高二數(shù)學寒假講義練習（人教B用 選擇性必修一）第03講 圓錐曲線(教師卷)

第03講圓錐曲線【易錯點總結】1.橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓，其中兩個定點F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距.其數(shù)學表達式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則點P的軌跡為橢圓；(2)若a＝c，則點P的軌跡為線段；(3)若a＜c，則點P的軌跡不存在.2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關系c2＝a2－b22.雙曲線的定義一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動點P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個定點F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距.其數(shù)學表達式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)若a<c，則點P的軌跡為雙曲線；(2)若a＝c，則點P的軌跡為兩條射線；(3)若a>c，則點P的軌跡不存在.2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關系c2＝a2＋b23.拋物線的定義(1)一般地，設F是平面內(nèi)的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.(2)其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質圖形標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離性質頂點O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下【重難點剖析】考點一：橢圓方程及其性質1．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則點到另一個焦點的距離是（

）A．6 B．26 C．4 D．14【答案】D【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義，又橢圓上一點到焦點的距離等于6，，則，故選：D.2．己知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【詳解】由橢圓易知，根據(jù)橢圓定義可知，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：B.3．已知橢圓的一個焦點為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知可得，，則，所以，則離心率．故選：D.4．已知為圓的一個動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：易知，則，即，故點的軌跡是以為焦點且長軸長為6的橢圓，設其方程為，則，則，故，則橢圓方程為：.故選：C.5．設分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設點，因為線段的中垂線過點，所以，即，化簡得，因為，所以，即，所以，又因為，所以，解得.故選：D.考點二：雙曲線方程及其性質6．一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動圓圓心為，半徑為，當兩圓外切時：，所以；當兩圓內(nèi)切時：，所以；即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，，所以動圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.7．設，分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則（

）A． B．的焦距為C．的離心率為 D．的面積為【答案】B【詳解】由雙曲線，可得，，，，，把，代入雙曲線方程可得：，解得，不妨取，，，，為正三角形，，解得，，，，，．故選：．8．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是過坐標原點O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個交點，且則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】不妨設點M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因為O為的中點，所以，因為，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.9．已知雙曲線的一個焦點為，則雙曲線C的一條漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，，則由得；所以，漸近線方程為，即故選：A.10．設為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長線交于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，不妨令，因為直線垂直，則，故，又，則點到直線的距離為=，所以，，又，可知直線的方程為：，與聯(lián)立方程組可得：，則，解得，故,由,則,中，由勾股定理可得:,故；又,則，即，因為的延長線交于，此時點的縱坐標大于0，即，故，所以，所以化簡得.則，故，則.故選：B.考點三：拋物線方程及其性質11．已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】解：拋物線：的焦點為，準線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當三點共線時，最小為.所以的最小值為.故選：C.12．已知點P在拋物線上．若點P到拋物線焦點的距離為4，則點P的坐標是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】對于拋物線

，準線方程為，設點，根據(jù)拋物線得定義得：點P到拋物線焦點的距離等于點P到準線的距離為，所以，則，，所以點P的坐標為或；故選：C．13．已知直線和直線，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】是拋物線的準線，到的距離等于.過P作于Q，則到直線和直線的距離之和為拋物線的焦點過作于，和拋物線的交點就是，∴（當且僅當F、P、Q三點共線時等號成立）點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，最小值．故選：C．14．如圖，過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，準線與對稱軸交于點M，若，且，則p為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，又因為，則，從而得，又因為，所以.故選：B.15．已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點，依題意，，解得，因此拋物線的焦點為，方程為，其準線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點F作于點P，交拋物線于點M，過M作于點Q，交直線于點N，則有，在拋物線上任取點，過作于點，作于點，交準線于點，連，如圖，顯然，當且僅當點與點重合時取等號，所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為.故選：D【基礎過關】一、單選題1．若是橢圓上動點，則到該橢圓兩焦點距離之和是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由橢圓方程得：，根據(jù)橢圓定義可知：到橢圓兩焦點的距離之和為.故選：B.2．是拋物線上一點，是拋物線的焦點，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【詳解】解：因為是拋物線上一點，所以，則拋物線的準線方程為，由拋物線的定義可知，，故選：A.3．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令得即雙曲線的漸近線方程為故選：A.4．雙曲線的方程為?，則該雙曲線的離心率為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】D【詳解】由雙曲線方程得，，則雙曲線的離心率為.故選：D.5．已知直線與拋物線交于，兩個點，求線段長（

）A．4 B． C．2 D．20【答案】D【詳解】由拋物線的方程，可得焦點，而直線的方程也過，可得直線過拋物線的焦點，設，，，，聯(lián)立，整理可得，可得，所以，由拋物線的性質可得．故選：D6．直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】D【詳解】聯(lián)立，消y得，.因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，所以方程有一正一負根，所以，整理得，解得.所以的取值范圍為.故選：D．7．已知為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由雙曲線方程可知，根據(jù)雙曲線的幾何意義可得，，又，解得，，，在中由余弦定理得,故選：A8．已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）【答案】C【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，所以雙曲線的離心率．故選：C.二、多選題9．已知曲線，下列說法正確的是（

）A．若，，則是兩條直線B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是橢圓，其焦點在軸上D．若，則是雙曲線，其漸近線方程為【答案】AD【詳解】因為曲線，若，，則：和，即表示兩條直線，所以A選項正確；若，則，即是以為圓心，半徑為的圓，所以B選項錯誤；若，即，則，即是焦點在軸上的橢圓，所以C選項錯誤；若，則，即是漸近線方程為的雙曲線，所以D選項正確.故選：AD.10．已知點在雙曲線上，分別是左?右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【詳解】設點．因為雙曲線，所以．又，所以，故A錯誤．將代入得，得．由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標為，得．由雙曲線的定義得，所以，故B正確．在中，，且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．由余弦定理得，所以，故D錯誤．故選：BC．三、填空題11．拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為___________.【答案】【詳解】由，得，準線方程為：，過作準線的垂線，垂足為，則，當且僅當三點共線時，等號成立.故答案為：12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的弦．則的長是________．【答案】25【詳解】設，，雙曲線的左焦點為，則直線的方程為，由得，，，，則．故答案為：25.四、解答題13．已知橢圓的四個頂點構成的四邊形的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過橢圓C右焦點且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題得，解得，∴橢圓C的標準方程為．（2）由（1）知橢圓C的右焦點坐標為，則直線l的方程為，設，聯(lián)立，化簡得，，．．14．已知拋物線（）的焦點為，點為拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，，若，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；（2）由不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，設，聯(lián)立得，所以，所以，所以因為，所以，則，，即，解得或，又當時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.15．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）解：設，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，所以直線的方程為.【能力提升】一、單選題1．設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，∴過A、B的直線方程為，即：設，則∴故選：A.2．已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：橢圓的焦點為，又雙曲線：的一條漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故選：C3．設，分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則（

）A． B．的焦距為C．的離心率為 D．的面積為【答案】B【詳解】由雙曲線，可得，，，，，把，代入雙曲線方程可得：，解得，不妨取，，，，為正三角形，，解得，，，，，．故選：．4．已知橢圓的右焦點是拋物線的焦點，則過作傾斜角為45°的直線分別交拋物線于，（在軸上方）兩點，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【詳解】依題意，是拋物線的焦點，故，則，.根據(jù)已知條件如圖所示，在軸上方，分別過A，B作準線的垂線，垂足為，過B作的垂線，垂足為P，設，根據(jù)拋物線的定義知，所以直角梯形中，，，又直線AB的傾斜角，故，解得，即，故選：A.5．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，為坐標原點．若，且的面積為，則點的縱坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線焦點為，準線方程為，，，，代入拋物線方程可得，不妨設點在x軸上方，即，又，所以，即，同理可得所以點的縱坐標為故選：C．二、填空題6．第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運會，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為______．【答案】【詳解】設內(nèi)層橢圓方程為，由于內(nèi)外橢圓離心率相同，由題意可設外層橢圓方程為.所以點坐標為，點坐標為，設切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程得，，因為直線與橢圓相切，所以，整理可得，.同理，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程，可推出，所以.因為，所以，則，所以.故答案為：.7．已知拋物線C：，點，O是坐標原點，A，B，M，N是拋物線C上