卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)及應(yīng)用研究

第3章無(wú)際卡爾曼濾波器（UKF）的研究3.1無(wú)際卡爾曼濾波器（UKF）原理和EKF一樣，UKF也是一種遞歸式貝葉斯估計(jì)方法，它利用UT變換(UnscentedTransform)方法，用一組確定的取樣點(diǎn)來(lái)近似后驗(yàn)概率。但是UKF不必線性化非線性狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，它直接利用非線性狀態(tài)方程來(lái)估算狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)（pdf）。UKF規(guī)定一組確定的取樣點(diǎn)，當(dāng)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)是高斯型的，利用這組取樣點(diǎn)能獲取高斯密度函數(shù)的均值和協(xié)方差。當(dāng)高斯型狀態(tài)向量經(jīng)由非線性系統(tǒng)進(jìn)行傳遞時(shí)，對(duì)任何一種非線性系統(tǒng)，利用這組取樣點(diǎn)能獲取精確到三階矩的后驗(yàn)均值和協(xié)方差。3.1.1非線性狀態(tài)估計(jì)原理1.非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)一般描述狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為：（3.1）（3.2）式中，為狀態(tài)量，為觀測(cè)量，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)噪聲，且，為觀測(cè)噪聲，且，和相互獨(dú)立且與系統(tǒng)狀態(tài)x無(wú)關(guān)。不管條件密度函數(shù)的特征如何，最小均方估計(jì)就是條件均值。非線性狀態(tài)濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)包括一步預(yù)測(cè)與測(cè)量修正兩個(gè)階段。預(yù)測(cè)階段：根據(jù)所有過(guò)去時(shí)刻的測(cè)量信息對(duì)狀態(tài)作最小方差估計(jì)（3.3）狀態(tài)估計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣利用預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣描述（3.4）修正階段：獲得當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量信息后，對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)估值進(jìn)行修正，得到狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)值（3.5）其中，、分別為估計(jì)值和觀測(cè)值的最優(yōu)預(yù)測(cè)，為濾波增益，反映了新息對(duì)估計(jì)的重要程度。（3.6）（3.7）（3.8）（3.9）描述最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)值優(yōu)劣的誤差協(xié)方差陣確定如下：（3.10）3.1.2無(wú)際變換的基本原理UT變換的主要思想是“近似概率分布比近似非線性函數(shù)更容易”，它采用確定的點(diǎn)集S（又稱(chēng)為Sigma點(diǎn)）來(lái)表征輸入分布（或部分統(tǒng)計(jì)特征），然后對(duì)每個(gè)Sigma點(diǎn)分別進(jìn)行非線性變換，通過(guò)加權(quán)計(jì)算捕捉到變換后的統(tǒng)計(jì)特性。這種方法把系統(tǒng)當(dāng)作“黑盒”來(lái)處理，因而不依賴(lài)于具體的非線性，也不必計(jì)算雅可比矩陣。UT算法的關(guān)鍵是Sigma點(diǎn)采樣策略，也就是Sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置以及相應(yīng)權(quán)值的確定方法，保證在抓住輸入變量x的分布特征的同時(shí)，使得逼近輸出某些性能指標(biāo)的代價(jià)函數(shù)達(dá)到最小。Unscented變換過(guò)程需要以下幾步：第一步，構(gòu)造Sigma點(diǎn)根據(jù)隨機(jī)向量x的統(tǒng)計(jì)量和，采用對(duì)稱(chēng)采樣策略，產(chǎn)生2n+1個(gè)列向量Sigma點(diǎn)集：（3.11）其中，n為輸入狀態(tài)的維數(shù)，k為尺度參數(shù)，，調(diào)整它可以提高逼近精度。為第二個(gè)尺度參數(shù)，通常設(shè)置為0或。用這組采樣點(diǎn)可以近似表示狀態(tài)x的高斯分布。第二步，對(duì)Sigma點(diǎn)進(jìn)行非線性變換對(duì)所構(gòu)造的點(diǎn)集{}進(jìn)行非線性變換，得到變換后的Sigma點(diǎn)集(3.12)變換后的Sigma點(diǎn)集即可近似地表示的分布。第三步，計(jì)算y的均值和方差對(duì)變換后的Sigma點(diǎn)集進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到輸出量y的均值和方差(3.13)(3.14)和分別為計(jì)算y的均值和方差所用加權(quán)(3.15)(3.16)(3.17)在均值和方差加權(quán)中需要確定、和共3和參數(shù)，它們的取值范圍分別為：確定周?chē)鶶igma點(diǎn)的分布程度，通常設(shè)為一個(gè)較小的正數(shù)為狀態(tài)分布參數(shù)，對(duì)于高斯分布是最優(yōu)的，如果狀態(tài)變量是單變量，則最佳的選擇是。適當(dāng)調(diào)節(jié)、可以提高估計(jì)均值的精度；調(diào)節(jié)可以提高方差精度。無(wú)際變換的特點(diǎn)：(1)對(duì)非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，而不是對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行近似，即使系統(tǒng)的模型復(fù)雜，也不增加算法實(shí)現(xiàn)的難度;(2)所得到的非線性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確性可以達(dá)到三階（泰勒展開(kāi)）;(3)不需要計(jì)算Jacobi矩陣，可以處理不可導(dǎo)非線性函數(shù)。結(jié)論本文研究了經(jīng)典的卡爾曼濾波器和基于Unscented變換的卡爾曼濾波器，重點(diǎn)討論了卡爾曼濾波器的基本原理和算法。在線性和非線性系統(tǒng)中分別對(duì)經(jīng)典卡爾曼濾波和無(wú)際卡爾曼濾波進(jìn)行仿真，證明了卡爾曼濾波器在預(yù)測(cè)估計(jì)中的有效性。在卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)中，引入U(xiǎn)nscented變換，將輸入矢量的統(tǒng)計(jì)特性通過(guò)非線性系統(tǒng)傳播，較好克服了傳統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波器在通過(guò)非線性系統(tǒng)時(shí)，由線性化引起的較大截?cái)嗾`差，并且無(wú)需求解雅可比矩陣。通過(guò)在故障檢測(cè)中的預(yù)測(cè)分析后，證明了Unscented卡爾曼濾波器具有良好的性能。總之，我們可以樂(lè)觀地預(yù)測(cè)，在未來(lái)的發(fā)展中，基于UKF濾波算法的應(yīng)用將在非線性預(yù)測(cè)和估計(jì)領(lǐng)域大有作為。

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