三年級奧數(shù)雞兔同籠變例問題

Page實用文檔雞兔同籠變例知識結(jié)構(gòu)雞兔同籠這個問題，是我國古代著名趣題之一．大約在年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題．書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有個頭；從下面數(shù)，有只腳．求籠中各有幾只雞和兔？你會解答這個問題嗎？你想知道《孫子算經(jīng)》中是如何解答這個問題的嗎？解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”．這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多．因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）．顯然，雞的只數(shù)就是（只）了．這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已．除此之外，“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”．假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到．解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當(dāng)頭數(shù)一樣時，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會接觸到假設(shè)法例題精講某次數(shù)學(xué)競賽，共有道題，每道題做對得分，沒做或做錯都要扣分，小聰?shù)昧朔?，他做對了多少道題？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法做錯(道)，因此，做對的(道)．【答案】道一次口算比賽，規(guī)定：答對一題得8分，答錯一題扣5分。小華答了18道題，得92分，小華在此次比賽中答錯了________道題。【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級，二試，第12題假設(shè)他全答對了，應(yīng)該的18×8=144分，實際上少了144-92=52分，每答錯一道題少8+5=13分，答錯了52÷13=4道題。【答案】題春風(fēng)小學(xué)3名云參加數(shù)學(xué)競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道題扣3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們?nèi)艘还泊饘α薩____道題.【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法三人共得(分)，比滿分(分)少(分)因此三個人共做錯：(道)題，共答對了(道)題【答案】有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法法一：如果小明第一次測驗24題全對，得(分).那么第二次只做對(題)得分是(分).兩次相差(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加分.兩者兩差數(shù)就可減少(分).(題).因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對(題).第一次得分.第二次得分.法二：答對30題，也就是兩次共答錯(題).第一次答錯一題，要從滿分中扣去(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去(分).答錯題互換一下，兩次得分要相差(分).如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答錯題數(shù)是(題).第一次答錯(題).第一次得分(分).第二次得分(分).【答案】第一次得分分.第二次得分分.某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成）來景點旅游，如果他們買團體票那么可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法每個三口之家可以少花（元），每個二口之家可以少花（元），如果這8個家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以這8個家庭中有（個）家庭是二口之家，所以這個旅游團一共有（人）．【答案】人下面是小波和售貨員阿姨的一段對話：小波：“阿姨，您好！”售貨員：“同學(xué)，你好．想買點什么？”小波：“我只有100元，請幫我安排買10支鋼筆和15本筆記本．”售貨員：“好，每支鋼筆比每本筆記本貴2元，退你5元，請拿好．再見．”根據(jù)這段對話，則鋼筆每支是元，筆記本每本是元．【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，學(xué)而思杯，4年級，第14題一共花了元。如果是買本筆記本可以少花元，即元。所以每本筆記本元，每支鋼筆元【答案】元現(xiàn)有大小油桶50個，每個大桶可裝油4千克，每個小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個?【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法方法一：假設(shè)50個油桶都是大桶，則共裝油千克，而這小桶所裝油則為0．這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了千克，若在50個大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少千克，所以小桶有：(個)，大桶有：(個).方法二：這道題也可以用另外一種假設(shè)；每個大桶比每個小桶多裝2千克，如果大小桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應(yīng)該大小桶各個，現(xiàn)在共有50個桶，在剩下的個桶中，大小桶應(yīng)裝同樣多的油，而每個大桶裝的油是每個小桶裝的倍，那么在這30個桶中，應(yīng)該有個大桶，個小桶；所以可求出50個桶中，有大小桶各多少個．解：(個)(個)(大桶)(個)(大桶共有)(個)(小桶共有)【答案】大桶個，小桶個一批鋼材，用小卡車裝載要輛，用大卡車裝載只要輛．已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，那么這批鋼材有多少噸？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸．利用假設(shè)法，假設(shè)只用輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，所以要剩下(噸)．根據(jù)條件，要裝完這噸鋼材還需要(輛)小卡車．這樣每輛小卡車能裝(噸)．由此可求出這批鋼材有噸．【答案】噸多個量的“雞兔同籠”食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：元，所以賣出：千克，所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問題．假設(shè)全是每千克元的，（千克），所以30元的是千克，所以元的有：（千克）關(guān)鍵：將三種以及更多的動物/東西，轉(zhuǎn)化為兩種最基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)化后的“頭”與“腳”?！敬鸢浮壳Э四甏?，我國南方遭受到重大雪災(zāi)，實驗小學(xué)三年級一班的名同學(xué)給南方的災(zāi)區(qū)捐款元。其中有名同學(xué)每人捐元，其他同學(xué)捐元或元，則捐元的有名，捐元的有名。【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，3年級，第8題，假設(shè)思想方法由題意，（名）同學(xué)捐元或元，一共捐了（元），那么捐元的同學(xué)有：（人），捐元的有：（名）。【答案】名某場足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共400張，甲類票50元／張，乙類票40元/張，丙類票30元/張，共收入15500元，其中乙類、丙類門票張數(shù)相同．則甲類、乙類、丙類門票分別售出多少張?【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，希望杯，第八屆，四年級，二試，第14題雞兔同籠問題，乙類、丙類門票張數(shù)相同，則可以看成價格為35元／張的同一類門票．容易得到甲類門票售出張，乙類、丙類各售出(400-100)÷2=150張．【答案】甲門票售出張，乙和丙售出張商店出售大,中,小氣球,大球每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法因為總錢數(shù)是整數(shù),大,小球的價錢也都是整數(shù),所以買中球的錢數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們設(shè)想買中球,小球錢中各出3元.就可買2個中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價錢是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).從公式可算出,大球個數(shù)是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個).買中,小球錢數(shù)各是(120-30×3)÷2=15(元).可買10個中球,15個小球.【答案】大球個，中球個。小球個有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀)，求蜻蜓有多少只？【考點】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動物都是6條腿，則總腿數(shù)為(條)，所差(條)，必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有(只)蜘蛛.這樣剩下的(只)便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)(對)，比實際數(shù)少(對)，這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求(只).【答案】只犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個，腳80只，犄角20只．已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【考點】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法這道題有三種不同的動物混合在一起，這樣假設(shè)起來會比較麻煩，像前面的題一樣，我們可以觀察一下：雖然有三種不同的動物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數(shù)，就可以把孔雀與這兩種動物分開，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“雞兔同籠”問題，然后再通過犄角的不同，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次“雞兔同籠”．假設(shè)26只都是孔雀，那么就有腳：（只），比實際的少：（只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀?；蛄缪?，減少一只孔雀，就會增加腳數(shù)：（只）．所以，孔雀有（只），犀牛和羚羊總共有（只）．假設(shè)14只都是犀牛，那么就有犄角：（只），比實際的少：（只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數(shù)就會增加：（只），所以，羚羊的只數(shù)：（只），犀牛的只數(shù)：（只）．［小結(jié)］這道題出現(xiàn)了三種動物，關(guān)鍵是尋找不同動物的相同點，把三種動物化為兩類，先使用“雞兔同籠”問題的解法把另外特殊的一種區(qū)分出來，再使用另外條件區(qū)分具有相同點的動物．【答案】犀牛只，羚羊只，孔雀只課堂檢測小同有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣．小同共存了多少錢？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法假設(shè)去掉22個2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3分，所以5分幣有（個），2分幣有（個），（分）．【答案】分東湖路小學(xué)三年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共道試題.做對一題得分，沒有做一題或做錯一題都要倒扣分.劉鋼得了分，問他做對了幾道題？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法這道題也類似于“雞兔同籠”問題．假設(shè)劉鋼道題全對，可得分（分），但他實際上只得分，少了（分），因此他沒做或做錯了一些題．由于做對一道題得分，沒做或做錯一道題倒扣分，所以沒做或做錯一道題比做對一道題要少（分）．分中含有多少個，就是劉鋼沒做或做錯多少道題．所以，劉鋼沒做或做錯題為（道），做對題為（道）．【答案】道某次數(shù)學(xué)競賽，試題共有道，每做對一題得分，每做錯一題倒扣分。小紅最終得分，做對的題比做錯的題多______道?！究键c】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，3年級，第8題，假設(shè)思想方法，做錯道題，做對道題，對的比錯的多道。【答案】多道課后作業(yè)數(shù)學(xué)競賽共有20道題，規(guī)定做對一道得5分，做錯或不做倒扣3分，趙天在這次數(shù)學(xué)競賽中得了60分，他做對了幾道題？【考點】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法假設(shè)他將所有題全部做對了，則可得100分，實際上只得了60分，比假設(shè)少了40分，做錯一題要少得8分，少得的40分中，有多少個8分，就是他做錯的題的數(shù)量，則知他做對了15道．【答案】道在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共道．選擇題和填空題每題分，解答題每題分．這次考試總分是分，其中選擇題和解答題的分值比填空題