義分析可得，+:=l,進而分析可得a+9b=（a+汕）（,+!）

abab

9ba

=10+吆+3,由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.

ab

【詳解】

解：根據(jù)題意，a>0,b>0,且,，L,1■成等差數(shù)列，

a2b

111

i--

q82

則a+96=(a+96)(-+-)=10+—+->10+2/—x-=16；

ahab\ab

9bu4

當(dāng)且僅當(dāng)一=即a=4,b=一時取至ij等號,

ab3

的最小值為16；

故選A.

【點睛】

本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等差中項的定義，關(guān)鍵是分析得到'+'=

ab

1.

8.設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，明僅是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若m//a,nl/a,則B.若a//月，mua,nu0,則加〃〃

C.若a(3=m,nua,n±m(xù),則〃J_/D.若加_La,mJIn,nu/3,則

【答案】D

【分析】

根據(jù)各選項的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可

找出正確選項.

【詳解】

選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；

選項8錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；

選項C錯誤，?個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不?定和另一平面垂直，可能斜交：

選項。正確，由m_La，/〃〃〃便得“_1_。，又nu(3、：./3工a,即。1■4.

故選：D.

【點睛】

本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡

單證明，

屬于基礎(chǔ)題.

6

2X-X2,X>0

9.己知函數(shù)〃x)=<1，若函數(shù)且(無)=|/(刈-％+6恰有三個零點，則

一,x<0

IX

實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-oo,-2)(2,+co)

一B.

5,2)[0,+oo)

C.-2--[0,+oo)D.

，4

【答案】A

【分析】

轉(zhuǎn)化為y=|/(x)|與函數(shù)y=的圖象恰有三個交點，再利用圖象可得結(jié)果.

【詳解】

因為函數(shù)g(x)=|/(x)卜x+加恰有三個零點，所以方程V(x)|=x-m恰有三個實根,

所以y=|/(x)|與函數(shù)y=x一加的圖象恰有?個交點,

作出函數(shù)y=|/(x)|的圖象，如圖：

當(dāng)直線y=x一帆與y=」-(x<0)相切時，

-X

x—m——,即X?—〃zx+i=。只有一個根，所以

x

△=-4=0，得〃，=—2或加=2(舍去)，

此時兩個函數(shù)的圖象有2個交點，

當(dāng)直線y=X一機與y=2x—/相切時，

x—m=2x—x2>即x?—x—0只有一個實根，所以/=1+4m=0,得利=—1,

4

此時兩個函數(shù)的圖象有2各交點，

當(dāng)直線丁=為一機經(jīng)過原點時，m=Q,此時兩個函數(shù)的圖象有3個交點,

觀察圖象可知，一一〈加40或機＜一2.

4

故選:A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.

第n卷

注意事項：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1

個的給3分，全部答對的給5分.

10.(3X2--'尸］的展開式中x3的系數(shù)為一.(用數(shù)字作答)

IXy/x)

【答案】270

【解析】

【分析】

先根據(jù)二項式展開式通項公式求V的項數(shù)，再代入得結(jié)果.

【詳解】

因為刀,1=禺(3%2)5-，(一丈)，=仁(3)5-「(—1)4'"下，所以由10一2=3得==2-

因此的系數(shù)為C；⑶5-2(-1)2=27().

【點睛】

本題考查二項式展開式求特定項系數(shù)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.

11.現(xiàn)有A，8兩隊參加關(guān)于“十九大''知識問答競賽，每隊3人，每人回答一個問題,

2

答對者為本隊贏1分，答錯得。分；A隊中每人答對的概率均為3隊中3人答對

221

的概率分別為一，一，一，且各答題人答題正確與否之間互不影響，若事件”表示“A

333

隊得2分”，事件N表示“3隊得1分“，則P（MN）=.

4

【答案】—

27

【分析】

事件"為A隊三人有一人答錯，其余兩人答對，計算其概率P（M）,事件N為3隊

三人2人答錯，其余一人答對，計算其概率P（N）,再根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公

式求出「（MN）.

【詳解】

A隊總得分為2分，即事件〃為A隊三人有一人答錯，其余兩人答對,

其概率P（M）=C；x1|11—|4

9

“8隊得1分，即事件N即為8隊三人2人答錯，其余一人答對,

則

A隊得2分B隊得一分，即事件同時發(fā)生，則

414

P（MN）=P（M）P（N）=-x-=—.

4

故答案為：—.

27

【點睛】

本題考查了獨立事件同時發(fā)生的概率計算，還考查了學(xué)生的分析理解能力，運算能力,

屬于中檔題.

12.在平行四邊形ABC。中，已知A8=2，AD=1.ABAD=60°，若CE=ED，

DF=2FB，則.

【答案】-

2

【分析】

判斷可知，E為8上二等分點，尸為30上靠近5的三等分點，結(jié)合向量線性運算

UUUUUU

的加法與減法公式，將斜向量4旦A廠分別代換為以AB,AO為基底的向量，再結(jié)合向

量的數(shù)量積運算即可求解

【詳解】

由題意，如圖所示，

設(shè)==則|a|=2,|/?|=l，

又由CE=ED，DF=2FB，所以E為CD的中點，F(xiàn)為8。的三等分點,

1?21

則力七=4。+。E=6+萬。，AF^AD+DF^b+-(a-h)=-a+-b,

所以4石.4/=\—a+h\\—a=—a2+—a-h+—h2

(2J\33J363

=-x22+—xlx2cos60+-xl2=—.

3632

故答案為：一.

2

【點睛】

10

本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的線性

運算法則，以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運算公式，準確運算是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

13.圓/+丁=2與圓％2+,2-4》+4)，—4=0的公共弦長為.

而

【答案】

2

【分析】

兩圓方程相減得公共弦據(jù)直線方程，然后求出一個圓心到該直線距離，由勾股定理得弦

長.

【詳解】

兩圓方程相減得4x—4y+2=0,即2x-2y+l=0,

|1|V2

原點到此直線距離為d=圓f+丁=2半徑為

6+(-2尸V

.故答案為：叵.

所以所求公共弦長為2』(夜＞-

2

【點睛】

本題考查兩圓公共弦長，解題關(guān)鍵是求出公共弦所在直線方程.

14.已知拋物線的焦點為點P(l,r)在拋物線上，則點/＞、尸的距離為

【答案】1

【分析】

根據(jù)焦點可得拋物線的標準方程，將點P(1J)代入可求出人再利用焦半徑公式即可求

解.

【詳解】

拋物線的焦點為尸則拋物線的標準方程為：/=—2y,

因為點尸(U)在拋物線上，所以1=—2/,解得/=—,，

2

所以|「產(chǎn)|=-g+5=g+g=L

故答案為：1

【點睛】

本題考查了拋物線的標準方程、焦半徑公式，需熟記拋物線的標準方程的四種形式，焦

半徑公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.曲線丁=產(chǎn)-，在點(1,/(1))處的切線的斜率為,在該點處的切線方程為

【答案】e+1y=(e+l)x-2

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入x=l,得到切線的斜率，x=l代入函數(shù)解析式可得切點，點斜

式即可得出結(jié)果.

【詳解】

曲線y=可得y=eX+'7，

XX

所以曲線y=e'在點(l,f(1))處的切線的斜率為：/(I)=e+1.

因為/6=即切點為(1,e-1),所以在切點處的切線方程為：

(e—1)=(e+l)(x—1),RPy=(e+l)x-2

12

故答案為：e+1；y=(e+l)x-2.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的斜率的求法及切點處的切線方程，考查計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分14分)

在A4BC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。，b,c,

>/2cosC(acosB+bcosA)+c=0.

(1)求角。的大??；

(2)若a=6，b=2.求：

(i)邊長c；

(ii)sin(28-C)的值.

【答案】(1)C=—；(2)(i)c=VlO;(ii)sin(2B-C)=--.

410

【分析】

(l)利用正弦定理化筒已知條件，求得cos。的值，由此求得角C的大小.

(2)(i)已知兩邊和夾角，用余弦定理求得邊c；

(ii)由兩角差的正弦公式求得sin(2B-C)的值.

【詳解】

解：(1)由已知及正弦定理得'傷cosC(sinAcosB+sinBcosA)+sinC=0

「?y/2cosCsinC+sinC=0，「?cosC=~~~，

0<C<^??0-C=—

4

(2)(i)因為。=y/2,b=2,C——,

4

22

由余弦定理得/=?+/?-2^COSC=2+4-2X>/2X2X(-^-)=10,Ac=V10

(ii)由/^=/-nsin6=@，因為3為銳角，所以8$8=矩

sinCsinB55

22

sin28=2x—=—?cos2B=cosB-sinB=—f

5555

A歷0行7s

sin(2B-C)=sin28cosC-cos2BsinC=—x(--—)-^x=———

【點睛】

本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，還考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,

二倍角公式以及兩角差的正弦公式.

17.(本小題滿分15分)

四棱錐產(chǎn)一A3CD中，B4_L平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，且/%=AB=2,

A￡>=3,E是線段5C上的動點，F(xiàn)是線段PE的中點.

(1)求證：平面ADE；

(2)若直線OE與平面AZ序所成角為30，

①求線段CE的長；

②求二面角P—EZ)—A的余弦值.

14

【答案】（I）證明見解析；（2）①2②士叵

17

【分析】

（I）以點A為原點，A8為了軸，AO為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

利用數(shù)量積證出依，4），PBLAF，再利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）①求出平面尸的一個法向量，利用cosgDE）=|???=即可求線段

CE的長；②求出平面阻＞的一個法向量，再根據(jù)AP=（0,0,2）為平面ADE的一個

法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

【詳解】

（1）依題意，以點A為原點，A3為x軸，AD為＞軸，AP為z軸，

可得A(0,0,0),5(2,0,0),C(2,3,0),。(0,3,0),

E(2,w,0)(0<w<3),F(l,-,1),P(0,0,2).

2

m

PB=(2,0,-2),AD=(0,3,0),AF=(l,-,l),

PBAD=0,PBAF=0，.

即P8_L/W，PB±AF'AFAD=A,.

所以依，平面

(2)①設(shè)〃=(x,y,z)為平面4DF的法向量,

y=o

ADn=0

則《，即《m,

AFn=Qxd——y+z-0

2-

不妨令％=1,可得〃=(1,0,-1)為平面AZ"7的一個法向量,

DE=(2,m-3,Q)

于是有3〈/〃力nE后,上\n布-DE丁,i

1

1x2+0x(m-3)+0x(-1)=-

所以V1+0+1-J22+(m-3)2+02得〃2=1或m=5(舍).

￡(2,1,0),C(2,3,0),線段CE的長為2；.

②設(shè)加=(x,y,z)為平面阻)的法向量，PE=(2,1,-2),PD=(0,3,-2)

PE-m-2x+y-2z=0

PD-m=03y—2z-0

不妨令y=2,可得加=(2,2,3)為平面PED的一個法向量，.

又AP=(0,0,2)為平面ADE的一個法向量，.

m-AP0+0+63>/17

所以cos(加"P

時.網(wǎng)-2后—17

【點睛】

本題考查了空間向量法求二面角、線面垂直的判定定理、根據(jù)線面角求長度，考查了運

算求解能力，屬于中檔題.

18.(本小題滿分15分)

16

已知橢圓\+與=1（"＞人＞0）的離心率e=?2,且右焦點到直線x-y+2=0的距

ab~2

離為2起.

（I）求橢圓的方程；

（II）四邊形ABC。的頂點在橢圓上，且對角線AC、8。過原點0,若

kAC-kBD=-^，證明：四邊形ABC。的面積為定值?

a

22

【答案】（I）土+匕=1;（II）詳見解析.

84

【分析】

（I）先根據(jù)題意求得c的值，再由離心率可求得。的值，進而可得出。的值，由此可

得出橢圓的方程；

（H）設(shè)直線A6的方程為了=區(qū)+優(yōu)，設(shè)點A（%,y）、3（*2，%），將直線A8的方

b2

程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由女AC可得出療=4二+2,再利用

CT

?角形的面積公式化簡計算得出四邊形ABCD的面積為定值.

【詳解】

（I）因為右焦點（c,0）到直線x-y+2=0的距離為d=W^l=2虛，解得c=2,

e=-=--a1-b1+C1a-2^2，b-2,

2a

22

因此，橢圓的方程為x二+2v-=1；

84

（II）設(shè)直線A5的方程為'="+，"，設(shè)點A（玉，yj、B（x2,y2）,

y=kx-￥m

聯(lián)立《22,得左*玄+

xy（2+l）f+462m2-8=0,

下十不一

niI4km2"/—8

則玉+%=一丁FT，X,-X.=-----寸

1+2尸1-1+2%2

因為左心%>=_一得中2=-2%％，即%9=-2（依+m）（心+m），

a

所以,（2k2+1）芭%2+2奶2（玉+尤2）+2>=0,即4機2一8—絲4=0,解得

2*1

nr=4k2+2,

16公療8.-4）_4，1+公

\AB\=Jl+FJ（X]+%2）-=J1+/?

（1+2如）2.1+2公一&+2父

原點到直線AB的距離為d=制=赳_2_k__2_+1

y/1+k2y/1+k2

2

lx4>/17FJ2（2Z:+1）

因為SAB。=4S.OB，且SA08=g|A@M==2夜‘

Jl+2公xJl+公

所以SABC。=420=80（定值）?

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中四邊形面積的計算，考查了韋達定理設(shè)

而不求法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.

19.（本小題滿分15分）

已知等比數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾,公比g>1,且。2+1為％，%的等差中項,$3=14.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式

記“=，求數(shù)列出｝的前”項和

（2）anlog2anT”.

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【答案】?；,=(〃—

(1)an=T(2)1)2"T+2

【分析】

(1)由s+1是"3的等差中項，可得2(/+1)=4+/=14—生，乂

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解得