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文檔簡介
基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式應用問題知識結構
分類計數(shù)原理,分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理原理
完成一件事可以有n類辦法,在第一類中有m1種不同的方法,在第二類中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共N=m1+m2+……+mn種不同的方法。
完成一件事需要分成n個步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,……,第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共N=m1×m2×……×mn種不同的方法。區(qū)別分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可完成這件事。分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各步方法相互依存,只有各步都完成才能完成這件事。
例、書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?N=4+3+2=9N=4×3×2=24(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?例由數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個三位數(shù)?(各位上的數(shù)字可以重復)解:第一步:選百位上的數(shù)字,有4種;第二步:選十位上的數(shù)字,有5種;第三步:選個位上的數(shù)字,有5種;所以共有4×5×5=100個。練習:有8名考生,報考5所院校,每人限報一所,不同的報法有58填空題1.由數(shù)字2,3,4,5可組成________個三位數(shù),_________個四位數(shù),________個五位數(shù).2.用1,2,3…,9九個數(shù)字,可組成__________個四位數(shù),_________個六位數(shù).3.商店里有15種上衣,18種褲子,某人要買一件上衣或一條褲子,共有___種不同的選法.要買上衣、褲子各一件,共有_________種不同的選法.33;270①什么叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列?從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).用符號表示②什么叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)?③排列數(shù)的兩個公式是什么?(n,m∈N*,m≤n)125組合定義:一般地說,從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。組合數(shù)公式:組合數(shù)的兩個性質:(1)(2)(1)x=7或x=9(2)n=8排列組合定義從n個不同元素中,任取m(m≤n)個不同元素按照一定順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的一個排列。從n個不同的元素中,任取m(m≤n)個不同的元素并成一組,叫做從n個不同的元素中取出m個不同的元素的一個組合。區(qū)別與順序有關與順序無關判定
看取出的兩個元素互換位置是否為同一種方法,若不是,則是排列問題;若是,則是組合。公式排列與組合例1:(1)7位同學站成一排,共有多少種不同的排法?分析:問題可以看作7個元素的全排列.(2)7位同學站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法?分析:根據(jù)分步計數(shù)原理(3)7位同學站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法?分析:可看作甲固定,其余全排列(4)7位同學站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種?解:將問題分步第一步:甲乙站兩端有種第二步:其余5名同學全排列有種答:共有2400種不同的排列方法。(5)7位同學站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種?解法一:(特殊位置法)第一步:從其余5位同學中找2人站排頭和排尾,有種;第二步:剩下的全排列,有種;答:共有2400種不同的排列方法。解法二:(排除法)先全排列有種,其中甲或乙站排頭有種,甲或乙站排尾的有種,甲乙分別站在排頭和排尾的有種.答:共有2400種不同的排列方法。(5)7位同學站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種?了解!練習:由0,1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的數(shù):(1)四位數(shù)有多少個?(2)四位奇數(shù)有多少個?(3)四位偶數(shù)有多少個?(4)能被5整除的四位數(shù)有多少個?(5)比2400大的四位數(shù)有多少個?練習:從8名男生,2名女生中,任選三名開會(1)共有多少種不同的選法;(2)恰有1名女生的選法多少種;(3)至少有1名女生的選法多少種;(4)最多有1名女生的選法多少種?捆綁法:對于相鄰問題,常常先將要相鄰的元素捆綁在一起,視作為一個元素,與其余元素全排列,再松綁后它們之間進行全排列.這種方法就是捆綁法.例3:七個家庭一起外出旅游,若其中四家是一個男孩,三家是一個女孩,現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。若三個女孩要站在一起,有多少種不同的排法?解:將三個女孩看作一人與四個男孩排隊,有
種排法,而三個女孩之間有種排法,所以不同的排法共有:(種)。捆綁法若三個女孩要站在一起,四個男孩也要站在一起,有多少種不同的排法?不同的排法有:(種)說一說捆綁法一般適用于問題的處理。相鄰例4:七個家庭一起外出旅游,若其中四家是一個男孩,三家是一個女孩,現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。插空法:對于不相鄰問題,先將其余元素全排列,再將這些不相鄰的元素插入空擋中,這種方法就是插空法.若三個女孩互不相鄰,有多少種不同的排法?解:先把四個男孩排成一排有種排法,在每一排列中有五個空檔(包括兩端),再把三個女孩插入空檔中有種方法,所以共有:(種)排法。插空法例5:七個家庭一起外出旅游,若其中四家是一個男孩,三家是一個女孩,現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。男生、女生相間排列,有多少種不同的排法?解:先把四個男孩排成一排有種排法,在每一排列中有五個空檔(包括兩端),再把三個女孩插入空檔中有種方法,所以共有:(種)排法。插空法例6:七個家庭一起外出旅游,若其中四家是一個男孩,三家是一個女孩,現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。甲、乙兩人的兩邊必須有其他人,有多少種不同的排法?解:先把其余五人排成一排有種排法,在每一排列中有四個空檔(不包括兩端),再把甲、乙插入空檔中有種方法,所以共有:(種)排法。插空法例7:七個家庭一起外出旅游,若其中四家是一個男孩,三家是一個女孩,現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。例1
學校組織老師學生一起看電影,同一排電影票12張。8個學生,4個老師,要求老師在學生之間,且老師互不相鄰,共有多少種不同的坐法?解
先排學生共有種排法,然后把老師插入學生之間的空檔,共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結論1
插空法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.例2
5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?
解
因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有種排法,其中女生內部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.結論2
捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也可以作排列.分析此題涉及到的是排隊問題,對于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.例3
某班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?解
43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內的抽法有種.結論6
排除法:有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.練習:用0,1,2,3,4這五個數(shù),組成沒重復數(shù)字的三位數(shù),其中1不在個位的數(shù)共有_______種。
分析:五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有個,0排在首位的有個,1排在末尾的有,減掉這兩種不合條件的排法數(shù),再加回百位為0同時個位為1的排列數(shù)(為什么?)故共有種。例題2:4個男同學,3個女同學站成一排.(1)3個女同學必須排在一起,有多少種不同的排法?解答:(1)3個女同學是特殊元素,我們先把她們排好,共有種排法;由于3個女同學必須排在一起,我們可視排好的女同學為一整體,再與男同學排隊,這時是5個元素的全排列,應有種排法,由分步計數(shù)的原理,有=720種不同排法.例題2:4個男同學,3個女同學站成一排(2)任何兩個女同學彼此不相鄰,有多少種不同的排法?解答:(2)先將男生排好,共有種排法,再在這4個男生的中間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有種方案,故符合條件的排法共有=1440種不同排法.例題3:4個男同學,3個女同學站成一排(3)其中甲、乙兩同學之間必須恰有3人,有多少種不同的排法?解答:(3)甲、乙2人先排好,有種排法,再從余下5人中選3人排在甲、乙2人中間,有種排法,這時把已排好的5人視為一整體,與最后剩下的2人再排,又有種排法,這樣總共有=720種不同排法.例題4:4個男同學,3個女同學站成一排(4)甲、乙兩人相鄰,但都不與丙相鄰,有多少種不同的排法?
.解答:(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有種排法;由于甲、乙要相鄰,故再把甲、乙排好,有種排法;最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空檔中有種排法.這樣,總共有=960種不同排法.例題5:4個男同學,3個女同學站成一排(5)女同學從左到右按高矮順序排,有多少種不同的排法?(3個女生身高互不相等).解答:(5)從7個位置中選出4個位置把男生排好,則有種排法.然后再在余下的3個空位置中排女生,由于女生要按身體高矮排列,故僅有一種排法.這樣總共有=840種不同排法.住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素:
一類元素可以重復,另一類不能重復,把不能重復的元素看作“客”,能重復的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。例6
七名學生爭奪五項冠軍,每項冠軍只能由一人獲得,獲得冠軍的可能的種數(shù)有()A.B.CD.分析:因同一學生可以同時奪得n項冠軍,故學生可重復排列,將七名學生看作7家“店”,五項冠軍看作5名“客
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