線性系統(tǒng)的能控性與能觀性分析

第四章線性系統(tǒng)的能控性與能觀性分析通過與建立起了間接聯(lián)系，也有可能能受支配。與有直接聯(lián)系，可能能支配的運動；

狀態(tài)量的引入以及它在系統(tǒng)中的重要地位，有兩個問題引起關心：〔1〕系統(tǒng)能否在適宜的控制量作用下從任意的初始狀態(tài)運動到希望的終止狀態(tài)。系統(tǒng)的能控性，控制量對系統(tǒng)狀態(tài)的支配能力?！?〕根據(jù)輸出量的測量值能否確定出系統(tǒng)的狀態(tài)值。系統(tǒng)的能觀性，輸出量對系統(tǒng)狀態(tài)的測辨能力?！?.系統(tǒng)能控性和能觀性的直觀例如例如1：考慮線性系統(tǒng)

與沒有聯(lián)系，不可能支配的運動；就是，所以能夠通過來觀測；例如2：考慮線性系統(tǒng)

與沒有任何聯(lián)系〔直接的或間接的〕，不能通過來觀測。通過能觀測的與建立了間接聯(lián)系，有可能能觀測例如3：

和完全對稱，必有解：

當初始狀態(tài)時，使系統(tǒng)的狀態(tài)運動到任意的的目標狀態(tài)，但不可能運動到的目標狀態(tài)；可見，特定條件下的狀態(tài)量是可以受控制量支配的。

例如4：

時，和也是完全對稱的，在初始狀態(tài)的特定條件下，總有。這時，雖然每個狀態(tài)變量都與輸出量有聯(lián)系，但這種聯(lián)系通過所存在的二條通道相互抵消，從而不能通過輸出量來觀測狀態(tài)量。上面的直觀例如對能控性、能觀性的說明不嚴密，需要作出較嚴格的定義，推導出可用的判據(jù)。對于上面系統(tǒng)的指定初始時刻的非零初始狀態(tài)，如果能找到一個無約束的容許控制，使系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間區(qū)間內(nèi)在的作用下運動到終止狀態(tài)，那么稱該狀態(tài)在時刻是能控的，記作?！?連續(xù)系統(tǒng)能控性及其判據(jù)

2．系統(tǒng)能控：一、能控性定義1．狀態(tài)能控：線性時變連續(xù)系統(tǒng)對于上面系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)在時刻都是能控的，那么稱系統(tǒng)在時刻是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)在時刻能控?！?〕將，稱為在能達；〔2〕可以證明，線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能達性是等價的；〔3〕如上，線性時變連續(xù)系統(tǒng)強調(diào)了“時刻〞的能控性，假設與初始時刻無關，那么稱一致能控。定常系統(tǒng)的能控性與初始時刻無關，所以不必強調(diào)時間，稱狀態(tài)能控或系統(tǒng)能控。二、能控性根本判據(jù)1．能控子空間：我們著重關心的是能控狀態(tài)在狀態(tài)空間的分布情況。

把狀態(tài)空間中全體能控狀態(tài)的集合稱為能控子空間，它是系統(tǒng)狀態(tài)空間的一個線性子空間。

還存在能控子空間的正交補空間，它也是系統(tǒng)狀態(tài)空間的線性子空間，有直和

是狀態(tài)在能控子空間上的投影向量，為狀態(tài)的能控分量；

狀態(tài)空間內(nèi)的任一向量x都可以表示為在上述兩個子空間的投影向量之和，即：

是狀態(tài)在正交補空間上的投影向量，為狀態(tài)的不能控分量；這二個向量正交，它們的內(nèi)積為零，即：

2．能控性根本判據(jù)：矩陣稱為能控性格拉姆〔Gram〕矩陣，有能控性根本判據(jù)的另一種表達形式。能控性根本判據(jù)：系統(tǒng)在時刻狀態(tài)完全能控的充要條件是維時間函數(shù)矩陣的n個行向量線性無關，其中。

可以證明，時間函數(shù)矩陣的n個行向量線性無關與下面矩陣非奇異完全等價：

能控性格拉姆矩陣判據(jù)：系統(tǒng)在時刻狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性格拉姆矩陣非奇異，其中。

根據(jù)能控性格拉姆矩陣判據(jù)，可以求得使一個能控狀態(tài)在時間區(qū)間內(nèi)運動到的控制量：

各元素全為0，的行向量組線性無關

三、定常系統(tǒng)能控性判據(jù)上面判據(jù)都適用，不再強調(diào)“某一時刻〞。1．代數(shù)判據(jù)：定常系統(tǒng)凱萊－哈密頓定理

各元素全為0，的行向量組線性無關或秩為n稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性矩陣。

代數(shù)判據(jù)或秩判據(jù)：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)的能控性矩陣的秩為n，即由代數(shù)判據(jù)可以證明，引入非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性。存在并滿秩，所以有：

例4－3試判別下面線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性：解：求得系統(tǒng)的能控性矩陣為

由計算得到的前三列就可得出不必再計算出后三列的具體數(shù)值。通過計算行列式能較方便地判別一個方陣是否滿秩。由于

所以，可以計算維方陣的行列式來判別能控性矩陣是否滿秩。

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值滿足：2．PBH秩判據(jù)：證明略例4－4應用PBH秩判據(jù)判別下面系統(tǒng)的能控性解：先求得系統(tǒng)的特征值為：對于有其秩為2；對于有其秩也為2；滿足PBH秩判據(jù)條件，所以系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控。一個等價的判據(jù)是：

這是因為s域上除特征值外，都有

分別以不同的特征值代入上式，只有當時，才能使3．特征值標準型判據(jù)特征值標準形式，控制量與狀態(tài)量之間的關系是顯式的。對角線標準型判據(jù)：系統(tǒng)矩陣A為對角陣，且對角線上元素互異時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B不存在元素全為0的行。應用PBH秩判據(jù)，有：

由于非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性，狀態(tài)完全能控的充要條件是其對角線標準型的輸入矩陣不存在元素全為0的行。系統(tǒng)能控1〕系統(tǒng)不能控系統(tǒng)能控系統(tǒng)不能控2〕3〕4〕5〕A雖為對角陣，但對角線上元素不互異，不能用上述判據(jù)。實際上，該系統(tǒng)的能控性矩陣為：不是滿秩陣，系統(tǒng)不能控。約當標準型判據(jù)1：A為約當陣且不同約當塊具有不同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B的與每個約當塊末行對應的行元素不全為0。以只具有一個約當塊的情況來說明：應用PBH秩判據(jù)，將系統(tǒng)唯一的n重特征值代入判別矩陣，有：只有當時，才能使

系統(tǒng)能控系統(tǒng)不能控系統(tǒng)能控1〕2〕3〕約當標準型判據(jù)2：A為約當陣，但不同約當塊具有相同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B的與每個約當塊末行對應的那些行彼此線性無關。以具有2個約當塊的情況來說明：只有當行向量和線性無關時，才能使應用PBH秩判據(jù)，將系統(tǒng)唯一的特征值代入判別矩陣，有：系統(tǒng)不能控系統(tǒng)能控一個對角元素可視為階次為1的約當塊，所以有系統(tǒng)不能控1〕2〕3〕系統(tǒng)能控4〕

當A既有相異的對角元素，又有約當塊時，可聯(lián)合應用上述三個判據(jù)進行判別。系統(tǒng)能控1〕如果存在控制作用，在有限的時間區(qū)間內(nèi)，將任一給定的初始輸出推向所規(guī)定的任意終點輸出，那么稱系統(tǒng)是輸出完全能控的，簡稱系統(tǒng)輸出能控。系統(tǒng)能控2〕四、定常系統(tǒng)的輸出能控性描述系統(tǒng)的控制量對輸出量的支配能力。當時，有：

輸出能控性代數(shù)判據(jù)：線性定常系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件是維輸出能控性矩陣的秩為，即

當系統(tǒng)狀態(tài)完全能控即滿秩時，有，輸出能控性取決于輸出矩陣C是否滿秩；

當系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控時，輸出能控性取決于的行向量線性相關情況。所以，輸出能控性與狀態(tài)能控性之間沒有必然聯(lián)系。例4－10分析下面系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性。解：

系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控系統(tǒng)輸出也不完全能控通常，輸出不能控對應了系統(tǒng)輸入到輸出傳遞關系為0的情況。其中不受u的支配，系統(tǒng)輸出不完全能控。§3連續(xù)系統(tǒng)能觀性及其判據(jù)

系統(tǒng)的能觀性用來表示系統(tǒng)輸出量對狀態(tài)量的測辨能力，當研究從能測量的輸出量間接獲取不能直接測量的狀態(tài)量的問題時，首先要研究系統(tǒng)是否具備能觀性。一、能觀性定義與系統(tǒng)的輸入量無關，令1．狀態(tài)能觀：對于上面系統(tǒng)和指定的初始時刻，能夠根據(jù)有限的時間區(qū)間內(nèi)測量到的輸出量唯一地確定系統(tǒng)任意的非零初始狀態(tài)，那么稱該狀態(tài)在時刻是能觀的。

如果在一個時間區(qū)間內(nèi)，無論狀態(tài)量如何變化，而輸出量始終不變，那么狀態(tài)是不能觀的。于是，可等價地給出狀態(tài)不能觀的定義。對于上面系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中所有的非零狀態(tài)在時刻都不是不能觀的，那么稱系統(tǒng)在時刻是狀態(tài)完全能觀的，簡稱系統(tǒng)在時刻能觀。對于上面系統(tǒng)和指定的初始時刻，如果存在非零初始狀態(tài)，使系統(tǒng)的輸出響應在有限的時間區(qū)間內(nèi)恒為零，那么稱該狀態(tài)在時刻是不能觀的，記作。2．狀態(tài)不能觀：3．系統(tǒng)能觀：同樣，線性時變連續(xù)系統(tǒng)強調(diào)了“時刻〞的能觀性，假設與初始時刻無關，那么稱一致能觀。定常系統(tǒng)的能觀性與初始時刻無關，所以不必強調(diào)時間，稱狀態(tài)能觀或系統(tǒng)能觀。引入確定性的外部輸入不影響系統(tǒng)狀態(tài)的能觀性。是狀態(tài)在不能觀子空間上的投影向量，為狀態(tài)的不能觀分量；二、能觀性根本判據(jù)1．不能觀子空間：系統(tǒng)能觀性考察的是狀態(tài)空間中是否所有的非零狀態(tài)都能觀。

把狀態(tài)空間中全體不能觀狀態(tài)的集合稱為不能觀子空間，記作，它是系統(tǒng)狀態(tài)空間X

的一個線性子空間。在狀態(tài)空間X中還可以得到不能觀子空間的正交補空間，記作，它也是系統(tǒng)狀態(tài)空間X

的線性子空間，同樣有

狀態(tài)空間內(nèi)的任一向量x都可以表示為在上述兩個子空間的投影向量之和，即：是狀態(tài)在正交補空間上的投影向量，為狀態(tài)的能觀分量；直和例如4中，只有滿足的狀態(tài)是不能觀的，如圖是不能觀子空間，是不能觀子空間的正交補空間。

直線上的狀態(tài)都是不能觀的，它們在上的投影向量為零，在上的投影向量非零。

不位于直線上的狀態(tài)點x

在上的投影向量非零，為，在上的投影向量為。可見，由系統(tǒng)的輸出測量值所確定的初始狀態(tài)值是過狀態(tài)點x與直線平行的一條直線。即同樣的輸出測量值對應了無數(shù)個初始狀態(tài)，但是如果要確定距離狀態(tài)空間原點最近〔范數(shù)最小〕的初始狀態(tài)，那么只有唯一的一個，為，位于正交補空間上。

可以認為不能觀子空間以外的狀態(tài)都是能觀的，在最小范數(shù)的意義下，將正交補空間稱為能觀子空間，其上的是能觀狀態(tài)。2．能觀性根本判據(jù)：上面系統(tǒng)的輸出響應可表示為：由不能觀狀態(tài)的定義可得：各元素全為0，的列向量組線性無關能觀性根本判據(jù)：系統(tǒng)在時刻狀態(tài)完全能觀的充要條件是維時間函數(shù)矩陣的n個列向量線性無關，其中。

可以證明，時間函數(shù)矩陣的n個列向量線性無關與下面矩陣非奇異完全等價：矩陣稱為能觀性格拉姆〔Gram〕矩陣，有能觀性根本判據(jù)的另一種表達形式。

能觀性格拉姆矩陣判據(jù)：系統(tǒng)在時刻狀態(tài)完全能觀的充要條件是能觀性格拉姆矩陣非奇異，其中。

根據(jù)能控性格拉姆矩陣判據(jù)，可以出一個能觀的初始狀態(tài)為：三、能控性與能觀性的對偶關系能控性根本判據(jù)：的n個行向量線性無關能觀性根本判據(jù)：的n個列向量線性無關的n個列向量線性無關

的n個行向量線性無關那么系統(tǒng)的能控性等價于的能觀性，系統(tǒng)的能觀性也等價于的能控性。稱滿足上述關系的兩個系統(tǒng)互為對偶系統(tǒng)。兩個系統(tǒng)1．對偶系統(tǒng)：且有：或互為轉(zhuǎn)置逆而它們的系統(tǒng)矩陣滿足關系：這是因為：對于系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣應滿足：又它與的關系為：所以有：互為對偶系統(tǒng)的框圖：2．對偶性原理：互為對偶的系統(tǒng)和，它們的能控性和能觀性也成對偶關系，即系統(tǒng)的能控性等價于系統(tǒng)的能觀性，系統(tǒng)的能觀性等價于系統(tǒng)的能控性。

對偶性原理給我們研究系統(tǒng)的能控、能觀性帶來很大方便。四、定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)對偶系統(tǒng)與能達性等價

1．代數(shù)判據(jù)〔或秩判據(jù)〕：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩為n，即證明：應用對偶性原理，對偶系統(tǒng)為：的能控性矩陣為：轉(zhuǎn)置秩不變，即

可見，的秩等于n是系統(tǒng)能控的充要條件，顯然也是系統(tǒng)能觀的充要條件。將上面矩陣稱為線性定常系統(tǒng)的能觀性矩陣，記為。由代數(shù)判據(jù)可以證明，引入非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性。P為滿秩陣，所以有：例4－13試判別以下線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性：

同樣，可以通過計算維方陣的行列式來判別能觀性矩陣是否滿秩。解求得系統(tǒng)的能觀性矩陣為

由計算得到的前三行可得出系統(tǒng)能觀的結論，就不必再計算出后面行的具體數(shù)值。2．PBH判據(jù)：

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值滿足：應用對偶性原理證明。

也有等價的判據(jù)：例4－14應用PBH秩判據(jù)判別下面系統(tǒng)的能觀性：解:先求得系統(tǒng)的特征值為：對于有

，其秩為1；對于有

，其秩為2；不滿足PBH秩判據(jù)條件，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。3．特征值標準型判據(jù)特征值標準形式，輸出量與狀態(tài)量之間的關系是顯式的。對角線標準型判據(jù)：A為對角陣，且對角線上元素互異時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C不存在元素全為0的列。應用對偶性原理，或者應用PBH秩判據(jù)很容易證明該判據(jù)。1〕系統(tǒng)不能觀2〕3〕系統(tǒng)能觀系統(tǒng)不能觀約當標準型判據(jù)1：A為約當陣且不同約當塊具有不同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C的與每個約當塊首列對應的列元素不全為0。應用對偶性原理，或者應用PBH秩判據(jù)很容易證明該判據(jù)。1〕系統(tǒng)能觀系統(tǒng)不能觀系統(tǒng)能觀2〕3〕約當標準型判據(jù)2：A為約當陣，但不同約當塊具有相同對角元素時，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C的與每個約當塊首列對應的那些列彼此線性無關。應用對偶性原理或者應用PBH秩判據(jù)同樣很容易證明該判據(jù)。1〕系統(tǒng)能觀，C矩陣的第1、3列線性無關2〕系統(tǒng)不能觀，C矩陣的第1、3列線性相關

這里把一個對角元素視為階次為1的約當塊

3〕系統(tǒng)能觀，C矩陣的第1、3、4列線性無關，第5、7列也線性無關

當A既有相異的對角元素，又有約當塊時，可聯(lián)合應用上述三個判據(jù)進行判別。系統(tǒng)能觀1〕2〕系統(tǒng)能觀§4.線性離散系統(tǒng)的能控性與能觀性

通過l步使任意初始狀態(tài)x(0)運動到終止的零狀態(tài)對于上面系統(tǒng)的指定初始時刻及任意非零初始狀態(tài)，如果能找到一個無約束的容許控制序列，使系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間區(qū)間內(nèi)運動到原點，那么稱系統(tǒng)在時刻是能控的。1．能控性定義：一、能控性

與此相對應，也將控制序列能使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間區(qū)間內(nèi)從零初始狀態(tài)運動到任意指定的非零終止狀態(tài)稱為系統(tǒng)在時刻是能達的。對于線性定常離散系統(tǒng)，能控性與初始時刻無關，所以不再強調(diào)“h時刻〞的能控性，而稱系統(tǒng)能控。2．定常系統(tǒng)能控性判據(jù)〔代數(shù)判據(jù)〕：

即：上式中能對任意的x(0)求得u(0)、u(1)、…、u(n-1)，那么系統(tǒng)能控。

這是一個從n個非齊次線性方程求解l×p個未知量的問題，根據(jù)線性方程解的存在理論，必須滿足：單輸入系統(tǒng)，左邊矩陣為n×l維，右邊矩陣為n×(l+1)維，當G非奇異時，必須有，所以n是離散系統(tǒng)的最小拍控制。而多輸入系統(tǒng)，左邊矩陣為n×lp

維，右邊矩陣為n×(lp+1)維，顯然可有。

當G奇異時,上式成立對于能解出控制序列u(k)只是充分的。

當G非奇異時,上式成立對于能解出控制序列u(k)不僅是充分的，而且必要的。所以，線性定常離散系統(tǒng)能控性的判據(jù)為：〔1〕G非奇異時,系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：G非奇異時,上式成立是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分條件?！?〕G非奇異時,多輸入系統(tǒng)l步(l<n)狀態(tài)完全能控的充要條件是：對于能達性，有：稱線性定常離散系統(tǒng)的能控性矩陣

線性定常離散系統(tǒng)能達性的判據(jù)為：〔1〕系統(tǒng)狀態(tài)完全能達的充要條件是：〔2〕多輸入系統(tǒng)l步(l<n)狀態(tài)能達的充要條件是：G非奇異時，離散系統(tǒng)的能控性等價于能達性，G奇異時不等價。例4－19判別下面線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能達性。解：易知G為奇異矩陣，代入能控性矩陣有其秩為1，系統(tǒng)狀態(tài)不完全能達不能確定系統(tǒng)的能控性〔因為G奇異時，上式只是系統(tǒng)能控的充分條件〕

實際上可以找到，使系統(tǒng)狀態(tài)在它的作用下運動到原點：即系統(tǒng)狀態(tài)是完全能控的，而且是1步能控。二、能觀性1．能觀性定義：對于上面系統(tǒng)的指定初始時刻h,在輸入向量序列u(k)的情況下，能夠根據(jù)有限采樣區(qū)間內(nèi)測量到的輸出向量序列y(k)，唯一地確定系統(tǒng)任意的非零初始狀態(tài)，那么稱系統(tǒng)在h時刻是能觀的。線性定常離散系統(tǒng)，能觀性與初始時刻無關，所以不再強調(diào)“h時刻〞，而稱系統(tǒng)能觀。

這是qn個方程求解n維未知量的非齊次線性方程組，有唯一解的充要條件是下面矩陣滿秩：2．定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)：令，系統(tǒng)為：得：n步測量得：所以，線性定常離散系統(tǒng)能觀性的判據(jù)為：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是：稱為線性定常離散系統(tǒng)的能觀性矩陣

三、連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性和能觀性先看一個關于連續(xù)系統(tǒng)離散化后系統(tǒng)能控性、能觀性的例如。例4－21考察下面系統(tǒng)離散化前后的能控性和能觀性：解：連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性矩陣分別為：系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：滿秩，能觀滿秩，能控離散化后系統(tǒng)的G和h分別為：當有：離散系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣分別為：系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣是否滿秩，取決于采樣周期T。系統(tǒng)不能控，不能觀當，滿秩，系統(tǒng)能控，能觀連續(xù)系統(tǒng)離散化后的離散系統(tǒng)的能控性、能觀性與采樣周期T

有關。不加證明地給出如下結論：

對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其對應的離散系統(tǒng)保持能控性和能觀性的充要條件是，對滿足的系統(tǒng)矩陣A的一切特征值，使采樣周期T的值滿足

該結論表示了A的所有實部相等的特征值的虛部與采樣周期應滿足的關系。對于實數(shù)特征值采樣周期不受限制。

上例中，A有一對共軛復數(shù)特征值，離散系統(tǒng)保持能控、能觀性的采樣周期取值為：與上面分析結果一致。值得注意的是，系統(tǒng)矩陣A的所有實部相等的特征值都要按上式限制采樣周期，例如某系統(tǒng)有特征值和，那么采樣周期T的取值應受以下6個式子的限制：剔除無意義和重復的式子后，采樣周期T的取值應滿足：§5線性定常系統(tǒng)的能控標準型與能觀標準型n階線性定常系統(tǒng)：

或：能控標準型：一、單輸入單輸出系統(tǒng)能觀標準型：1．單輸入系統(tǒng)的能控標準型〔兩點結論〕：〔1〕具有能控標準型形式的單輸入線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全能控的。系統(tǒng)的能控性矩陣為：這是一個主對角線元素均為1的右下三角陣，顯然有?！?〕一個不具能控標準型形式的能控的n階單輸入系統(tǒng)，一定可以通過非奇異變換化為能控標準型形式，其中變換矩陣P為：這是因為：系統(tǒng)能控，其能控性矩陣滿秩。P的n個列向量線性無關，P為非奇異變換矩陣。由，有：由凱萊－哈密頓定理及可得：由P的式子又由及可得：代入上式得：所以有：所以有：即在具有上面所示的變換矩陣P的作用下，新狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣具有能控標準型形式。例4－22試判斷下面系統(tǒng)的能控性，如能控那么將它化為能控標準型。解：系統(tǒng)的能控性矩陣為系統(tǒng)能控，可將它化為能控標準型。先寫出系統(tǒng)的特征多項式：即：按上面式子得出變換矩陣P：求出其逆為：分別求得新狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣為：顯然是能控標準型形式。是矩陣的n個行向量〔1〕取的最后一行為變換矩陣的逆陣的第1個行向量；還可以按以下方法求得變換矩陣P：〔2〕求得變換矩陣的逆陣：這是因為，如設非奇異變換矩陣的逆矩陣為：線性變換將原動態(tài)方程化為能控標準型，即及即逆矩陣可表示為：求得后就可以由上面式子得到非奇異變換矩陣的逆陣。又：即：由于系統(tǒng)能控，其能控性矩陣非奇異，于是可得：即矩陣的第1個行向量是能控性矩陣的逆陣的最后一行。上例中，已求得：求得其逆陣為：那么：得到的變換矩陣P與前面求出的一樣，顯然變換后得出同樣的結果。2．單輸出系統(tǒng)的能觀標準型：應用對偶性原理，也可以得出兩點結論：〔1〕具有能觀標準型形式的單輸出線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全能控的。〔2〕一個不具能觀標準型形式的能觀的n階單輸出系統(tǒng)，一定可以通過非奇異變換化為能觀標準型形式，其中變換矩陣的逆陣為：這是因為：系統(tǒng)能觀，其能觀性矩陣滿秩，必非奇異。由，有：由凱萊－哈密頓定理及可得：由的式子又由及，可得：代入上式得：所以有：所以有：即在具有上面所示的變換矩陣逆陣的作用下，新狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣具有能觀標準型形式。類似于上面能控標準型，也可以按以下方法求得將一個能觀系統(tǒng)變換為能觀標準型的變換矩陣P:〔1〕取的最后一列為變換矩陣P的第1個列向量；〔2〕變換矩陣為：上述結論利用對偶性原理可直接得出。例4－23判斷下面系統(tǒng)的能觀性，如能觀那么將它化為能觀標準型。解：按第一種方法解，有系統(tǒng)能觀，可將它化為能觀標準型。即：顯然是能觀標準型形式。按另一種方法求解，有與第一種方法求得的變換矩陣一樣，顯然變換后得出同樣的結果。二、多輸入多輸出系統(tǒng)

單輸入系統(tǒng)的能控性矩陣或單輸出系統(tǒng)的能觀性矩陣都是維的，在構造變換矩陣時，可方便地直接將它們的n個列向量或行向量線性組合得到。

多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣為維，當系統(tǒng)能控時，從個列向量中選取n個線性無關的列向量的方案有很多種。

同理，一個能觀的多輸出系統(tǒng)，從維能觀性矩陣的個行向量中選取n個線性無關的行向量的方案也有很多種。因此，多輸入多輸出系統(tǒng)的能控標準型和能觀標準型較之單輸入單輸出系統(tǒng)在形式上和構造方法上都要復雜得多。有“列向搜索〞和“行向搜索〞兩種選取n個線性無關向量的方案。采用“列向搜索〞方案得到旺納姆〔Wonham〕能控〔能觀〕標準型；采用“行向搜索〞方案得到龍伯格〔Luenberger〕能控〔能觀〕標準型?！?

線性系統(tǒng)的結構分解一、系統(tǒng)能控性、能觀性在線性變換下的屬性〔1〕非奇異變換下系統(tǒng)的能控性保持不變。其中滿秩，所以有：〔2〕非奇異變換下系統(tǒng)的能觀性保持不變。其中P滿秩，所以有：討論不完全能控或不完全能觀的系統(tǒng)。選取適宜的非奇異變換，實現(xiàn)系統(tǒng)結構的有效分解。二、按能控性分解設：說明中僅有k個列向量線性無關，取這k個線性無關的列向量，再另選取(n-k)個線性無關并與線性無關的列向量，構成非奇異變換矩陣，即：其逆矩陣為：變換矩陣P及其逆陣Q有如下性質(zhì)：因為，對于有〔1〕

〔2〕〔3〕所以有：性質(zhì)2性質(zhì)3

因此，狀態(tài)不完全能控的系統(tǒng)在上述變換矩陣P的非奇異變換下，使系統(tǒng)實現(xiàn)按能控性的結構分解，即為k維能控分狀態(tài)向量，為(n-k)維不能控分狀態(tài)向量。顯式地表示出k維能控子系統(tǒng)：和(n-k)維不能控子系統(tǒng)：方框圖為：2維1維

1).系統(tǒng)的極點集合是由能控子系統(tǒng)的極點集合和不能控子系統(tǒng)的極點集合組成。2).P的不唯一性，變換后可有多個結果，但標準表達式的形式是一樣的。3).一個線性定常系統(tǒng)完全能控的條件是其不能通過一個非奇異矩陣P變換成一個這樣的標準表達形式。幾個注意點：說明中僅有m個行向量線性無關。取這m個線性無關的行向量，再另選取(n-m)個線性無關并與線性無關的行向量，構成非奇異變換矩陣的逆陣，即三、按能觀性分解按能觀性分解對偶于按能控性分解。求逆得變換矩陣P：

有對應結論：狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng)在上述變換矩陣P的非奇異變換下，使系統(tǒng)實現(xiàn)按能觀性的結構分解，即為m維能控分狀態(tài)向量，為(n-m)維不能控分狀態(tài)向量。顯式地表示出m維能觀子系統(tǒng)：和(n-m)維不能觀子系統(tǒng)：方框圖為：上述關于按能控性分解的幾個注意點也適合按能觀性分解。得到按能觀性分解的表達式：容易寫出2維能觀子系統(tǒng)和1維不能觀子系統(tǒng)

1〕設n維系統(tǒng)有，按上面原那么構造變換矩陣，通過非奇異變換將原系統(tǒng)按能控性分解成k維能控子系統(tǒng)：四、系統(tǒng)結構的標準分解

對于既不能控又不能觀的系統(tǒng),可以先按能控性分解成能控和不能控子系統(tǒng),然后再分別進行按能觀性分解;或者相反。和〔n-k〕維不能控子系統(tǒng)：2〕設能控子系統(tǒng)的能觀性矩陣有，按上面原那么構造變換矩陣的逆陣，通過非奇異變換將能控子系統(tǒng)變換為：3〕設不能控子系統(tǒng)的能觀性矩陣有，按上面原那么構造變換矩陣的逆陣，通過非奇異變換將不能控子系統(tǒng)變換為：同時，，并可證明有所以有：綜合上面分解過程，可得出狀態(tài)既不完全能控又不完全能觀系統(tǒng)的標準結構分解，即：容易顯式地表示出4個子系統(tǒng)，它們分別是：能控能觀子系統(tǒng)：能控不能觀子系統(tǒng)：不能控能觀子系統(tǒng)：不能控不能觀子系統(tǒng)：方框圖為：系統(tǒng)的特征值集合由4個子系統(tǒng)的特征值集合組成。五、系統(tǒng)的標準分解與系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣

傳遞函數(shù)矩陣描述了系統(tǒng)的輸入－輸出特性，即輸入量u到輸出量y的傳遞關系。

對于一個既不能控又不能觀的系統(tǒng)，只存在唯一的一條由系統(tǒng)輸入u到系統(tǒng)輸出y的傳遞通道，即：四個子系統(tǒng)中，只有一個子系統(tǒng)〔能控能觀子系統(tǒng)〕既與輸入量u又與輸出量y建立聯(lián)系，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以表示為：即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與能控能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等價。傳遞函數(shù)矩陣只反映了系統(tǒng)中既能控又能觀的那局部，它是系統(tǒng)的一種不完全描述。而狀態(tài)空間描述反映了系統(tǒng)的所有各局部，是系統(tǒng)的一種完全描述。

系統(tǒng)實現(xiàn)問題：對給定的傳遞函數(shù)矩陣求相應的狀態(tài)空間表達式。所求得的一個狀態(tài)空間表達式是系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的一個實現(xiàn)。一個給定的傳遞函數(shù)矩陣可以對應無數(shù)個狀態(tài)空間表達式〔維數(shù)可以不相同〕，只要這些狀態(tài)空間表達式具有相同的能控能觀子系統(tǒng)。給求解系統(tǒng)實現(xiàn)問題帶來困難。工程上，尋求維數(shù)最小的一種實現(xiàn)〔最小實現(xiàn)〕具有重要意義。

結論：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)為最小實現(xiàn)的充要條件是該實現(xiàn)為既能控又能觀。

一個傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)不是唯一的，其最小實現(xiàn)也不是唯一的，但最小實現(xiàn)的維數(shù)是唯一的。

同一傳遞函數(shù)矩陣的最小實現(xiàn)之間是非奇異線性變換關系，也即它們是代數(shù)等價的。對于一個具有嚴格真有理分式的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，求最小實現(xiàn)：〔1〕求出G(s)的一個能控標準型〔或能觀標準型〕實現(xiàn)；〔2〕判別上述能控標準型〔或能觀標準型〕實現(xiàn)的能觀性〔或能控性〕，如已是既能控又能觀，那么必是最小實現(xiàn)；〔3〕否那么對其按能觀性〔或能控性〕分解，找出既能控又能觀子系統(tǒng)，就是最小實現(xiàn)。§7能控性、能觀性與傳遞函數(shù)〔矩陣〕的關系

即：

等式左邊的分母多項式為n次，右邊的分母多項式為m次，且。

可見系統(tǒng)的能控、能觀性與傳遞函數(shù)是否存在零、極點相消現(xiàn)象有必然聯(lián)系。重新寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)〔矩陣〕表示式：

當m<n時，系統(tǒng)一定不是既能控又能觀的。而此時等式成立的唯一可能是等式左邊式子存在零、極點相消。

1.線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)完全能控、能觀的充要條件是傳遞函數(shù)無零、極點相消。

一、單輸入單輸出系統(tǒng)

這個結論是很明顯的。系統(tǒng)狀態(tài)完全能控、能觀，說明它是系統(tǒng)的最小實現(xiàn)，它的維數(shù)應對應于傳遞函數(shù)無零、極點相消的情況。

但是，如果傳遞函數(shù)出現(xiàn)零、極點相消現(xiàn)象，不能確定系統(tǒng)是不能控的，還是不能觀的，還是既不能控又不能觀的。傳遞函數(shù)的分子、分母有相同因子〔s-1〕,所以系統(tǒng)應為不完全能控能觀的。

顯然實現(xiàn)1能控不能觀，實現(xiàn)2不能控能觀，實現(xiàn)3不能控不能觀。該傳遞函數(shù)有3種實現(xiàn)，即對應了3種狀態(tài)空間表達式：2.單輸入線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是由控制到狀態(tài)的傳遞關系無零、極點相消。3.單輸出線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是由狀態(tài)到輸出的傳遞關系無零、極點相消。4.單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)既不能控又不能觀的充分條件是其預解矩陣存在零極點相消。上面例的實現(xiàn)2：有零極點相消，不能控。上面例的實現(xiàn)1：有零極點相消，不能觀。又例如要討論以下圖所示系統(tǒng)的能控性由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：有：有零極點相消，系統(tǒng)不能控。

可見基于傳遞函數(shù)零極點相消的控制系統(tǒng)設計方法破壞了系統(tǒng)狀態(tài)的能控性、能觀性。不能隨意采用這種設計方法。實際上，系統(tǒng)的能控性矩陣為：二、多輸入多輸出系統(tǒng)

通過零極點相消來判斷其能控、能觀性較單輸入單輸出系統(tǒng)復雜，因為傳遞函數(shù)矩陣不存在零極點相消只是系統(tǒng)最小實現(xiàn)的充分條件而非充要條件。1．預解矩陣分子、分母不存在可以相消公因子的情況：

這時，傳遞函數(shù)矩陣是最