電路分析第5章：一階電路分析

第5章一階電路分析５.１電容元件和電感元件５.２換路定則及初始值計算５.３一階電路的零輸入響應(yīng)５.４一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)５.５一階電路的全響應(yīng)５.６一階電路的三要素法５.７一階電路的特殊情況分析５.８階躍信號和階躍響應(yīng)５.９脈沖序列作用下的一階電路分析５.１電容元件和電感元件５.１.１電容元件電路理論中，電容元件是(實際)電容器的理想化模型。把兩塊金屬極板用介質(zhì)隔開就可構(gòu)成一個簡單的電容器。由于理想介質(zhì)是不導(dǎo)電的，在外電源的作用下，兩塊極板上能分別積聚等量的異性電荷，在極板之間形成電場，可見電容器是一種能積聚電荷、能儲存電場能量的器件。電容元件是實際電容器的理想化模型，其電路符號如圖５-１所示。圖５-１電容元件的符號它的定義為：一個二端元件，在任一時刻ｔ，它所積聚的電荷ｑ（ｔ）與其端電壓u（ｔ）之間的關(guān)系可以用ｑ-u平面上的一條曲線來確定，則稱該二端元件為電容元件，簡稱電容。該曲線稱為電容元件在ｔ時刻的庫—伏特性曲線。電容元件是一種電荷與電壓相約束的元件，其電荷瞬時值與電壓瞬時值之間具有代數(shù)關(guān)系。與電阻元件相類似，若約束電容元件的ｑ-u平面上的曲線為通過原點的直線，則稱它為線性電容；否則為非線性電容。若曲線不隨時間而變化，則稱為非時變電容；否則稱為時變電容。５.１.２電感元件電路理論中，電感元件是(實際)電感器的理想化模型。通常把導(dǎo)線繞成線圈稱為電感器或電感線圈。當(dāng)線圈通過電流時即在其線圈內(nèi)外建立磁場并產(chǎn)生磁通Φ，如圖５-７所示。各線匝磁通的總和稱為磁鏈ψ（若線圈匝數(shù)為N，ψ＝ＮΦ）。可見電感器是一種能建立磁場、儲存磁場能量的器件。圖５-７電感線圈及其磁通電感元件是實際電感器的理想化模型，其電路符號如圖５-８所示，它的定義為：一個二端元件，如果在任一時刻ｔ，它所交鏈的磁鏈ψ（ｔ）與其電流ｉ（ｔ）之間的關(guān)系可以用ψ-ｉ平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件，簡稱電感。該曲線稱為電感元件在ｔ時刻的韋—安特性曲線。電感元件是一種磁鏈與電流相約束的元件，其磁鏈瞬時值與電流瞬時值之間具有代數(shù)關(guān)系。圖５-８電感元件的符號與電阻元件和電容元件相類似，若約束電感元件的ψ-ｉ平面上的曲線為通過原點的直線，則稱它為線性電感；否則為非線性電感。若曲線不隨時間而變化，則稱為非時變電感，否則稱為時變電感。在國際單位制（ＳＩ）中，電感的單位為亨［利］(簡稱亨，符號為H)。１亨＝１韋／安。也可以用毫亨(ｍＨ）或微亨（μＨ）作單位，它們的關(guān)系是１μＨ＝１０－３ｍＨ＝１０－６Ｈ

電感元件的功率與電容元件一樣有時為正，有時為負(fù)。功率為正值時，表示電感吸收能量，儲存在磁場中；功率為負(fù)值時，表示電感釋放儲存在磁場中的能量。所以電感也是一個儲能元件，而不是耗能元件。電感電流一般情況下不能跳變也正是能量不能突變的緣故。電感元件和電容元件是互為對偶元件，它們的含義、特性都具有相應(yīng)的對偶關(guān)系。5.1.3電容器和電感器的模型實際部件可以近似地用理想電路元件作為它的模型，條件不同，即使是同一個實際部件的模型可以不同。實際電感器(電感線圈)可以用圖５-１１（ａ）電感元件作為其模型。如果線圈的繞線電阻的影響不能忽略，則其模型如圖５-１１（ｂ）所示，其中ＲＬ為繞線電阻；如果線圈在高頻條件下工作，線圈的匝間電容的影響不能忽略，則其模型如圖５-１１（ｃ）所示，其中ＣＬ為匝間電容。一個實際電感器使用時，不僅需要了解它的電感量，還要注意不得超過它的額定電流。電流過大會使電感線圈過熱而損壞。圖５-１１電感線圈的模型類似地，可以得到實際電容器在不同要求下的3種電路模型，分別為圖５-１２（ａ）、(b)、(c)所示。其中ＲC為電容極板間介質(zhì)損耗，ＬＣ為電容引線電感。一個實際電容器在使用時，不僅需要了解它的電容量，還要注意不得超過它的額定電壓。電壓過大會使電容器介質(zhì)擊穿而損壞。圖５-１２電容器的模型５.２換路定則及初始值計算在電路分析中，把電路元件的連接方式或參數(shù)的突然改變稱為換路。換路常用開關(guān)來完成。換路意味著電路工作狀態(tài)的改變。在電阻電路中，電路的激勵和響應(yīng)之間具有線性的代數(shù)關(guān)系，這意味著電路中激勵和響應(yīng)具有相同的變化規(guī)律，換路時電路的響應(yīng)從一種變化規(guī)律立即變?yōu)榱硪环N變化規(guī)律。當(dāng)電路中含有動態(tài)元件時，由于它們是慣性元件，換路時能量的存儲或釋放不能瞬間完成，表現(xiàn)為電容電壓、電感電流只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變。因而換路后電路的響應(yīng)有一個逐步過渡的過程，簡稱過渡過程或瞬態(tài)過程。電阻電路無過渡過程。而動態(tài)電路分析即瞬態(tài)過程分析是分析動態(tài)電路從換路時刻開始直至電路進(jìn)入穩(wěn)定工作狀態(tài)全過程的電壓、電流的變化規(guī)律。動態(tài)電路的分析方法很多，本課程采用經(jīng)典的時域分析法。它包括以下兩個主要步驟。(1)依據(jù)電路的兩類約束，即基爾霍夫定律和元件的ＶＣＲ建立換路后所求響應(yīng)為變量的微分方程。(2)找出所需的初始條件求解微分方程。應(yīng)用換路定則是有條件的，即必須保證電路在換路瞬間電容電流、電感電壓為有限值。表現(xiàn)在電路結(jié)構(gòu)上則要求電路在換路后不形成僅由uＳ-Ｃ或Ｃ-Ｃ構(gòu)成的回路(簡稱全電容回路)以及僅由ｉＳ-Ｌ或Ｌ-Ｌ構(gòu)成的割集(簡稱全電感割集)。一般電路均能滿足這個條件，換路定則成立。對某些不滿足上述條件的電路，換路定則失效。５.３一階電路的零輸入響應(yīng)對于任意一階電路，換路后總可以用圖５-１７(ａ）來描述。即一階電路總可以看成一個有源二端電阻網(wǎng)絡(luò)N外接一個電容或電感所組成。根據(jù)戴維南定理和諾頓定理圖５-１７（ａ）電路總可以化簡為圖５-１７（ｂ）或(ｃ）電路。圖５-１７一階電路的基本形式電路在沒有外加激勵時的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。因此，零輸入響應(yīng)僅僅是由于非零初始狀態(tài)所引起的，也可以說，是由初始時刻電容的電場儲能或電感的磁場儲能所引起的。5.3.1ＲＣ電路的零輸入響應(yīng) 電路如圖５-１８所示圖５-１８ＲＣ零輸入電路５.３.２RL電路的零輸入響應(yīng)

電路如圖５-２２所示圖５-２２

RL零輸入電路５.３.３一階電路零輸入響應(yīng)解的一般公式電路的零輸入響應(yīng)是輸入為零，僅由電路非零初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，它的變化規(guī)律取決于電路本身的特性(電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù))，與外界的激勵無關(guān)。所以，零輸入響應(yīng)又稱為電路的自然響應(yīng)或固有響應(yīng)。在零輸入電路中，初始狀態(tài)可認(rèn)為是電路的內(nèi)激勵。電路初始狀態(tài)增大K倍，則由此引起的零輸入響應(yīng)也相應(yīng)地增大K倍。這種初始狀態(tài)和零輸入響應(yīng)間的線性關(guān)系稱為零輸入線性，它是線性電路激勵與響應(yīng)線性關(guān)系的必然反映。５.４一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)即零初始狀態(tài)響應(yīng)，是電路僅有外激勵引起的響應(yīng)。本節(jié)只討論一階電路在恒定激勵(直流)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，且主要研究動態(tài)元件的電壓和電流的變化規(guī)律。５.４.１RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 電路如圖５-２５所示。圖５-２５RC零狀態(tài)電路開關(guān)５.４.２RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

電路如圖５-２７所示圖５-２７RL零狀態(tài)電路５.４.３一階電路電容電壓、電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的一般公式

恒定激勵下零狀態(tài)電路的過渡過程實質(zhì)上是動態(tài)元件的儲能由零逐漸增長到某一定值的過程。因此，盡管一階電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)可以千差萬別，但電路中表征電容或電感儲能狀態(tài)的變量uＣ或ｉＬ卻都是從零值按指數(shù)規(guī)律逐漸增長至穩(wěn)態(tài)值。此穩(wěn)態(tài)值可以從電容相當(dāng)于開路、電感相當(dāng)于短路的等效電路來求取，此電路稱為終值電路。在零狀態(tài)電路中，當(dāng)激勵增大K倍，零狀態(tài)響應(yīng)也相應(yīng)增大K倍。若電路有多個激勵，則響應(yīng)是每個激勵分別作用時產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。這種關(guān)系稱為零狀態(tài)線性。它是線性電路中齊次性和可加性在零狀態(tài)電路中的反映。５.５一階電路的全響應(yīng)上兩節(jié)分別討論了只有非零初始狀態(tài)和只有外激勵作用時一階電路的響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)將討論非零初始狀態(tài)和外激勵(仍限于直流電流)共同作用時的一階電路的響應(yīng)，這種響應(yīng)稱為全響應(yīng)。從電路換路后的能量來源可以推論：電路的全響應(yīng)必然是其零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。下面以RC電路為例進(jìn)行分析。電路如圖５-３０所示。圖５-３０RC全響應(yīng)電路５.６一階電路的三要素法在前面幾節(jié)的分析中，無論是求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)還是全響應(yīng)，總是以電容電壓或電感電流為主要分析對象。但實際上一階電路千差萬別，需求響應(yīng)也各不相同，因此僅計算電容電壓或電感電流顯然并不合適。三要素公式適用于恒定激勵下一階電路任意支路的電流或任意兩端的電壓。而且不僅適用于計算全響應(yīng)，同樣也適用于求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。在初始值電路中，有兩類激勵：一類是內(nèi)激勵，另一類是外激勵。

５.７一階電路的特殊情況分析本節(jié)討論由于一階電路中實際元件模型化形成的特殊工作狀態(tài)的一些情況。在電路模型中，可能出現(xiàn)由全電容或同時包含理想電壓源組成的回路(簡稱全電容回路)；也可能出現(xiàn)由全電感或同時包含理想電流源組成的割集(簡稱全電感割集)。換路瞬間電容電壓或電感電流不再是連續(xù)函數(shù)，即換路時uＣ或ｉＬ會發(fā)生跳變，換路定則失效。瞬間電荷守恒定律和瞬間磁鏈?zhǔn)睾愣蓪⑹墙鉀Q問題的依據(jù)。在電路模型中，還可能出現(xiàn)由全電容組成的割集(簡稱全電容割集)；也還可能出現(xiàn)由全電感組成的回路(簡稱全電感回路)。一階電路的三要素公式總是成立的。５.８階躍信號和階躍響應(yīng)５.８.１階躍信號在動態(tài)電路分析中，廣泛引用階躍函數(shù)來描述電路的激勵和響應(yīng)。單位階躍函數(shù)本身無量綱，當(dāng)用它表示電壓或電流時量綱分別為伏特和安培，并統(tǒng)稱為單位階躍信號。在動態(tài)電路分析中，單位階躍信號可以用來描述開關(guān)Ｋ的動作。例如，用單位階躍電壓源作激勵，則相當(dāng)于ｔ＝０時接入1Ｖ的電壓源，如圖５-４２（ａ）、（ｂ）所示，兩者是等效的。類似地，圖５-４２（ｃ）、（ｄ）也是等效的。圖５-４２階躍函數(shù)與開關(guān)的關(guān)系

利用單位階躍信號可以方便地表示各種信號。例如圖５-４３（ａ）所示的矩形脈沖信號，可以看成是圖５-４３（ｂ）、（ｃ）所示的兩個階躍信號的疊加，即ｆ（ｔ）＝Ａε（ｔ）－Ａε（ｔ－ｔ０）

圖５-４３矩形脈沖的分解５.８.２階躍響應(yīng)零狀態(tài)電路在單位階躍信號作用下的響應(yīng)稱為(單位)階躍響應(yīng)，并用ｓ（ｔ）來表示。５.９脈沖序列作用下的一階電路分析脈沖序列指重復(fù)脈沖信號。脈沖持續(xù)時間與脈沖間隔時間相