基于混沌理論的太陽黑子時(shí)間序列預(yù)測(cè)

基于混沌理論的太陽黑子時(shí)間序列預(yù)測(cè)摘要研究基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)方法在太陽黑子時(shí)間序列預(yù)測(cè)中的應(yīng)用,并在原方法中運(yùn)用Wolf算法的思想對(duì)原方法進(jìn)行了改進(jìn).預(yù)測(cè)結(jié)果表明改進(jìn)后的方法比原方法和用回歸模型預(yù)測(cè)的方法有更高的精度。關(guān)鍵詞最大Lyapunov指數(shù),Wolf算法,太陽黑子數(shù),混沌PredictingontheTimeSeriesofSunspotNumberBasedonChaosTheoryAbstractResearchedtheapplicationofthepredictingmethodbasedonlargestLyapunovexponentinpredicatingonthetimeseriesofsunspotnumber.AndaccordingtotheideaofWolfalgorithmimprovedontheoriginalmethod.Thepredictiveresultsprovethattheimprovemethodismoreaccuratethantheoriginalmethodandthemethodbasedonrecurrentmodel.KeyWordsLargestLyapunovexponent;Wolfalgorithm;sunspotnumber;chaos

引言太陽黑子的活動(dòng)直接影響著地球氣候的變化，在最多太陽黑子的時(shí)候，太陽溫度會(huì)上升，太陽的火焰和磁場(chǎng)會(huì)十分活躍，直接影響地球的天氣及通訊系統(tǒng)，也可能損害地球上空的人造衛(wèi)星。因此，準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)未來時(shí)刻的太陽黑子數(shù)有著十分重大的意義。由于太陽黑子數(shù)變化的高度復(fù)雜性（圖1），使得人們通過建模的方法描述其變化規(guī)律的嘗試遇到了巨大的困難。隨著混沌科學(xué)的發(fā)展，使得可以不必事先建立主觀模型，而直接根據(jù)數(shù)據(jù)序列本身所計(jì)算出來的客觀規(guī)律（如Lyapunov指數(shù)等）進(jìn)行預(yù)測(cè)，這樣可以避免人為主觀性，提高預(yù)測(cè)的精度和可信度。2基于混沌理論的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法2.1問題的提出文獻(xiàn)［2］已經(jīng)證明太陽黑子數(shù)是一個(gè)低維的混沌系統(tǒng)。由于太陽黑子月均值具有變化強(qiáng)烈而又缺乏規(guī)則性的特點(diǎn)，可以采用文獻(xiàn)［1］中混沌時(shí)間序列基于最在Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)方法。對(duì)基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)方法的一點(diǎn)改進(jìn)混沌系統(tǒng)由相空間中的不規(guī)則軌道奇怪吸引子來描述，奇怪吸引子的明顯特征是吸引子的鄰近點(diǎn)指數(shù)離析，而鄰近點(diǎn)的指數(shù)離析意味著初始狀態(tài)完全確定的系統(tǒng)，在長(zhǎng)時(shí)間情況下會(huì)不可避免的發(fā)生變化，這種行為反映了系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴性[3]。Lyapunov指數(shù)是相空間中相近軌道的平均收斂性或平均發(fā)散性的一種度量。所以Lyapunov指數(shù)恰可定量表示奇怪吸引子的這種運(yùn)動(dòng)性態(tài)。Lyapunov指數(shù)的正負(fù)性用來判定系統(tǒng)是否混沌，正的Lyapunov指數(shù)的大小表征相空間中相近軌道的平均發(fā)散的指數(shù)率。在基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)方法中，正是應(yīng)用了Lyapunov指數(shù)的這種性質(zhì)。然而在基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)方法中，在尋找中心點(diǎn)的鄰近點(diǎn)時(shí)，只考慮了其與中心點(diǎn)的距離。但與中心點(diǎn)距離最近的點(diǎn)并不能保證其一定在中心點(diǎn)所在軌道的相近軌道上，從而使得預(yù)測(cè)點(diǎn)并不與中心點(diǎn)以最大Lyapunov指數(shù)率離析，從而產(chǎn)生預(yù)測(cè)誤差。Wolf[[4]等人在計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)時(shí)，為了確定當(dāng)前點(diǎn)（在預(yù)測(cè)時(shí)即為中心點(diǎn)）的演化點(diǎn)（在預(yù)測(cè)時(shí)即為預(yù)測(cè)值）在限定距離的同時(shí)還限定其與當(dāng)前點(diǎn)之間的夾角，從而保證了演化點(diǎn)一定在當(dāng)前點(diǎn)鄰近的軌道上。在應(yīng)用Lyapunov指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)候，為了保證預(yù)測(cè)點(diǎn)在中心點(diǎn)的鄰近軌道上也應(yīng)該采用限制夾角的方法。改進(jìn)后的基于Lyapunov指數(shù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法首先根據(jù)G-P(Grassberger-Procaccia)算法計(jì)算出關(guān)聯(lián)維，確定嵌入維數(shù)，計(jì)算時(shí)間序列的平均峰值時(shí)間（mtbp）作為時(shí)間窗，根據(jù)公式，確定時(shí)間延遲。對(duì)于給定的時(shí)間序列重構(gòu)維相空間表示為：，，根據(jù)文獻(xiàn)［5］的算法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。以為預(yù)報(bào)的中心點(diǎn)，相空間中的鄰近點(diǎn)的確定方法為：設(shè)在用Wolf算法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)時(shí)所計(jì)算的最后一個(gè)點(diǎn)的近似相點(diǎn)為，與的距離為，時(shí)間演化一步，演化為，演化為，演化為。再按以下兩原則尋找的鄰近點(diǎn)：它與演化后的基準(zhǔn)點(diǎn)的距離很小，且與的夾角很小。距離為，即：則有：其中點(diǎn)只有最后一個(gè)分量未知，故可由上式計(jì)算出，即是可預(yù)報(bào)的。距離和夾角的確定設(shè)相空間兩點(diǎn)間距離的平均值為距點(diǎn)最近距離（非零）為，其中表示歐氏模。則記平均距離和最近距離之差為:記搜索范圍下界為:記搜索范圍下界為:其中為限制分離系數(shù),一般取3%～10%，n為放大系統(tǒng)，取。對(duì)于，按下列方法確定：若滿足的點(diǎn)數(shù)至少為2，記為。否則，放大搜索范圍，令；注：在搜索過程中，為了限制局部分離，搜索范圍應(yīng)滿足：，其中時(shí)間序列的平均周期。若向量與的夾角均小于45○，則取最大者對(duì)應(yīng)的，記為，其中否則，令。重復(fù)以上步驟確定，則：。結(jié)果取1749年１月～2002年12月的太陽黑子數(shù)構(gòu)成時(shí)間序列，，。計(jì)算時(shí)間序列的平均峰值時(shí)間為：mtbp=155。由文獻(xiàn)［6］可取時(shí)間延遲，這樣由公式計(jì)算得嵌入維數(shù)m=6，與文獻(xiàn)［2］根據(jù)G－P算法求得的最佳嵌入維數(shù)一致。根據(jù)文獻(xiàn)［5］的算法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)為＝0.1648。用2.3節(jié)改進(jìn)后的基于Lyapunov指數(shù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法對(duì)2003年1月～10月太陽黑子數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。表12003.01~2003.10太陽黑子數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果月份2003.012003.022003.032003.042003.052003.062003.072003.082003.092003.10實(shí)際值79.746.061.160.054.677.485.072.748.865.6預(yù)測(cè)值79.345.560.961.354.778.186.970.143.160.5誤差(%)0.501.090.332.170.180.132.243.5811.687.77圖1太陽黑子月均值時(shí)間序列圖2太陽黑子時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果由表1和圖2可見，前七個(gè)月的誤差都在3％以內(nèi)，精度很高，并且預(yù)測(cè)的效果明顯好于文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［7］。同時(shí)可以看出，由于混沌系統(tǒng)的耗散性和對(duì)初值的極端敏感性，在短期內(nèi)預(yù)測(cè)精度很高，但長(zhǎng)時(shí)間預(yù)測(cè)誤差急劇增大，說明混沌動(dòng)力系統(tǒng)只能作短期預(yù)測(cè)，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)［2］中的結(jié)論一致。

參考文獻(xiàn)1呂金虎陸君安陳士華.《混沌時(shí)間序列分析及應(yīng)用》.武漢.武漢大學(xué)出版社.2002.106~108.2顧圣士王志謙程極泰.太陽黑子時(shí)間序列的分形研究及預(yù)測(cè).應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，第20卷第1期，1999年1月3王興元.《復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌》.北京.電子工業(yè)出版社.2003.32~33.4A.Wolf.j.B.Swift,H.L..SwinneyandJ.A.Vastano.DetermingLyapunovexponentsfromatimeseries,Physica16D.1985.285~317.5楊紹清章新華趙長(zhǎng)安。一種最大李雅普諾夫指數(shù)估計(jì)的穩(wěn)健算法。物理學(xué)報(bào)。第49卷第4期，2000年4月6TongHa