概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)匯報(bào)人：AA2024-01-19概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析回歸分析初步目錄01概率論基本概念隨機(jī)事件在一定條件下并不總是發(fā)生，而且人們事先不能確知其是否發(fā)生的事件。概率表示隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值。概率的性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。隨機(jī)事件與概率幾何概型如果樣本空間是一個(gè)區(qū)域，且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性只與該區(qū)域的面積、體積等幾何量有關(guān)，則稱這種試驗(yàn)為幾何概型。古典概型與幾何概型的區(qū)別主要在于樣本空間和樣本點(diǎn)的等可能性不同。古典概型如果每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，則稱這種試驗(yàn)為古典概型。古典概型與幾何概型條件概率在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，記作P(B|A)。獨(dú)立性如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)。條件概率與獨(dú)立性03020102一維隨機(jī)變量及其分布定義取值可數(shù)的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。常見離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。分布律描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，常用分布列表示。離散型隨機(jī)變量及分布律取值充滿某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。定義描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個(gè)點(diǎn)的“概率強(qiáng)度”，具有非負(fù)性和規(guī)范性。概率密度正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度定義：隨機(jī)變量的函數(shù)是指將隨機(jī)變量的取值通過(guò)某種函數(shù)關(guān)系進(jìn)行變換后得到的新的隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布：通過(guò)分布律的變換求得。連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布：通過(guò)概率密度的變換和積分求得，需注意變換后的取值范圍和概率密度的規(guī)范性。010203隨機(jī)變量的函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量的定義設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱$(X,Y)$為二維隨機(jī)變量。聯(lián)合分布函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負(fù)函數(shù)$f(x,y)$，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。010203二維隨機(jī)變量及聯(lián)合分布第二季度第一季度第四季度第三季度邊緣分布函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)條件分布函數(shù)條件概率密度函數(shù)邊緣分布與條件分布二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=P{Xleqx}$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=P{Yleqy}$。如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。設(shè)$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，關(guān)于$Y=y$的條件分布函數(shù)定義為$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$，關(guān)于$X=x$的條件分布函數(shù)定義為$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則關(guān)于$Y=y$的條件概率密度函數(shù)為$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，關(guān)于$X=x$的條件概率密度函數(shù)為$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。隨機(jī)變量的獨(dú)立性如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱隨機(jī)變量$X$與$Y$相互獨(dú)立。判斷獨(dú)立性的方法通?？梢酝ㄟ^(guò)判斷聯(lián)合分布函數(shù)是否等于邊緣分布函數(shù)的乘積來(lái)判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否獨(dú)立。如果等于，則獨(dú)立；如果不等于，則不獨(dú)立。獨(dú)立性的性質(zhì)如果兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則它們的任意函數(shù)也相互獨(dú)立。此外，如果一組隨機(jī)變量?jī)蓛瑟?dú)立，則它們的任意部分也兩兩獨(dú)立。兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)分布函數(shù)來(lái)描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。常見抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布03評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性、有效性、一致性等。01點(diǎn)估計(jì)用一個(gè)具體的數(shù)值來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計(jì)總體均值。02區(qū)間估計(jì)用一個(gè)區(qū)間來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法，該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。參數(shù)估計(jì)方法05假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析原假設(shè)通常是研究者想要推翻的假設(shè)，而備擇假設(shè)則是研究者希望證實(shí)的假設(shè)。原假設(shè)與備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的用于判斷原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)量，而拒絕域則是當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在某個(gè)特定范圍內(nèi)時(shí)，我們拒絕原假設(shè)的區(qū)域。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域顯著性水平是事先設(shè)定的用于判斷原假設(shè)是否成立的標(biāo)準(zhǔn)，而P值則是在原假設(shè)下觀察到當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率。顯著性水平與P值假設(shè)檢驗(yàn)基本原理用于比較樣本均值與已知總體均值是否有顯著差異。單樣本t檢驗(yàn)用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本均值是否有顯著差異，包括等方差和異方差兩種情況。雙樣本t檢驗(yàn)用于比較同一組受試者在兩個(gè)不同條件下的差異，例如前后測(cè)量或?qū)φ諏?shí)驗(yàn)。配對(duì)樣本t檢驗(yàn)單樣本和雙樣本t檢驗(yàn)方差分析的目的01用于研究不同因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響程度，以及各因素之間的交互作用。方差分析的基本思想02將總變異分解為各因素引起的變異和隨機(jī)誤差引起的變異，通過(guò)比較各因素引起的變異與隨機(jī)誤差的大小來(lái)判斷因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。方差分析的步驟03包括建立假設(shè)、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算P值并作出決策等步驟。方差分析簡(jiǎn)介06回歸分析初步根據(jù)研究目的，明確自變量（解釋變量）和因變量（被解釋變量）。確定自變量和因變量通過(guò)繪制自變量和因變量的散點(diǎn)圖，觀察兩者之間的線性關(guān)系。繪制散點(diǎn)圖設(shè)定一元線性回歸模型的形式為y=ax+b，其中a為斜率，b為截距。建立回歸模型利用最小二乘法等方法，估計(jì)出模型參數(shù)a和b的值。估計(jì)模型參數(shù)一元線性回歸模型建立提出假設(shè)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定顯著性水平作出決策回歸方程顯著性檢驗(yàn)設(shè)定原假設(shè)H0為回歸系數(shù)a=0，即自變量對(duì)因變量無(wú)影響。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量或t統(tǒng)計(jì)量。設(shè)定顯著性水平α，通常取0.05或0.01。將計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值進(jìn)行比較，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量