數(shù)學(xué)模型之SIR數(shù)學(xué)模型

動(dòng)態(tài)模型

描述對象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程數(shù)學(xué)模型精選課件傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型數(shù)學(xué)模型精選課件已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1【模型假設(shè)】假設(shè)有效接觸的是病人，那么不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)【模型構(gòu)成】?數(shù)學(xué)模型精選課件模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2〕每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病

~日接觸率SI模型數(shù)學(xué)模型【模型假設(shè)】【模型構(gòu)成】精選課件模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大數(shù)學(xué)模型精選課件模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3〕病人每天治愈的比例為

~日治愈率

~日接觸率1/

~感染期

~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。數(shù)學(xué)模型【模型構(gòu)成】精選課件模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0數(shù)學(xué)模型精選課件模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2〕病人的日接觸率,日治愈率,接觸數(shù)=/需建立的兩個(gè)方程數(shù)學(xué)模型【模型假設(shè)】【模型構(gòu)成】精選課件模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)數(shù)學(xué)模型精選課件消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析數(shù)學(xué)模型精選課件si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0數(shù)學(xué)模型精選課件模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計(jì)降低s0提高r0提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫數(shù)學(xué)模型精選課件模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1