五年級數(shù)學上冊 第17講 計算綜合一（教師版）

第17講計算綜合一內容概述了解等比數(shù)列的基本概念，學會利用錯位相減的方法進行求和；靈活使用各種方法簡化較復雜的分散算式；具有一定綜合性的“定義新運算”問題；較復雜的數(shù)列與數(shù)表問題．典型問題興趣篇計算答案：511解析：設S=1+2+4+8+16+32+64+128+256則2S=2+4+8+16+32+64+128+256+512那么S=2S-S=512-1=511答案：1eq\f(255,256)解析：設S=則eq\f(1,2)S=eq\f(1,2)+eq\f(1,4)+eq\f(1,8)+eq\f(1,16)+eq\f(1,32)+eq\f(1,64)+eq\f(1,128)+eq\f(1,256)+eq\f(1,512)eq\f(1,2)S=S-eq\f(1,2)S=1-eq\f(1,512)=eq\f(511,512)所以S=2×eq\f(511,512)=1eq\f(255,256)2．計算答案：1092解析：設S=3+32+33+34+35+36則3S=32+33+34+35+36+372S=3S-S=37-3=2184所以S=2184÷2=10923．計算答案：eq\f(285,287)解析：分子化簡為1995×（1+10001+100010001）分母化簡為2009×（1+10001+100010001）分子分母同時約去1+10001+100010001原式=eq\f(1995,2009)=eq\f(285,287)4．計算答案：126解析：原式=（40+1eq\f(1,3)）×eq\f(3,4)+（50+2eq\f(1,2)）×eq\f(4,5)+（60+3eq\f(3,5)）×eq\f(5,6)=40×eq\f(3,4)+eq\f(4,3)×eq\f(3,4)+50×eq\f(4,5)+eq\f(5,2)×eq\f(4,5)+60×eq\f(5,6)+eq\f(18,5)×eq\f(5,6)=30+1+40+2+50+3=1265．計算答案：1703eq\f(3,4)解析：原式=（1+100）×100÷2-（3+99）×33÷2×2+（eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)）×33+eq\f(1,2)=5050-3366+19eq\f(1,4)+eq\f(1,2)=1703eq\f(3,4)6．規(guī)定新運算“*”為：a*b=3×a–2×b.（1）計算：（2）已知，求x（1）答案：1eq\f(3,10)解析：原式=eq\f(4,3)*(3×eq\f(5,4)-2×eq\f(6,5))=eq\f(4,3)*(eq\f(15,4)-eq\f(12,5))=eq\f(4,3)*eq\f(27,20)=3×eq\f(4,3)-2×eq\f(27,20)=1eq\f(3,10)（2）答案：1eq\f(3,10)解析：eq\f(4,3)*(x×eq\f(5,4))=eq\f(6,5)所以3×eq\f(4,3)-2×(x×eq\f(5,4))=eq\f(6,5)所以x*eq\f(5,4)=（3×eq\f(4,3)-eq\f(6,5)）÷2=eq\f(7,5)所以3×x-2×eq\f(5,4)=eq\f(7,5)所以x=（eq\f(7,5)+2×eq\f(5,4)）÷3=1eq\f(3,10)7．圖17-1中除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個數(shù)都是與它相連的上一行的兩個數(shù)的平均數(shù)，例如：2.75是2.5和3的平均數(shù)，請問：第100行中的各數(shù)之和是多少？答案：204解析：各行的和構成一個等差數(shù)列：6，8，10，12，14……第100個數(shù)為6+（100-1）×2=204，即第100行個數(shù)之和為2048．有這樣一列數(shù)，前兩個數(shù)分別是0和1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和：0，l，l，2，3，5，8，13，21，34，…，請問：這個數(shù)列的第1000個數(shù)除以8所得的余數(shù)是多少？答案：2解析：這一列數(shù)除以8的余數(shù)分別為：0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1……，每12個循環(huán)一次，1000÷12=83……4，所以這個數(shù)列的第1000個數(shù)除以8所得的余數(shù)是2。9．觀察下面的數(shù)陣：根據(jù)前五行數(shù)所表達的規(guī)律，求：(1)eq\f(33,67)這個數(shù)在由上至下的第幾行？在這一行中，它是由左向右的第幾個？(2)第28行第19個數(shù)是什么？（1）答案：第99行，第67個解析：通過觀察，每一行的分數(shù)，它的分子與分母的和與所在行數(shù)的差是1。例如：第1行的分數(shù)，分數(shù)的分子與分母的和為2；第2行的分數(shù)，每個分數(shù)的分子與分母的和為3；第3行的分數(shù)，每個分數(shù)的分子與分母的和為4；……所以，eq\f(33,67)應該在第33+67-1=99行，第99行的所有分數(shù)的分子從99開始倒序，分子33所在的位置應該是第99-33+1=67個。（2）答案：eq\f(10,19)解析：第28行的分數(shù)的分子從左到右是從28開始倒序的，第19個數(shù)的分子是28-19+1=10，在利用分子與分母的和等于行數(shù)加一，求得分母應該是28+1-10=19，所以第28行第19個分數(shù)是eq\f(10,19)。10．觀察數(shù)列求(1)數(shù)列中第150項；(2)數(shù)列中前300項的和．（1）答案：eq\f(6,13)解析：分子和分母都是有規(guī)律的，把這些分數(shù)按分母大小分組如下:(eq\f(1,1)),(eq\f(1,2),eq\f(2,2),eq\f(1,2)),(eq\f(1,3),eq\f(2,3),eq\f(3,3),eq\f(2,3),eq\f(1,3)),(eq\f(1,4),eq\f(2,4),eq\f(3,4),eq\f(4,4),eq\f(3,4),eq\f(2,4),eq\f(1,4))……第一組1項，第二組3項，第三組5項，……要求第150項是多少，就得知道第150項是第幾組第幾個數(shù)。由于1+3+5+……+21+23=122=144，所以150是在有25個數(shù)的那一組中的第150-144=6個數(shù)。而第13組有25個數(shù)，所以第150項是第13組第6個數(shù)，是eq\f(6,13)。（2）答案：156eq\f(2,3)解析：先確定第300項在哪一組：1+3+5+……+31+33=172=289,300-289=11，所以第300項是第18組的第11個數(shù)，即eq\f(11,18)。所以前300項的和為：1+2+3+4+……+16+17+eq\f(1,18)+eq\f(2,18)+……+eq\f(11,18)=156eq\f(2,3)拓展篇1．如圖17-2，有一個邊長為81厘米的等邊三角形，將它每條邊都三等分，以中間那一份為邊向外作等邊三角形，得到圖17-3.由圖17-3通過同樣方法又得到圖17-4.如果再由圖17-4通過同樣方法得到一個新的圖形，試問：這個新的圖形的周長是多少？答案：576厘米解析：通過觀察可知，每個圖形的周長比上一個圖形周長增加了原來的eq\f(1,3)，即是上一個圖形周長的eq\f(4,3)倍，所以第四幅圖形的周長應為：81×3×eq\f(4,3)×eq\f(4,3)×eq\f(4,3)=576（厘米）計算：答案：255解析：設S=1+2+22+23+24+25+26+27則2S=2+22+23+24+25+26+27+28那么S=2S-S=28-1=255答案：1eq\f(1093,2187)解析：設S=1+eq\f(1,3)+eq\f(1,32)+eq\f(1,33)+eq\f(1,34)+eq\f(1,35)+eq\f(1,36)+eq\f(1,37)則eq\f(1,3)S=eq\f(1,3)+eq\f(1,32)+eq\f(1,33)+eq\f(1,34)+eq\f(1,35)+eq\f(1,36)+eq\f(1,37)+eq\f(1,38)那么eq\f(2,3)S=1-eq\f(1,38)=eq\f(6560,6561)，S=eq\f(6560,6561)÷eq\f(2,3)=1eq\f(1093,2187)3．某工廠生產一種新型的乒乓球，第一天生產出了若干個，接下來每天的產量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生產整數(shù)個乒乓球，請問：第一周的總產量至少是多少？答案：2059個解析：設第一天生產a個乒乓球，那么第二天生產eq\f(3,2)a個，第三天生產eq\f(32,22)a個,……第七天生產eq\f(36,26)a個，a代表的個數(shù)至少和26相等，才能保證每天生產的乒乓球個數(shù)為整數(shù)。那么每天的生產量分別為：26=64個、64×eq\f(3,2)=96個、96×eq\f(3,2)=144個、144×eq\f(3,2)=216個、216×eq\f(3,2)=324個、324×eq\f(3,2)=486個、486×eq\f(3,2)=729個，總數(shù)為2059個。4．計算：答案：eq\f(1,4)解析：原式=eq\f(1×2×3+1×2×3×2×2×2+……+1×2×3×100×100×100,2×3×4+2×3×4×2×2×2+……+2×3×4×100×100×100)=eq\f(1×2×3×(1+2×2×2+……+100×100×100),2×3×4×(1+2×2×2+……+100×100×100))=eq\f(1,4)5．計算：答案：eq\f(79,87)解析：通過提取公因數(shù)，原式=eq\f(79,8)÷（eq\f(79,8)+eq\f(1999×1998+1,1998×1999+1)）=eq\f(79,8)÷（eq\f(79,8)+1）=eq\f(79,8)×eq\f(87,8)=eq\f(79,87)6．對于任意的兩個自然數(shù)a和b，規(guī)定新運算“”為：求x的值。答案：2解析：設x3=y，原式=y×（y+1）×（y+2）=15600=24×3×52×13=24×25×26則y=24，即x3=x×（x+1）×（x+2）=24=23×3=2×3×4，所以x=27．定義新運算aΩb為a與b之間(包含a、b)所有與a奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：7Ω14=(7+9+11+13)÷4=10，18Ω10=(18+16+14+12+10)÷5=14.(1)計算：10Ω19；(2)在算式口Ω(19Ω99)=80的方框中填入恰當?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，請問：所填的數(shù)是什么？（1）答案：14解析：10Ω19=（10+12+14+16+18）÷5=14（2）答案：100或101解析：7Ω14=(7+9+11+13)÷4=10，可以轉化成7Ω14=（7+13）÷2=10，18Ω10=(18+16+14+12+10)÷5=14，可以轉化成18Ω10=（18+10）÷2=14，即求a、b兩數(shù)之間最大和最小兩個奇（偶）數(shù)的平均值。由此如下解題：19Ω99=（19+99）÷2=59，假設“口”中填入的是x，當x為奇數(shù)時，xΩ59=(x+59)÷2=80，x=101；當x為偶數(shù)時，xΩ59=(x+60)÷2=80，x=1008．1至2008這2008個自然數(shù)的所有數(shù)字之和是多少？答案：28054解析：在一位數(shù)和兩位數(shù)的前面補0變成三位數(shù)，不會影響最終計算結果。首先考慮從0到999這1000個數(shù)（從0開始等于從1開始，也不影響最終結果），從000到999這1000個數(shù)總共3000個數(shù)字，0~9這10個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同，都各自出現(xiàn)了3000÷10=300次，所以數(shù)位和=（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）×300=13500，同理1000~1999的數(shù)字之和就是1000個1加上000~999的數(shù)字和，即1000+13500=14500，2000~2008的數(shù)字和為2×9+（1+2+3+4+5+6+7+8）=54，因此，11至2008這2008個自然數(shù)的所有數(shù)字之和為；13500+14500+54=28054。9．有一串數(shù)如下：1，2，4，7，11，16，…．它的規(guī)律是：由1開始，依次加1，加2，加3，…，逐個產生這串數(shù)，直到第50個數(shù)為止，求第50個數(shù)除以3的余數(shù)．答案：2解析：這一列數(shù)除以3的余數(shù)分別為：1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2……，從排列規(guī)律看，從第三項開始，每3個數(shù)一個循環(huán)。（50-2）÷3=16……0，所以第50個數(shù)除以3的余數(shù)應該是2。10．70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于與它相鄰的兩個數(shù)之和．這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，l，3，8，21，…．請問：這列數(shù)中除以6余l(xiāng)的數(shù)有多少個？答案：12個解析：這一列數(shù)除以6的余數(shù)分別為：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、2、3、1……，從排列規(guī)律看，每12個數(shù)一個循環(huán)，每個循環(huán)中2個余數(shù)為1，70÷12=5……10，所以這70個數(shù)除以6余1的共：2×5+2=12個。11．觀察數(shù)列的規(guī)律，問：(1)數(shù)列中第2008項是什么？(2)數(shù)列中前2008項的和是多少？（1）答案：eq\f(109,126)解析：分子和分母都是有規(guī)律的，把這些分數(shù)按分母大小分組如下:(eq\f(1,2)),(eq\f(1,4),eq\f(3,4)),(eq\f(1,6),eq\f(3,6),eq\f(5,6))……（eq\f(1,2008),eq\f(3,2008),eq\f(5,2008)……eq\f(2007,2008)）每組的分子都是奇數(shù)，分母是偶數(shù)，分數(shù)的個數(shù)等于分母的eq\f(1,2)。第一組2÷1=1項，第二組4÷2=2項，第三組6÷2=3項，……要求第2008項是多少，就得知道第2008項是第幾組第幾個數(shù)。由于1+2+3+4+……+62=1953，所以第2008是在有63個數(shù)的那一組中的第2008-1953=55個數(shù)。所以數(shù)列中第2008項分數(shù)的分母是63×2=126，分子是55×2-1=109，即為eq\f(109,126)。（2）答案：1000eq\f(32,63)解析：據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)，第一組所有分數(shù)的和是eq\f(1,2)，第二組所有分數(shù)的和是1，第三組所有分數(shù)的和是1eq\f(1,2)，……相鄰組內所有分數(shù)和成等差數(shù)列，公差是eq\f(1,2)。所以，數(shù)列中前2008項的和為：eq\f(1,2)+1+1eq\f(1,2)+2+2eq\f(1,2)+……+30eq\f(1,2)+31+（eq\f(1,126)+eq\f(3,126)+eq\f(5,126)+……+eq\f(107,126)+eq\f(109,126)ew\f()）=(eq\f(1,2)+31)×62×eq\f(1,2)+eq\f(1+3+5+……+107+109,126)=976eq\f(1,2)+24eq\f(1,126)=1000eq\f(32,63)12．將從1開始的自然數(shù)按照如圖17-5所示的規(guī)律排成數(shù)陣，數(shù)1000所在的行與列中分別有一個最小的數(shù)，求這兩個數(shù)的和．答案：1594解析：觀察數(shù)陣可知，每奇數(shù)列的第一個數(shù)字是這個奇數(shù)的平方，每偶數(shù)行的第一個數(shù)是這個偶數(shù)的平方。312=961,第32列的第一個數(shù)字是961+1=962，962+31=993，1000-963=7，所以1000在第32行的第32-7=25個位置，其所在行和列的最小數(shù)分別為：252+25+1=601、993，其和為601+993=1594。超越篇1．求所有分母為360的最簡真分數(shù)的和．答案：48解析：要求分母為360的最簡分數(shù)，就要排除非最簡分數(shù)。而非最簡分數(shù)的分子一定是360的約數(shù)或者是360的約數(shù)的倍數(shù)，這樣的數(shù)一共有：eq\f(360,2)+eq\f(360,3)+eq\f(360,5)+eq\f(360,2×3)+eq\f(360,2×5)+eq\f(360,3×5)+eq\f(360,2×3×5)=264個，最簡分數(shù)有360-264=96個，每2個的和是1，所以總和為96÷2=482．有一種運算“*”，滿足以下條件：①2*3=5；②a*b=b*a；③a*（b+c）=a*b+a*c．（這里的“+”是通常的加號）請計算：8*9．答案：60解析：8*9=8*（3+6）=8*3+8*6=8*3+8*（3+3）=8*3+8*3+8*3=3×（8*3）=3×[(2+2+2+2)*3]=3×[4×（2*3）]=3×4×5=603．下面的數(shù)列是按某種規(guī)律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…試問：(1)其中第300個數(shù)被6除余幾？(2)如果數(shù)列按第n組含有n個數(shù)的規(guī)律分組，成為：(1)，(3，4)，(7，11，18)，…，那么第300組內各數(shù)之和除以6的余數(shù)是多少？(1)答案：4解析：用數(shù)列的每個數(shù)去除6，找到余數(shù)的排列規(guī)律如下：1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2，1,3,4,1,5,0,5,5,4……，循環(huán)周期為24，300÷24=12……12，即循環(huán)12個整周期后，下一周期的第12個數(shù)即為答案。(2)答案：4解析：根據(jù)和的余數(shù)等于余數(shù)的和，找到每組數(shù)之和除以6的余數(shù)分別為：1,1,0,5,3,4,1,3,2,5,3,4,3,5,2,3,1,4,3,5,0,1,1,0,1,1,0,5,3,4,……通過排列規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每24個數(shù)一個循環(huán)周期，300÷24=12……12，即循環(huán)12個整周期后，下一周期的第12個數(shù)即為答案。4．如圖17-6所示的三角形數(shù)陣中，從第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相鄰兩數(shù)之間填入它們的和，請問：第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是多少？答案：3解析：我們發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列每一行的第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字都是1，我們先來找一下每一行各數(shù)之和的規(guī)律，假設某一行所含的數(shù)為：1、a、b、c、d、e、1，假設和為m。那么下一行所包含的數(shù)為：1、1+a、a、a+b、b、b+c、c、c+d、d、d+e、e、e+1、1，除1之外，每個字母都出現(xiàn)了三次，所以這行數(shù)的和n=3m-2，即數(shù)列中每一行的和是上一行和的3倍減去2。由此規(guī)律算出每行的和之后，每行的和除以7所得的余數(shù)規(guī)律如下：2、4、3、0、5、6、2、4、3、0、5、6、2……每4個數(shù)一個循環(huán)周期，999÷6=166……3，所以第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是3。5．有一個圓，第一次用一條直徑將圓周分成兩個半圓周，在每個分點上標上1；第二次，再將兩個半圓周分別分成兩個圓周，在新產生的分點上標上相鄰兩數(shù)之和的；第三次，再將四個圓周分別分成兩個圓周，在新產生的分點上標上相鄰兩數(shù)之和的；第四次，再將八個圓周分別分成兩個圓周，在新產生的分點上標上相鄰兩數(shù)之和的……如此進行了100次．請問：最后圓周上的所有數(shù)之和是多少？答案：3434解析：第一次的和為：2第二次的和為：2×（1+eq\f(1,2)×2）=4第三次的和為：4×（1+eq\f(1,3)×2）=6eq\f(2,3)第四次的和為：6eq\f(2,3)×（1+eq\f(1,4)×2）=10……第100次的和為：2×（1+eq\f(1,2)×2）×（1+eq\f(1,3)×2）eq\f(2,3)×（1+eq\f(1,4)×2）×……×（1+eq\f(1,100)×2）=2×eq\f(4,2)×eq\f(5,3)×eq\f(6,4)×eq\f(7,5)×……×eq\f(101,99)×eq\f(102,100)=34346．將非零自然數(shù)按照圖17-7中的規(guī)律不斷寫出，發(fā)現(xiàn)有些數(shù)被寫出多次，還有些數(shù)永遠不會出現(xiàn)，請問：（1）99在數(shù)表中共出現(xiàn)過幾次？（2）最后