線性代數(shù)B-2.5 矩陣的秩+習(xí)題s

線性代數(shù)B任課教師:胡鳳珠編輯ppt秩(rank)是矩陣更深層的性質(zhì)，是矩陣?yán)碚摰暮诵母拍睿仁堑聡?guó)數(shù)學(xué)家弗洛貝尼烏斯在1879年首先提出的．矩陣的秩是討論線性方程組解的存在性、向量組的線性相關(guān)性等問(wèn)題的重要工具．矩陣的秩編輯ppt課本§2.6矩陣的秩

一、矩陣的秩的概念二、矩陣的秩的求法編輯ppt~r行階梯形矩陣~r行最簡(jiǎn)形矩陣~c標(biāo)準(zhǔn)形(形式不唯一)(形式唯一)矩陣常用的三種特殊的等價(jià)形式：標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)r完全確定，r也就是A的行階梯形中非零行的行數(shù)

這個(gè)數(shù)便是矩陣A的秩

一、矩陣的秩的概念編輯ppt~r行階梯形矩陣~r行最簡(jiǎn)形矩陣~c標(biāo)準(zhǔn)形(形式不唯一)(形式唯一)矩陣常用的三種特殊的等價(jià)形式：由于矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性沒(méi)有給出證明，也可以借助行列式來(lái)定義矩陣的秩．一、矩陣的秩的概念編輯ppt11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

1、k階子式例如

11

3

1是A的一個(gè)二階子式說(shuō)明

m

n矩陣的k階子式有個(gè).CknCkm定義1

在m

n矩陣A中

任取k行k列位于這些行列

交叉處的k2個(gè)元素

不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式

稱(chēng)為矩陣A的k階子式

編輯ppt故r(A)=0

A=O．規(guī)定等于0

零矩陣的秩矩陣A的秩，記作r(A)

或R(A)或rank(A)或秩(A)

定義2

設(shè)在m

n矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在的話)全等于0

那么數(shù)r稱(chēng)為矩陣A的秩

D

稱(chēng)為矩陣A的最高階非零子式

2、矩陣的秩編輯ppt提示

例1和例2綜合求矩陣A和B的秩

其中在A中

容易看出一個(gè)2階子式A的3階子式只有一個(gè)|A|

經(jīng)計(jì)算可知|A|

0

因此r(A)

2

解

以3個(gè)非零行的首非零元為對(duì)角元的3階子式是一個(gè)上三角行列式

它顯然=24不等于0

因此r(B)

3

B是一個(gè)有3個(gè)非零行的行階梯形矩陣

其所有4階子式全為零

對(duì)于行階梯形矩陣

它的秩就等于非零行的行數(shù)

編輯ppt3、矩陣的秩的性質(zhì)

(1)假設(shè)矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0那么r(A)s假設(shè)A中所有t階子式全為0那么r(A)t(2)假設(shè)A為mn矩陣那么0r(A)min{mn}r(Am×n)min{mn}

(4)對(duì)于n階矩陣A

當(dāng)|A|

0時(shí)

r(A)

n

當(dāng)|A|

0時(shí)

r(A)

n

可逆矩陣(非奇異矩陣),又稱(chēng)為滿秩矩陣

不可逆矩陣(奇異矩陣),又稱(chēng)為降秩矩陣

可叫做滿秩矩陣，否那么叫做降秩矩陣。

(3)

r(A)

r(AT)，編輯ppt

在秩是r

的矩陣中,有沒(méi)有等于0的r

1階子式?有沒(méi)有等于0的r階子式?

解答：可能有

.例如

r(A)3

是等于0的2階子式

是等于0的3階子式

補(bǔ)充例3編輯ppt定理1假設(shè)A與B等價(jià)那么r(A)r(B)根據(jù)這一定理

為求矩陣的秩

只要把矩陣用初等(行)變換變成行階梯形矩陣

行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩

二、矩陣的秩的求法問(wèn)題：經(jīng)過(guò)初等變換后，矩陣的秩變嗎？任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)初等行變換變成行階梯形矩陣。

即初等變換不改變矩陣的秩.編輯ppt因?yàn)?/p>

解

例4求矩陣A的秩

并求A的一個(gè)最高階非零子式

其中

所以r(A)

3

為求A的最高階非零子式

考慮由A的1、2、4列構(gòu)成的矩陣又因A0的子式所以這個(gè)子式是A的最高階非零子式

行變換可見(jiàn)r(A0)＝3,行階梯形矩陣編輯ppt

例5即AB與B等價(jià)編輯ppt

例6編輯ppt小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣的秩的概念2.求矩陣的秩的方法(1)定義法把矩陣用初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù);編輯pptP67:31練習(xí)題P67:31,32編輯pptP67:31練習(xí)題P67:31,32編輯pptP67:31練習(xí)題P67:31,32繼續(xù)討論x的值的變化對(duì)矩陣A的秩的影響，結(jié)果同解法一。編輯pptP67:32

練習(xí)題P67:31,32編輯pptP67:32

練習(xí)題P67:31,32編輯ppt第一章P21,2編輯pptP21,5(3)編輯pptP21,5(3)編輯ppt習(xí)題1-5,P25:5編輯ppt編輯ppt(4)P40:3(3)、(4),(3)編輯ppt4P40-4編輯ppt6P40-6編輯ppt作業(yè)：P46:1(1),7(1)；P66:18

P46:1(1),求下列矩陣的逆矩陣編輯ppt7(1)容易出錯(cuò)編輯pptP66:18編輯pptP66:22分塊矩陣編輯pptP60:4(4),矩陣的初