機械制圖平面的投影及相對位置

1.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個點●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線*●●●●●●abca

b

c

平面圖形1、用幾何元素表示平面直線及線外一點.2.跡線表示法(見書本P33)

空間平面與投影面的交線叫平面的跡線。平面P與H面的交線為水平跡線PH，與V面的交線為正面跡線PV，與W面的交線為側(cè)面跡線PW。.平行垂直傾斜實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面的投影特性二、平面的投影平面//投影面投影反映實形面平面⊥投影面投影積聚成直線平面∠投影面投影類似原平面.⒉各種位置平面的投影(三類七種情況)投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜鉛垂面(⊥H)正垂面(⊥V)側(cè)垂面(⊥W)水平面(//H)正平面(//V)側(cè)平面(//W).VWHPPH

鉛垂面投影特性：1.abc積聚為一條線，與OX、OYH的夾角反映

、

角；

2.a

b

c

、a

b

c

為

ABC的類似形；ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

1）投影面垂直面的投影.VWHQQV

正垂面投影特性：1.a

b

c

積聚為一條線，與OX、OZ的夾角反映α、

角；

2.abc、a

b

c

為ABC的類似形。

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B.VWHSWS

側(cè)垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線，與OYW、OZ的夾角反映α、β角；2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形。Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

.abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。2.另兩個投影面上的投影有類似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜兩類似.VWH水平面投影特性：1.a

b

c//OX、a

b

c//OYW，分別積聚為直線;2.水平投影abc反映

ABC實形。CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

2）投影面平行面的投影.正平面VWH投影特性：1.abc//OX、a

b

c//OZ，分別積聚為直線；2.正面投影a

b

c

反映

ABC實形。

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA.投影特性：1.abc//OYY、a

b

c//OZ，分別積聚為直線；2.側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實形。

側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

.a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。投影特征：兩線一實形.一般位置平面投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形；2.不反映

、

、

的真實角度。

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB3）一般位置平面的投影（三類似）.QHRV例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過直線AB的正垂面P；過點C的正平面Q；過直線DE的水平面R。a’b’abPVPH.bac水平正垂側(cè)垂投影面平行面:兩線一實形投影面垂直面:一斜兩類似.在平面內(nèi)取直線的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點.abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有無數(shù)解。.例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！.⒉平面上取點若點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。即：點在線上，則點在面上。.

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線(細實線)求解.例2已知

ABC給定一平面,試判斷點D是否屬于該平面。d

da

b

c

abcee

點D不屬于平面ABCd

da

b

c

abcee

點D屬于平面ABC.例3：作出三角形ABC平面內(nèi)三角形DEF的水平投影。de求線先找兩已知點，求點先找已知線。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12.四、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影不一定反映直角。直角投影定理a

c

b

abc.即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。小結(jié).一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面（三類似）⒉投影面垂直面（一斜兩類似）⒊投影面平行面（兩線一實形）三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。另外兩個投影為類似多邊形。

在其平行的投影面上的投影反映實形。另外兩個投影積聚為直線。

a

b

a

b

bacc

c

a

b

b

baa

c

c

cb

b

a

a

c

c

bac.二、平面上的點與直線(P27-30)⒈平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上.⒉平面上的直線（求線先找已知點）

⑴過平面上的兩個點。

⑵過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。d

da

b

c

abcee

.1.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交（垂直）。一、平行問題直線與平面平行

平面與平面平行⒈直線與平面平行定理:

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必平行。即：將線面//，轉(zhuǎn)化為線線//.⒈直線與平面平行

1.

當直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影，如圖。g’g//2.當直線與平面都為特殊情況且平行時，直線與平面的積聚性投影在同面投影上。特殊情況：.例1：過A點作平面平行于線段BC。b’bc’ca’aXOdd’作圖：ad//bc，a′d′//b′c′故，BC//平面DAF分析：線線//，則線面//；過A點做直線AD//BC。f’f可過A點任意作直線AF.n

●●a

c

b

m

abcmn有無數(shù)解分析:過M點作一條//平面內(nèi)的任意直線的直線,即得.例2：過M點作直線MN平行于平面ABC。

.正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

分析:在平面ABC內(nèi)作一條正平線,MN//此正平線,即得.例3：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。

.①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef2.兩平面平行//.平行舉例例判斷下列兩平面是否平行不平行.直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交(實物)

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點，且交點是直線與平面可見與不可見的分界點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●判別兩者之間的相互遮擋的可見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個元素處于特殊位置的情況（直線特殊或者平面特殊）。二、相交問題.（1）.直線與平面相交（平面為特殊位置）

VHPHPABCacbkNKM.abcmnc

n

b

a

m

1.空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。

①求交點

②判別可見性（V面）

由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上k

n

為可見。再根據(jù):交點是可見與不可見的分界點，求得k

m

上一段不可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)2.作圖k●●2●1●抓住交點是共有點的特點例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性.（2）直線為特殊位置

.km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線為特殊位置1.空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性（V面）用重影點判斷

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●2.作圖用面上取點法.⒉兩平面相交(實物)

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點，交線是兩平面可見與不可見的分界線。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個平面處于特殊，兩個平面都處于特殊）。②判別兩平面之間的相互遮擋的可見性。.（1）兩平面都為特殊平面.可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)1.空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線。①求交線②判別可見性（H面）2.作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●例1：求兩平面的交線MN，并判別可見性。⑴.VH（2）.其中一平面為特殊平面

FBACEHabcMNmnP.b

c

f

h

a

e

abcefh1.空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

fh’的交點m

、b

c

與e