小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識(shí)點(diǎn)講解第9課 二進(jìn)制小數(shù) 試題附答案

小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第9課《二進(jìn)制小數(shù)》試題附答案

笫九講二進(jìn)制小數(shù)

我們?cè)?jīng)學(xué)了二進(jìn)制以及八，十六及各種進(jìn)制的整數(shù)，以及它們的加減乘

除四則運(yùn)算.大家必然會(huì)提問：與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)、小數(shù)類似的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)、小

數(shù)，如何推廣過來？

一個(gè)二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，就是3a是二進(jìn)制整數(shù)，b/0也是二進(jìn)制整數(shù).

b

一個(gè)二進(jìn)制小數(shù)，不妨先講純小數(shù)：0<n（l,

n=0.blb2b3-bi-,每個(gè)bi或?yàn)?,或?yàn)?.（bi不全為0,也不全為1）.

瓦所在的位稱為:分位;

瓦：會(huì)分位.（類似于十進(jìn)制小數(shù)O.a】a2a3…，曲為《分位，

a2為+分位，…）?

二進(jìn)制小數(shù)的運(yùn)算也和十進(jìn)制小數(shù)運(yùn)算相類似，差別在于這里是“逢二進(jìn)

一”，“退一還二

十進(jìn)制小數(shù)化為二進(jìn)制小數(shù)，主要通過分?jǐn)?shù)作中間媒介.

例將（0.3）10化為二進(jìn)制小數(shù).（用（a）k表示k?位數(shù)）.

3（11）

（°辦。=記=麗或2

=（0.0100110011001--）2

=（o.oiooi）2

0.01001

loiohioo

」1010

―10000

101。

-ilob兆成循環(huán))

這表示十進(jìn)制有限小數(shù)可能化成二進(jìn)制循環(huán)小數(shù).

本節(jié)重點(diǎn)講二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)如何化為二進(jìn)制分?jǐn)?shù).回憶十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化

分?jǐn)?shù)，一是要學(xué)習(xí)推理中的思想方法，二是最好歸納成一個(gè)易用易記的公式.

十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)一般公式：

①純循環(huán)小數(shù)：(0.小丁區(qū))10=而不7

吧

k個(gè)

,

②混循環(huán)小數(shù)：(O.XiX2-xsa1a2--ak)

=丫X]???V巴。勺???o以k-xr??叼?"tr>,

99—900—0

這些公式的推導(dǎo)過程如下，請(qǐng)?bào)w會(huì)思想方法.

設(shè)$=(O.afaJ10.第一步，在此等式的兩邊乘103右邊相當(dāng)

于小數(shù)點(diǎn)右移k位，得10叼=而不>包生…勾；第二步：兩個(gè)等式左

右兩邊分別相減，左邊為10叼-S,右邊為何F(巧妙在于差值很整

齊，消去了讓人“害怕”的無限長(zhǎng)(雖然是循環(huán))的小數(shù))：

k

S(10-1)=a1a2---ak=S=,即；；一；上.公式①證得.

k個(gè)

至于混循環(huán)，只要借用己證得的公式①，因?yàn)?/p>

(O.x1x/-'xsa1a2---ak)10

k個(gè)

k個(gè)0

_

1,(100…o-l)xX1…Xs?廿2???弘、]

IF(99-999-9；

k個(gè)k個(gè)

1x/a…x$X100---0+a1a2---ak

99…9

k個(gè)

X]…x/i…a*-x/v??x$

99…900…0

k個(gè)門

其實(shí)公式②中，當(dāng)s=0時(shí)，就是公式①，復(fù)雜的公式②是借用簡(jiǎn)單情況下

的公式①推來.推出后①包含在②之中.

對(duì)于二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，也可同樣推導(dǎo).

設(shè)5=(O.b^-b,)2.第一步：兩邊乘2k,右邊相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)右移

k位，得2ks?6也…堂.第二步：兩個(gè)等式左右兩邊分別相減,

左邊為2%-S；右邊為國(guó)F，恰為整數(shù)，消去了無限長(zhǎng)的部分，有：

k--------------b,b0---bk

k

S(2-l)=b1b2-bk=>S=，中一^(1)

k個(gè)

至于二進(jìn)制混循環(huán)小數(shù)：也記這小數(shù)的整體為S.

S=Ox/2…Xs^b2…6k)2，

則有s=嫩(x1x2—xs?6M…6Q2

1-------2k-1b,b-b

F…Xg+維2產(chǎn)h

k個(gè)

=x1x2-x5b1b2---bh-xtx2--x5

11--100---0⑵

k個(gè)st

從推導(dǎo)和記憶規(guī)則看，公式（1）和（2）與十進(jìn)制公式①和②相仿.那么

讀者一定會(huì)歸納出任意進(jìn)制的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式.

例1化（o.Ooi）2為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，十進(jìn)制分?jǐn)?shù).

例2化（0.0714285）10與（0.0ioi）2為十進(jìn)制分?jǐn)?shù).

例3化（0.100111011）2為二進(jìn)制分?jǐn)?shù).

例4

111111111

+-Xv-+zvx-+zv\+—zvx

772142282562

11111

=—+——+——+—+---=S

7142856112

用公式(3),q=g,a「；，n=5.

答案

例i化(o.Ooi)2為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，十進(jìn)制分?jǐn)?shù).

解：用公式⑴

(0.001)2==(y)io

例2化(0.071428$)1。與(O.OiOi)?為十進(jìn)制分?jǐn)?shù).

M/CATISCA、714285-0

解：(0.0714285)io=mccccc

109999990

714285-0511

9999990710,14八°

..101-0

例3化(0.100111011)2為二進(jìn)制分?jǐn)?shù).

解：由公式(2)

100111011-1001

(0.1001iioii)2=

111110000

100110010

111110000

10011001

11111000

直接檢驗(yàn)

0.1001：叩

11111)10011.001UIjI

11111;1111

~111°叫>!!!

-)1mi-;?

-)uni；!!

101110]I

uni!!!

111100;

mill

111010

-)mu

------------->110110兆成循環(huán))

現(xiàn)在再看推導(dǎo)公式的方法，關(guān)鍵是把循環(huán)小數(shù)的值設(shè)為S,好比列方程設(shè)

未知數(shù)，而106-S恰好消去了“燙手”的無限長(zhǎng)的小數(shù)部分，推出“方

程”SQok—l)=aia2-ak,立刻求解出S.

這樣的思想，在研究等比數(shù)列時(shí)也用到了.以前講過有限項(xiàng)數(shù)列：al,

a2,a3,…，ai,…，an.所謂等比數(shù)列，即它每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)乘上一公共

值q,也即：

al,a2=alq,a3=a2q,…，ai=ai—Iq,…，an=an—Iq,

或

al,a2=alq,a3=alq:,…，ai=alqi_1?…，an=alq11-1.

現(xiàn)在要求出al+a2+a3H---Fai+…+an.

思想方法：第一步：

設(shè)5=al+a2H---Fan=al+alq+alq：+…+alqn_1.

上式兩邊乘上q,作為第二步：

qS=alq+alq:+…+alqr-1+alqn.

當(dāng)q<l時(shí)，用上式兩邊減下式兩邊，得到

S一qS=al—alqn,

即有(q<l)(3)

1-q

公式(3)稱為公比小于1的等比級(jí)數(shù)前n項(xiàng)求和公式.它敘述為：前畫和

等于首項(xiàng)與首項(xiàng)乘公比的n次得的差除以1與公比之差.

類似地可推導(dǎo)出：當(dāng)q〉l時(shí)，S=.;對(duì)(q>l).(4)

q-1

例4

111111111

772142282562

11111

=—+—+—+—+-----=S

7142856112

用公式(3),q=pn=5.

31

112

最后以一個(gè)很精彩的例來結(jié)束本節(jié)(本例選自美國(guó)1993年第四十四屆高中

數(shù)學(xué)競(jìng)賽第30題.雖是高中競(jìng)賽題，但本講知識(shí)可解此題)

習(xí)題九

1.請(qǐng)你寫出把三進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的公式：

(O.djdj-dJ3=_______；

(O.xix2-x5d1<i2-dk)3=_______?

2.把下列十進(jìn)制小數(shù)化二進(jìn)制小數(shù).

(0.1)10(0.01)10

3.把下面各循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，注意進(jìn)制，并請(qǐng)把4個(gè)數(shù)由小到大排序.

(o.ioi)2(o.ioi)3

(o.ioi)8(o.ioi)10

4.循環(huán)小數(shù)化十進(jìn)制分?jǐn)?shù)：

(10.1101)2，(10.296)10，(1.732)8

5.求和：33+(1)2+3，+(1)3+3$+(1)，+(1)5.

6.仿例5,設(shè)X。是(KxO<l的數(shù)，并對(duì)所有自然數(shù)n有遞推式：

=[3x.i當(dāng)3Xn〈l

X"[3xn-l-[3xn-ll當(dāng)3x*_i)1時(shí).

求使得XO=X3的X0的所有可能值(用三進(jìn)制求解),并把最小的和最大的

非零數(shù)化十進(jìn)制數(shù)驗(yàn)證.這里[X]表示取X的下整數(shù).即不超過X的最大整數(shù).

7.同本講最后一例中各條件，O<XO<1,遞推式

當(dāng)2xn—時(shí)，

當(dāng)2xn-1)1時(shí)，(n為自然數(shù)).改動(dòng)為：求使XO=X3的所有十進(jìn)制的X。

值.

六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第九講二進(jìn)制小數(shù)習(xí)題解答

習(xí)題九解答

=did2…"

1.（O.dfdk）

22-2

kt

=X1X2…x/N2…dk-x/2…應(yīng)

（O.xx--xdi<i'--d）

1252k322-200-0

<"___,

k個(gè)C

2.解答*）10=（焉）2=（0.00011001100-）2

=（0.00011）2,

0.00011001

1010）10000.I

1010；I

―1100!i

向0II

1OOOO（01環(huán)）

（0.01）10=（麗）10=（H00100）2=（而*11001）

o.ooooioiooomjoioj”

11001)iooooo_i—i—iiHI

,iiooi:?iii>?

iiioo；;；；!'!

1100，IIIilI

noooo;!i!!

11001I}?II

-------------?I111

101110II11I

11001；*||；

101010；?III

11001；IIII

loooio;!!!

11001\I\\

100100：II

11001J；；

-101100??

iiooiI!

1001101

11001；

11010

11001

1兆成循環(huán)）

得到一個(gè)循環(huán)節(jié)有2啦長(zhǎng)的循環(huán)小數(shù):

(需)10=(00000001010001111010111)

3.解:

1015

=

(o.ioi)2=(YYY)2勺)io,

..10165

(0.101)8=(而%=(市)10,

..101

(01。力。=領(lǐng))1。

可小101/65-55

顯然999<?H<i3<7

二從小到大排為：(o.ioi)10<(o.ioi)8<(o.ioi)3<(o.ioi)

4.(lo.iioi)2=(io)2+(o.iioi)

，嘰+(喘…

96

(10,296)lo=10.2+0,096=10.2+0.1X—

2324949

=10H----1--------=10+----=10----；

1010X33165165

,,732-7,723

(1.732)8=1+(rrc)8=1+(幻8

467467

=1+----=1----

504504

5.原式=33(1+3+32)+(m2(1+：+/+少

(用等比級(jí)數(shù)求和公式)

」一生

寸(O&1