2023年考研《數(shù)學(xué)二》真題及詳解【完整版】

2023年全國碩士研究生招生考試考研《數(shù)學(xué)二》真題及詳解【完整版】一、選擇題：1～10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是最符1.曲線的漸近線方程為()?！驹囶}答案】B【試題解析】由已知,則可得：由于原函數(shù)在(-～,+～)內(nèi)連續(xù)，所以C?=1+C?,令C?=C,則C?=1+C,故令C=0,則f(x)的一個原函數(shù)為A.xn是yn的高階無窮小B.yn是xn的高階無窮小C.xn是yn的等價無窮小D.x?是yn的同階但非等價無窮小在(0,π/2)中，2x/π<sinx,故xn+?=sinxn>2x,/π。,;,;4.已知微分方程式y(tǒng)”+ay'+by=0的解在(一，+～)上有界，則a,b的取值范圍為()。若C?、C?都不為零，則微分方程的解為y=Ce*+C?e*。因此，此時不能有解在(-,+～)若C?≠0,則微分方程的解為因此，此時不能有解在(一，+～)上有界。要使微分方程的解在(一，+～)有界，則a=0,結(jié)合A=a2-4b<0,可得b>0。【試題解析】(1)當(dāng)t>0時，當(dāng)t=0時，因(2)因為;6.若函數(shù)【試題答案】A【試題解析】由題意，反常積分收斂，需要α>0。當(dāng)α>0時，可得：【試題答案】C【試題解析】函數(shù)f(x)=(x2+a)e,則f^(x)=e。因f(x)無極值點(diǎn)，則可得4-4a≤0,即a≥1;因f(x)有拐點(diǎn)，則可得16-4(a+2)>0,<2。綜上所述，可得a∈【試題解析】由伴隨矩陣的計算公式，代入(D)選項計算可知：故D項正確。9.二次型f(x,xz,x?)=(x?+x?)2+(x?+x?)2-4(x?-x?)2的規(guī)范形為()?！驹囶}解析】由題意可得f(xj,x?,x?)=2x2-3x2-3x2+2x?x?+2x?Xg+8x?xs?？傻肁的特征值為3,-7,0。4,,【試題答案】D【試題答案】-2將x=1,y=1,【試題答案】1/2則三、解答題：17～22小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字(1)求y(x);(2)在L上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，并求此最小面積。解：(1)設(shè)曲線在點(diǎn)(x,y)處的切線方程為Y-y=y'(X-x)。則切線在y軸上的截距為y-y'x,由題意可知x=y-y'x。其中C為任意常數(shù)。將(1,2)代入可得C=2,即y(x)=x(2-Inx)。(2)設(shè)曲線L在點(diǎn)(x,x(2-lnx))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，此時切線方程為：Y-x(2-lnx)=(1-lnx)(X令X=0,解得：Y=x。令S'(x)=0,解得唯一駐點(diǎn)為x=e3。取最小值，最小面積為S(e32)=e3。18.(本題滿分12分)求函數(shù)f(x,y)=xe°oy+x2/2解得駐點(diǎn)為：(一e-|,kπ),其中k為奇數(shù)；(一e,kπ),其中k為偶數(shù)。則有：代入(一e-|,kπ),其中k為奇數(shù)，可得,AC-B2<0,故(-e-1,kπ)不是極值19.(本題滿分12分)已知平面區(qū)域(2)求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。解：(1)D的面積為：(2)D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積為：x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2,y21.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在[-a,a]上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：介于0與x之間。則可得：②,γ介于0與x之其中M=max{lf"(γ?)l,lf"(y?)l}。22.(本題滿分12分)設(shè)矩陣A滿足對任意x?,x?,x?均有A(1)求A。(2)求可逆轉(zhuǎn)矩陣P與對角矩陣A使得P'A