綠色化學十二原則及拋物型方程有限差分方法的應用

綠色化學十二原則Itisbettertopreventwastethantotreatorcleanupwasteafteritisformed.（不讓廢物產(chǎn)生而不是讓其生成后再處理。）制造和使用化學均有其正常成本，必須支付原料和試劑費用。化學的儲存和處理費用也十分可觀。實際成本=原料+試劑的費用+處理危險品的費用，最常見的廢物之一就是未轉(zhuǎn)化的原料和試劑。在可能情況下，應盡可能把污染消除在源頭。例1：異布洛芬的合成英國諾丁漢州的布特公司開發(fā)了（U.S.patent.3,385,886）早期異布洛芬合成法。過去四十年來，這一合成方法不僅生產(chǎn)了上千噸的異布洛芬，同時也伴生了幾千噸的不希望的和不能循環(huán)使用的副產(chǎn)物.Hoechst公司和Boots公司聯(lián)合組成的BHC公司研制開發(fā)了新的異布洛芬的綠色合成路線:優(yōu)點：步驟短，廢物少，效率高。BHC公司的異布洛芬合成方法的研制成功，1997年贏得美國總統(tǒng)綠色化學挑戰(zhàn)獎。例2：聚天冬氨酸作阻垢劑聚丙烯酸酯(PAC)是最常用的工業(yè)阻垢劑之一。PAC在晶體表面有很強的吸附作用，能附著在晶體的生長點上以阻止更多的不溶物沉積。PAC還用作洗滌劑中的成分.PAC基本上是無毒的，但它不能被降解，這造成了在廢水處理設施中必須經(jīng)常清除PAC的問題。Donlar公司已經(jīng)開發(fā)出用多聚天冬氨酸(TPA)替代PAC的除垢劑。TPA可以被微生物降解，解決了PAC淤渣提取及填埋的問題。聚天冬氨酸中，α-鏈節(jié)占30%，β-鏈節(jié)占70%，聚合反應中不用有機溶劑，基本不產(chǎn)生廢物，因此對環(huán)境是無害的。TPA還用于油田生產(chǎn)中的防腐劑,以及農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的營養(yǎng)吸收劑。Syntheticmethodsshouldbedesignedtomaximizetheincorporationofallmaterialsusedintheprocessintothefinalproduct.（最有效地設計化學反應和過程，最大限度地提高院子經(jīng)濟性。）從資源的有效利用、原子經(jīng)濟性方面考慮，應盡可能采用重排反應和加成反應，盡可能不采用取代反應和消去反應。Whereverpracticable,syntheticmethodologiesshouldbedesignedtouseandgeneratesubstancesthatpossesslittleornotoxicitytohumanhealthandtheenvironment.（盡可能不使用、不產(chǎn)生對人類健康和環(huán)境有毒有害的物質(zhì)。）

綠色化學的基礎就是要盡可能減少危險品的使用。只有兩種方法可避開被危險品傷害的危險：減少與危險品的接觸或消除危險品的使用。Chemicalproductsshouldbedesignedtopreserveefficacyoffunctionwhilereducingtoxicity.（盡可能有效地設計功效卓著而又無毒無害的化學品。）設計更加安全的化學品是可能的。通過分子結(jié)構(gòu)有關知識，化學家能夠比較準確地確定化合物的特性。根據(jù)構(gòu)效關系（SAR），鑒別分子中什么因素有毒。設計更加安全的化學品方法已知毒性機理，改變和修飾該物質(zhì)的結(jié)構(gòu)。不知道毒性的確切機理，設法除去分子中的“毒效”基團。減少分子的“生物藥效性”。Theuseofauxiliarysubstances(e.g.solvents,separationagents)shouldbemadeunnecessarywhereverpossibleandinnocuouswhenused.（盡可能不使用輔助物質(zhì)，如須使用也應無毒害。）輔助物質(zhì)面臨困境輔助物質(zhì)的普遍使用溶劑問題，鹵化物，如氯代甲烷、氯仿、全氯乙烯、四氯化碳等是普遍使用的溶劑，為致癌物。溶劑對環(huán)境的影響，如臭氧層破壞、光化學煙霧。消除輔助物質(zhì)危害的方法采用超臨界流體非溶劑化水作溶劑固定化Energyrequirementsshouldberecognizedfortheirenvironmentalandeconomicalimpactsandshouldbeminimized.（在考慮環(huán)境與經(jīng)濟效益的同時，盡可能使能耗最低。）化學工業(yè)中能量的普遍使用預反應過程使用能量用熱能加速化學反應用冷卻方法控制反應分離需要能量，如蒸餾、重結(jié)晶、超濾分離純化新的能量利用方式微波聲納（超聲波光化學反應（紅外線、紫外線）和輻射促進化學反應優(yōu)化反應條件，使能耗最小七．Arawmaterialorfeedstockshouldberenewableratherthandepleting,wherevertechnicallyandeconomicallypracticable.（技術和經(jīng)濟上可行時應以可再生資源為原料。）例1：GE可再生能源業(yè)務2004年在中國安裝了第一臺風機，目前已裝機超過1300臺，容量超過190萬千瓦。天峰山龍泉風電場裝機預計建成后年發(fā)電量52507.7萬度，每年可節(jié)約標煤約17.33萬噸，相應每年可減少因燃煤造成的廢氣排放，其中減少二氧化碳36.38萬噸，二氧化硫155.42萬噸，氮氧化合物155.42萬噸，煙塵46.63噸。此外，每年還可節(jié)約淡水132.54萬立方米，并減少相應的廢水排放和溫排水。微觀選址，優(yōu)化風機的位置和數(shù)量，可提高整個風場的發(fā)電量達20%。前沿空氣動力學的應用，葉片比2MW機組的葉片還要輕，捕風效率更高，發(fā)電量更大。先進的荷載設計，每臺風機的塔筒都比同級別機組的輕30%，大大節(jié)約了鋼材。預制塔筒設計可以用集裝箱運輸，現(xiàn)場組裝，非常適用于道路設施不完善、地形復雜多樣的偏遠風場。整個風場的智能控制，通過風況預測、風機之間的對話，提供更為高效的精確測算和運營維護，提升了設備運行穩(wěn)定度和發(fā)電效率。例2：英國公布“光伏發(fā)電戰(zhàn)略”，重點扶持屋頂型光伏系統(tǒng)英國能源與氣候變化部部長格雷格·巴克(GregBarker)于4月公布了“光伏發(fā)電戰(zhàn)略”。按照該戰(zhàn)略，英國將在工廠和超市等大型建筑物的屋頂及停車場設置光伏發(fā)電系統(tǒng)。英國能源與氣候變化部部長格雷格·巴克(GregBarker)于4月公布了“光伏發(fā)電戰(zhàn)略”。按照該戰(zhàn)略，英國將在工廠和超市等大型建筑物的屋頂及停車場設置光伏發(fā)電系統(tǒng)。巴克部長表示，英國光伏發(fā)電戰(zhàn)略的首要目的是幫助光伏發(fā)電產(chǎn)業(yè)創(chuàng)造數(shù)十萬個就業(yè)崗位。關于英國政府的光伏發(fā)電戰(zhàn)略，巴克部長強調(diào)稱：“這在全球光伏發(fā)電領域是最領先、最具雄心的計劃?！痹搼?zhàn)略將重點發(fā)展方向由設在地面的大規(guī)模光伏發(fā)電系統(tǒng)轉(zhuǎn)向了安裝在屋頂上的光伏系統(tǒng)。據(jù)推算，在英國全國的商業(yè)設施及工廠等大型建筑物的屋頂中，適合光伏發(fā)電的南向屋頂?shù)拿娣e共有25萬公頃，英國政府將為在這些屋頂設置光伏發(fā)電系統(tǒng)提供支援。另外，與該戰(zhàn)略同步，英國教育部正在推行提高英國2.2萬所學校的能源效率、以減少每年高達5億英鎊的能源支出的政策。為了提高教育部這項政策的效果，將積極在學校屋頂設置光伏發(fā)電系統(tǒng)。（日經(jīng)技術在線）Unnecessaryderivations(protection/deprotection,blockinggroup,temporarymodificationofphysical/chemicalprocesses)shouldbeavoidedwheneverpossible.（盡可能避免衍生反應。）Catalyticreagent(asselectiveaspossible)aresuperiortostoichiometricreagents.（盡可能使用性能優(yōu)異的催化劑。）催化劑具有以下作用：提高選擇性；降低能耗。Chemicalsshouldbedesignedsothatattheendoftheirfunctiontheydonotpersistintheenvironmentandbreakdownintoinnocuousdegradationproducts.（應設計功能終結(jié)后可降解為無害物質(zhì)化學品。）塑料在環(huán)境中的持久性殺蟲劑像設計分子的其他功能一樣，把降解作為一個功能加以設計。比如聚乳酸作為一次性包裝材料。生物降解性設計。比如引入特殊功能團促使其降解；降解產(chǎn)物的毒性。例1：后代謝設計或軟化學設計是指具有生理活性且療效顯著，但在人體完成治療后很快轉(zhuǎn)為無毒物質(zhì)或易排泄的藥物的設計。鹽酸十六烷基吡啶一種有效的防腐劑，但對哺乳動物有嚴重毒性。老鼠口服實驗發(fā)現(xiàn)半致死量LD50=108mg/kg通過分子修飾新分子側(cè)鏈仍保持16個原子，但能很快代謝為毒性較小的吡啶、甲醛及十四碳酸等低毒物質(zhì)，防腐性能不變。LD50＞4000mg/kg例2除此以外，CargillDow聚合物公司耗資3億美元建設一套生產(chǎn)規(guī)模為140kt/a的從玉米生產(chǎn)聚乳酸的裝置，用于生產(chǎn)纖維和塑料等。十一.Analyticalmethodologiesneedtobedevelopedtoallowforrealtime,in-processmonitoring,andcontrolpriortotheformationofhazardoussubstances.（應發(fā)展實時分析方法，以避免或監(jiān)控有毒害物質(zhì)的生成。）需要精確可信的敏感元件，監(jiān)測器件和分析技術；需要發(fā)展在線的，與時間有關的分析技術。十二.Substancesandtheformofasubstanceusedinachemicalprocessshouldbechosensoastominimizethepotentialforchemicalaccidents,includingreleases,explosions,andfires.（盡可能選用安全的化學物質(zhì)，最大限度減少化學事故發(fā)生。）應考慮廣泛的危險性，不僅僅是污染和生態(tài)毒性。20XX年秋季學期研究生課程考核（讀書報告、研究報告）考核科目:偏微分方程數(shù)值解法學生所在院（系）:理學院數(shù)學系學生所在學科:數(shù)學學生姓名:學號:學生類別:考核結(jié)果閱卷人第第頁拋物型方程有限差分方法的應用摘要拋物型偏微分方程是一類比較重要的偏微分方程。熱傳導方程是最簡單的一種拋物型方程。熱傳導方程研究的是熱傳導過程的一個簡單數(shù)學模型。根據(jù)熱量守恒定律和傅里葉熱傳導實驗定律可以導出熱傳導方程。在本篇論文中，將先詳述拋物型偏微分方程的有限差分法的相關知識，然后給出拋物型方程的兩個具體的應用實例。關鍵字：拋物型方程，差分格式，應用AbstractParabolicpartialdifferentialequationisakindofimportantpartialdifferentialequation.Theheatconductionequationisoneofthesimplestparabolicequations.Theheatconductionequationisasimplemathematicalmodeloftheheatconductionprocess.HeatconductionequationisderivedbasedonthelawofconservationofheatandFriyege'slawofconduction.Inthisthesis,wefirstgiveadetailedknowledgeofthefinitedifferencemethodforparabolicpartialdifferentialequations,andthengivetwospecificexamplesoftheapplicationoftheparabolicequation.Keywords:parabolicequation,differencescheme,application0前言拋物型方程是偏微分方程中的三大方程（另兩種為雙曲型方程和橢圓型方程）之一，如何去研究拋物型方程的性質(zhì)在《偏微分方程數(shù)值解法》的課程中占有很大的比例。如果要研究拋物型方程，我們一般從以下幾個方面來研究，分別是：定界問題、格林函數(shù)、極值原理、解的正則性、拋物方程、擬線性蛻化和反應擴散方程。但是由于所學知識有限，所以我們在此只簡單的介紹拋物型方程的有限差分法并給出兩個應用實例。1拋物型方程有限差分法1.1簡單差分法考慮一維模型熱傳導方程，(1.1)其中為常數(shù)。是給定的連續(xù)函數(shù)。（1.1）的定解問題分兩類：第一，初值問題（Cauchy問題）：求足夠光滑的函數(shù)，滿足方程（1.1）和初始條件：，（1.2）第二，初邊值問題（也稱混合問題）：求足夠光滑的函數(shù)，滿足方程（1.1）和初始條件：,及邊值條件，假定和在相應的區(qū)域光滑，并且于，兩點滿足相容條件,則上述問題有唯一的充分光滑的解?，F(xiàn)在考慮邊值問題（1.1），（1.3）的差分逼近。取為空間步長，為時間步長，其中，是自然數(shù)，,；,將矩形域分割成矩形網(wǎng)格。其中表示網(wǎng)格節(jié)點；表示網(wǎng)格內(nèi)點（位于開矩形中的網(wǎng)格節(jié)點）的集合；表示位于閉矩形中的網(wǎng)格節(jié)點的集合；表示-網(wǎng)格邊界點的集合；表示定義在網(wǎng)點處的待求近似解，，。注意到在節(jié)點處的微商和差商之間的下列關系（）：可得到以下幾種最簡差分格式（一）向前差分格式，，==0其中，。取為網(wǎng)比，則進一步有=+++此差分格式是按層計算：首先，令，得到=+++于是，利用初值和邊值==0，可算出第一層的，。再由取，可利用和==0算出，。如此下去，即可逐層算出所有（，）。由于第層值可以通過第層值直接得到，如此的格式稱為顯格式。并視為的近似值。若記，，則顯格式可寫成向量形式其中若記那么截斷誤差為==（1.5）其中是矩形，中某一點。事實上，+=+===。這里故，從而（二）向后差分格式，==0其中，。取為網(wǎng)比，則進一步有+=+按層計算：首先，取，則利用初值和邊值==0，來確定出第一層的，，即求解方程組：+=+，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐層算出所有，。如此每層必須解一個三對角線性方程組的格式稱為隱格式。并視為的近似值。直觀地說，采用顯式格式進行求解既方便又省工作量。但是，后面我們將看到，有些情況用隱式格式更為便利。（三）Grank-Nicholson法將向前差分格式和向后差分格式做算術平均，得到的差分格式稱之為六點對稱格式，也稱為Grank-Nicholson格式：，==0進一步，+=++按層計算：首先，取，則利用初值和邊值==0，來確定出第一層的，，即求解方程組：+=++，==0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐層算出所有，。若記那么截斷誤差為=（1.9）注意=又兩式相加而+故有。（四）Richardson格式+（1.10）進一步=（+）++2這是三層顯式差分格式。顯然截斷誤差的階為。為使計算能夠逐層進行，除初值外，還要用到。它可以用其他雙層格式提供。Richardson格式的矩陣形式為：其中我們著重介紹了以上四種差分格式（還可以作出許多逼近（1.1）（1.3）的差分格式）。1.2穩(wěn)定性與收斂性拋物方程的兩層差分格式可以統(tǒng)一寫成向量形式:（1.11）其中，和是階矩陣。我們假定可逆，即（1.11）是唯一可解的。對于顯格式，等于單位矩陣。三層格式可以通過引入新變量化成兩層格式。假設差分解的初始值（其實可以是任一層的值）有誤差，以后各層計算沒有誤差，讓我們來考察初始誤差對以后各層的影響。令和分別是以和為初始值由差分格式（1.11）得到的兩組差分解，則滿足（1.12）因此，按初值穩(wěn)定應該意味著。這就導致如下定義：假設，我們稱差分格式（1.11）按初值穩(wěn)定，如果存在正常數(shù)和，使得以下不等式成立：，這里是上的某一個范數(shù)，例如類似地，假設，我們稱差分格式（1.11）按右端穩(wěn)定，如果存在正常數(shù)和，使得以下不等式成立：，可以證明，差分格式若按初值穩(wěn)定，則一定按右端穩(wěn)定。因此，這時我們簡單地稱差分格式穩(wěn)定。前面討論的向前差分格式（1.4）當網(wǎng)比時穩(wěn)定，當時不穩(wěn)定。這就意味著給定空間步長以后，時間步長必須足夠小，才能保證穩(wěn)定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）則對任何網(wǎng)比都是穩(wěn)定的，時間步長可以取得大一些，從而提高運算效率。Richardson格式則對任意網(wǎng)比都是不穩(wěn)定的。因此，雖然Richardson格式是個顯格式，截斷誤差又很小，但是卻不可用。如果某個差分格式的截斷誤差當和趨于0時隨之趨于0，則稱這個差分格式是相容的。可以證明：若差分格式是相容的和穩(wěn)定的，則它是收斂的，并且差分解與微分解之間誤差的階等于截斷誤差的階。因此，當網(wǎng)比時，向前差分格式（1.4）有收斂階。對任何網(wǎng)比，向后差分格式（1.6）有收斂階，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收斂階。1.3高維拋物方程差分法考慮如下二維拋物方程的差分格式（1.13）取空間步長，時間步長。作兩族平行與坐標軸的網(wǎng)線，，其中，將矩形區(qū)域分割成個小矩形。記為網(wǎng)格節(jié)點上的差分解。前述各種一維差分格式都可以直接用于以（1.13）為代表的二維以至更高維的拋物方程。例如，向前差分格式成為（1.14）實際計算時，先令，利用已知的等等，對，用（1.14）算出。而由邊值條件，補充得到。下一步，令，利用已知的第1層的差分解類似地算出第2層的差分解。以此類推，直到。各種隱格式，例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式，也可以類似地推廣用于高維情形。每次計算新的一層差分解時，同樣需要求解一個線性方程組。但是，這個線性方程組不再是三對角的，方程組階數(shù)為，其中是拋物方程的維數(shù)。因此，求解成本大大增加，甚至導致無法求解。為了克服這一困難，人們提出了各種降維技巧，局部地把高維問題化成一維問題求解。下面給出的求解二維拋物方程的LOD格式（局部一維格式）就是其中一例。（1.15a）(1.15b)；其中，LOD格式的計算步驟可以總結(jié)如下：令，。求解三對角線性方程組（3.3a）得到差分解。若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟4）。否則轉(zhuǎn)4）。令。求解三對角線性方程組（3.3b）得到差分解。若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟5）。否則轉(zhuǎn)7）。若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟2）。否則結(jié)束。LOD格式的基本想法是：由第層計算層時，對，依次固定，然后計算這條直線上各個網(wǎng)點上的近似值；因為這時不變，所以原來的二維微分方程退化為關于的一維微分方程。接著，當由第層計算層時，則依次固定。LOD格式可以直接推廣到任意維拋物方程。LOD格式對任意網(wǎng)比都是穩(wěn)定的，截斷誤差階和收斂階是。1.4拋物方程有限元法考慮一維拋物方程（1.16）（1.17）（1.18）其中系數(shù)都是和的已知光滑函數(shù)，初值是的已知光滑函數(shù)。它的變分方程為：求使得對每一個固定的，都有，并且（1.19）其中（1.20）（1.21）拋物方程有限元法的通常做法是在時間方向用差分法，在空間方向用有限元法?？梢躁P于變量構(gòu)造線性有限元空間。令時間方向步長為。若時間方向用向前差商，空間方向用線性有限元，并記，則有限元方程為：對，逐層求滿足這相當于在每一層要解一個線性方程組：或者稍微整理一下：如果在時間方向用梯形公式，則類似于（1.21）得到所謂Crank-Nicolson格式：2拋物型方程的應用實例2.1具有粘性的波動方程考慮如下初值問題[1]（2.1）如果，那么方程化為波動方程；如果，那么方程可以寫成這是熱傳導方程?？梢杂秒[式和顯式格式求解（2.1）式，下面考慮顯式差分格式（2.2）從格式的構(gòu)造可以得到，其截斷誤差為。下面用Fourier方法討論穩(wěn)定性。（2.2）式三層格式，用標準方法可求得其增長矩陣為其中，增長矩陣的特征方程為得，當時有。簡單地，?。?.3）作為格式（2.2）的穩(wěn)定性條件。2.2混合方程組在可壓縮流體的流動中，從一點到另一點的溫度常有相當大的差別。因而由熱傳導引起的能量傳遞可以對運動有顯著的影響。于是，熱傳導的拋物型方程和流體動力學的雙曲型方程結(jié)合起來了，這兩種現(xiàn)象必須合并計算。設壓力、比容和單位體積的內(nèi)能分別為和，其中和都是未經(jīng)擾動時的值，且。設物質(zhì)的速度為。和都是和的函數(shù)。為等溫聲速。我們?nèi)顟B(tài)方程為使用輔助因變量，并對小量和精確到一階項，則得微分方程組（2.4）其中為定常體積下導熱率與比熱之比。方程組（2.4）是雙曲型方程和拋物型方程結(jié)合在一起的混合方程組。對于這個方程組，可以構(gòu)造多種多樣的差分格式。簡單的顯式格式是（2.5）速度在第二個方程和第三個方程中采用了第n+1層上的值。我們注意到，差分方程組是顯式的，因為從第一個方程組可以先解出另外兩個方程所需要的和。在實際計算中穩(wěn)定性條件采用（2.6）用顯式格式（2.5）來計算方程組（2.4）時，條件導致了要求取很小的時間步長，因而使計算工作量增加?？朔@一困難可采用不同的辦法。其中之一為保留差分格式的顯式特點，而表征熱傳導的第三個方程（拋物型方程）采用比用兩個方程更小的時間步長，其中為一個正常數(shù)。這樣，流體力學計算的每個循環(huán)都伴隨著步熱傳導計算。此差分格式可以寫為（2.7）此格式的穩(wěn)定性條件，一般取為（