新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 8.4《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系》教案 (原卷版)

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.(2)兩種研究方法：①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up11(聯(lián)立方程組消去x（y）),\s\do4(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))②eq\x(幾何法)eq\o(→,\s\up11(圓心到直線的距離為d),\s\do4(半徑為r))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交，弦長(zhǎng)l＝2\r(r2－d2),d＝r?相切,d＞r?相離))2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x﹣a1)2＋(y﹣b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x﹣a2)2＋(y﹣b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1﹣r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1﹣r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1﹣r2|(r1≠r2)無解eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1.當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程.2.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)(y﹣b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.()(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()二、教材改編1.若直線x﹣y＋1＝0與圓(x﹣a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[﹣3，﹣1] B.[﹣1，3]C.[﹣3，1] D.(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞)2.圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝9的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離3.圓Q：x2＋y2﹣4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為________.4.圓x2＋y2﹣4＝0與圓x2＋y2﹣4x＋4y﹣12＝0的公共弦長(zhǎng)為________.考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交，上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.(1)直線l：mx﹣y＋1﹣m＝0與圓C：x2＋(y﹣1)2＝5的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.不確定(2)若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2﹣2x﹣2y＋1＝0相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(﹣∞，＋∞) B.(﹣∞，0)C.(0，＋∞) D.(﹣∞，0)∪(0，＋∞)(3)圓(x﹣3)2＋(y﹣3)2＝9上到直線3x＋4y﹣11＝0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4(1)已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍，就是利用d＝r，d>r或d<r建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式求解；(2)圓上的點(diǎn)到直線距離為定值的動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問題多借助數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.1.已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交C.相離 D.不確定2.若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝eq\r(1－x2)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________.考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系幾何法判斷圓與圓的位置步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng).(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1﹣r2|的值.(3)比較d，r1＋r2，|r1﹣r2|的大小，寫出結(jié)論.已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).求兩圓公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解.1.已知圓M：x2＋y2﹣2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離2.若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2﹣6x﹣8y＋m＝0外切，則m＝()A.21 B.19C.9 D.﹣11考點(diǎn)3直線、圓的綜合問題切線問題過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y﹣y0＝k(x﹣x0)，即kx﹣y＋y0﹣kx0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程；當(dāng)斜率不存在時(shí)，要加以驗(yàn)證.已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1，2﹣eq\r(2))，點(diǎn)M(3，1)，圓C：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng).(1)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題；(2)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.由直線y＝x＋1上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C：(x﹣3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A.1 B.2eq\r(2)C.eq\r(7) D.3弦長(zhǎng)問題弦長(zhǎng)的2種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).(1)設(shè)圓x2＋y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的圓心為C，直線l過(0，3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A.3x＋4y﹣12＝0或4x﹣3y＋9＝0B.3x＋4y﹣12＝0或x＝0C.4x﹣3y＋9＝0或x＝0D.3x﹣4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y﹣3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.求圓的弦長(zhǎng)問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為﹣1列方程來簡(jiǎn)化運(yùn)算.提醒：對(duì)于已知弦長(zhǎng)求直線方程的問題，常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤，如本例(1).已知在圓x2＋y2﹣4x＋2y＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(1，0)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A.3eq\r(5) B.6eq\r(5)C.4eq\r(15) D.2eq\r(15)直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題的求解策略(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決.(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用.已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.本例是探索性問題，求解的關(guān)鍵是把幾何問題代數(shù)化，即先把條件“x軸平分∠ANB”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“直線斜率的關(guān)系：kAN＝﹣kBN”，然后借助方程思想求解.[備選例題]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2﹣12x﹣14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程.已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝1交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1.圓x2＋y2﹣2x＋4y＝0與直線2tx﹣y﹣2﹣2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為()A.相離 B.相切C.相交 D.以上都有可能2.過點(diǎn)P(0，1)的直線l與圓(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝eq\r(2)，則該直線的斜率為()A.±1 B.±eq\r(2)C.±eq\r(3) D.±23.過點(diǎn)(3，1)作圓(x﹣1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A.2x＋y﹣5＝0 B.2x＋y﹣7＝0C.x﹣2y﹣5＝0 D.x﹣2y﹣7＝04.圓x2﹣4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有()A.1條 B.2條C.3條 D.4條5.過點(diǎn)P(1，﹣2)作圓C：(x﹣1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A.y＝﹣eq\f(\r(3),4) B.y＝﹣eq\f(1,2)C.y＝﹣eq\f(\r(3),2) D.y＝﹣eq\f(1,4)二、填空題6.已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x﹣y＋3＝0與圓相切與點(diǎn)A(﹣2，﹣1)，則m＝__________，r＝__________.7.已知直線l：kx﹣y﹣k＋2＝0與圓C：x2＋y2﹣2y﹣7＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為________.8.已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2﹣6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心.若△ABC為等邊三角形，則a的值為________.三、解答題9.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，﹣1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝﹣2x上.(1)求圓C的方程；(2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.10.圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2，1).(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；(2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(2)，求圓O2的方程.1.若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線x﹣y﹣2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()A.(eq\r(2)＋1，＋∞) B.(eq\r(2)﹣1，eq\r(2)＋1)C.(0，eq\r(2)﹣1) D.(0，eq\r(2)＋1)2.一條光線從點(diǎn)(﹣2，﹣3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y﹣2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.﹣eq\f(5,3)或﹣eq\f(3,5) B.﹣eq\f(3,2)或﹣eq\f(2,3)C.﹣eq\f(5,4)或﹣eq\f(4,5) D.﹣eq\f(4,3)或﹣eq\f(3,4)3.已知直線l：mx＋y＋3m﹣eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn).若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.4.已知圓C經(jīng)過P(4，﹣2)，Q(﹣1，3)兩點(diǎn)，且圓心C在直線x＋y﹣1＝0上.(1)求圓C的方程；(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l