數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)專題28.3 銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)突破（人教版）（學(xué)生版）

專題28.3銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)突破【人教版】【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的定義】【例1】（2021秋?包河區(qū)期末）如圖，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD與CE相交于O，則圖中線段的比不能表示sinA的式子為（）A．BDAB B．CDOC C．AEAD【變式1-1】（2021?吳興區(qū)一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，則tanA的值為（）A．35 B．43 C．34【變式1-2】（2021秋?商河縣校級(jí)期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正確的是（）A．sinA=23 B．cosA=23 C．tanA=【變式1-3】（2021?下城區(qū)模擬）如圖，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，則BD的長(zhǎng)可表示為（）A．a(chǎn)?（cosα﹣cosβ） B．a(chǎn)tanβ?tanαC．a(chǎn)cosα?a?sinαtanβ D．a(chǎn)?cosα﹣asinα?a【考點(diǎn)2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值計(jì)算】【例2】（2021秋?臥龍區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinC為（）A．1010 B．13 C．14【變式2-1】（2021秋?高平市期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，sin∠BAC＝（）A．1313 B．2613 C．2626【變式2-2】（2021?建湖縣二模）在如圖所示8×8的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)E，則∠AED的正切值是（）A．2 B．12 C．23 【變式2-3】（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，則sin∠C2=【考點(diǎn)3同角/互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【例3】（2021?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）已知sinα+cosα=75，0°＜α＜45°A．34 B．43 C．34【變式3-1】（2021?浙江自主招生）已知：實(shí)常數(shù)a、b、c、d同時(shí)滿足下列兩個(gè)等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ為任意銳角），則a、b、c、d之間的關(guān)系式是：．【變式3-2】（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論（其中α是銳角）：①sinα+cosα≤1；②cos2α＝2cosα；③當(dāng)0°＜α＜β＜90°時(shí)，0＜sinα＜sinβ＜1；④sinα＝cosα?tanα．其中正確的有（填序號(hào)）．【變式3-3】（2021秋?常州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個(gè)結(jié)論：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正確的結(jié)論有．【考點(diǎn)4特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算及其新定義問(wèn)題】【例1】（2021?安慶模擬）親愛(ài)的同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，將還會(huì)學(xué)到三角函數(shù)公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°=（1）試仿照例題，求出cos75°的準(zhǔn)確值；（2）我們知道：tanα=sinα（3）根據(jù)所學(xué)知識(shí)，請(qǐng)你巧妙地構(gòu)造一個(gè)合適的直角三角形，求出tan75°的準(zhǔn)確值（要求分母有理化），和（2）中的結(jié)論進(jìn)行比較．【變式4-1】（2021秋?臨澤縣校級(jí)月考）（1）2sin60°+3tan30°（2）sin260°+cos260°﹣tan45°（3）cos60°?tan45°+sin60°（4）22【變式4-2】（2021?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)一模）嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（22）2+（22）據(jù)此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，驗(yàn)證sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）請(qǐng)你對(duì)嘉琪的猜想進(jìn)行證明．【變式4-3】（2021?溫州模擬）對(duì)于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大?。究键c(diǎn)5解直角三角形】【例5】（2021?淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A．35 B．55 C．45【變式5-1】（2021?蚌埠模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB=35，E為AC的中點(diǎn)，那么sin∠A．15 B．513 C．1213【變式5-2】（2021秋?東明縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分別是BC邊的中線和高，若cosB=35，（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求AE的長(zhǎng)；（3）求sin∠ADB的值．【變式5-3】（2021秋?解放區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=35，BC＝12，D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)求：（1）線段CD的長(zhǎng)；（2）cos∠ABE的值．【考點(diǎn)6構(gòu)造直角三角形解直角三角形（作垂線）】【例6】（2021?寧波模擬）如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對(duì)角線，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC=33．則tan∠A．2114 B．13 C．57【變式6-1】（2021?宜賓）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A．12 B．2 C．63 【變式6-2】（2021?紹興）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB=14，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，連結(jié)CE，則A．32 B．3 C．152【變式6-3】（2021?宜興市模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC=12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則A．25+34 B．25+1 C．25【考點(diǎn)7解直角三角形的應(yīng)用（實(shí)物建模問(wèn)題）】【例7】（2021?歷下區(qū)三模）3月26日，濟(jì)南軌道交通2號(hào)線開始初期運(yùn)營(yíng)，路線如圖所示，已知臘山南站到北園站直線距離AD長(zhǎng)約21千米，從臘山南站到二環(huán)西路站的長(zhǎng)AB約為4千米，路線的轉(zhuǎn)彎角∠B為157.5°，∠C為150°，又測(cè)得∠D＝30°，則從二環(huán)西路站到濟(jì)濼路站的距離BC的長(zhǎng)為（）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，3≈A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米【變式7-1】（2021秋?潛山市期末）為慶祝國(guó)慶，某公司要在如圖所示的五角星中（圖中所有線段的長(zhǎng)度均相等，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°），從頂點(diǎn)A開始，沿邊每隔25厘米裝一盞閃光燈，如果F、J兩點(diǎn)間的距離等于（5?1）米，則需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（）（參考數(shù)據(jù)：sin18°=A．70 B．80 C．79 D．71【變式7-2】（2021春?北碚區(qū)校級(jí)月考）某網(wǎng)紅地驚現(xiàn)震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了廣大游客前來(lái)打卡．小麗想了解該LED屏AB的高度，進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，她從大樓底部C點(diǎn)沿水平直線步行30米到達(dá)臺(tái)階底端D點(diǎn)，在D點(diǎn)測(cè)得屏幕下端點(diǎn)B的仰角為27°，然后她再沿著i＝4：3長(zhǎng)度為35米的自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端E點(diǎn)，又沿水平直線行走了45米到達(dá)F點(diǎn)，在F點(diǎn)測(cè)得屏幕上端點(diǎn)A的仰角為50°（A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一個(gè)平面內(nèi)，且E、F和C、D、G分別在同一水平線上），則該LED屏AB的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米【變式7-3】（2021?義烏市模擬）如圖1是一張雙擋位可調(diào)節(jié)靠背椅，擋位調(diào)節(jié)示意圖如圖2．兩腳AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F(xiàn)分別為AC，DE上固定連接點(diǎn)，GF在點(diǎn)A上移動(dòng)實(shí)現(xiàn)靠背的調(diào)節(jié)，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．（1）當(dāng)GF∥BC時(shí)，點(diǎn)E離水平地面BC的高度為分米．（2）當(dāng)靠背DE′⊥AC時(shí)，有G′E′∥BC，則GF的長(zhǎng)為分米．【考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡腳問(wèn)題）】【例8】（2021秋?萊蕪區(qū)期中）如圖，山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：512，且AB（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長(zhǎng)；（2）為了消除安全隱患，學(xué)校計(jì)劃將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那么BF至少是多少米？（結(jié)果精確到1米）【變式8-1】（2021?濟(jì)寧二模）鄭州市農(nóng)業(yè)路高架橋二層的開通，較大程度緩解了市內(nèi)交通的壓力，最初設(shè)計(jì)南陽(yáng)路口上橋匝道時(shí)，其坡角為15°，后來(lái)從安全角度考慮將匝道坡角改為5°（見(jiàn)示意圖），如果高架橋高CD＝6米，匝道BD和AD每米造價(jià)均為4000元，那么設(shè)計(jì)優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加多少元？（參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，結(jié)果保留整數(shù)）【變式8-2】（2021?市南區(qū)二模）在2020年5月27日，我國(guó)派遣了一支登山隊(duì)成功地登上了珠峰之巔，再次以中國(guó)人的身份，站上了珠峰頂部．已知一個(gè)人登山時(shí)的動(dòng)作可以簡(jiǎn)化成下圖所示，他的大腿長(zhǎng)AB＝AC＝45cm，上坡時(shí)大腿之間的夾角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度為i=8（結(jié)果保留整數(shù)，sin65°≈910，tan65°≈15【變式8-3】（2021?灌云縣模擬）如圖，水壩的橫截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α為30°，背水坡AD的坡度i為1：1.2，壩頂寬DC＝2.5米，壩高5米．求：（1）壩底寬AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）在上題中，為了提高堤壩的防洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂CD加寬0.5米，背水坡AD的坡度改為1：1.4，已知堤壩的總長(zhǎng)度為5km，求完成該項(xiàng)工程所需的土方（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問(wèn)題）】【例9】（2021?東港區(qū)校級(jí)二模）應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題．（1）近年來(lái)，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時(shí)間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度；（2）如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離CD＝50m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，求居民樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是y＝60t?32t2．求在飛機(jī)著陸滑行中最后4【變式9-1】（2021?鹿邑縣二模）無(wú)影塔位于河南汝南城南，俗傳冬至正午無(wú)塔影，故稱無(wú)影塔；相傳為唐代和尚悟穎所建，故又稱“悟穎塔”，該塔應(yīng)建于北宋中、早期，為豫南地區(qū)現(xiàn)存最古老磚塔某數(shù)學(xué)小組為了度量塔高進(jìn)行了如下操作：用一架無(wú)人機(jī)在距離塔基（B）某處垂直起飛30米至點(diǎn)C處，測(cè)得塔基B處的俯角為75°，將無(wú)人機(jī)沿水平方向向右飛行8.6米至點(diǎn)D，在此處測(cè)得塔頂A的俯角為30°，請(qǐng)依據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算無(wú)影塔的高度．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈【變式9-2】（2021春?吳興區(qū)校級(jí)期中）第十一屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年9月8日至16日在鄭州舉行，據(jù)了解，該賽事每四年舉辦一屆，是我國(guó)規(guī)格最高、規(guī)模最大的綜合性民族體育盛會(huì)，其中，花炮、押加、民族式摔跤三個(gè)項(xiàng)目的比賽在鄭州大學(xué)主校區(qū)進(jìn)行．如圖，鐘樓是鄭州大學(xué)主校區(qū)標(biāo)志性建筑物之一，是鄭大的“第一高度”，寓意來(lái)自五湖四海的鄭大人的團(tuán)結(jié)和凝聚．小剛站在鐘樓前C處測(cè)得鐘樓頂A的仰角為53°，小強(qiáng)站在對(duì)面的教學(xué)樓三樓上的D處測(cè)得鐘樓頂A的仰角為45°，此時(shí)，兩人的水平距離EC為4m，已知教學(xué)樓三樓所在的高度為10m，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算鐘樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈3【變式9-3】（2021?河南）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道MP上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°．測(cè)角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈（2）“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6m．請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【考點(diǎn)10解直角三角形的應(yīng)用（方位角問(wèn)題）】【例10】（2021?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖，一艘輪船在A處測(cè)得燈塔C在北偏西15°的方向上，該輪船又從A處向正東方向行駛20