空間向量的應(yīng)用 課件3

第一章1.4.3空間向量的應(yīng)用1.理解直線與平面所成角的概念.2.能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題.3.體會用空間向量解決立體幾何問題的三步曲.問題導(dǎo)學(xué)題型探究當(dāng)堂訓(xùn)練學(xué)習(xí)目標知識點利用空間向量求空間角思考1

空間角包括哪些角？問題導(dǎo)學(xué)

答案線線角、線面角、二面角.思考2求解空間角常用的方法有哪些？答案傳統(tǒng)方法和向量法.梳理空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應(yīng)的取值范圍，結(jié)合它們的取值范圍可以用向量法進行求解.(1)線線角：設(shè)兩條直線的方向向量分別為a，b，且a與b的夾角為φ，兩條直線所成角為θ，則cosθ＝____________.(3)二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為分別在二面角的兩個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的方向向量的夾角(注意：要特別關(guān)注兩個向量的方向).②先求出二面角一個面內(nèi)一點到另一面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角.如圖所示，已知二面角α－l－β，在α內(nèi)取一點P，過P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分別為O，A，連接AO，則AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的兩個半平面的法向量的夾角，然后結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補角的大小，從而確定二面角的大小.類型一求兩條異面直線所成的角題型探究

解建立如圖所示的空間直角坐標系，在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構(gòu)建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解.但應(yīng)用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線AE與CF所成角的余弦值.解不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,1,2)，類型二求直線和平面所成的角解建立如圖所示的空間直角坐標系，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1與側(cè)面A1ABB1所成的角.用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，再用向量的有關(guān)知識求解線面角.方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值.解由題設(shè)條件知，以點A為坐標原點，分別以AD，AB，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系(如圖所示).類型三求二面角例3

在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中點，求平面EAC與平面ABCD的夾角.解方法一如圖，以A為原點，分別以AC，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

設(shè)PA＝AB＝a，AC＝b，連接BD與AC交于點O，取AD中點F，(1)當(dāng)空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補)，但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.(2)注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.反思與感悟解如圖所示建立空間直角坐標系，當(dāng)堂訓(xùn)練

12345D1234512345解析取AC的中點為E，連接BE，則BE⊥AC，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，

∴BE⊥平面AA1C1C，123451234512345設(shè)AA1＝2AB＝2，則B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，

12345令z＝1，則y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2,1).設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為θ，

答案A123454.正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A－BD－C的正弦值為_______.解析取BC的中點O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標系，

123451234512345解析建立如圖所示的空間直角坐標系，12345所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成角為60°，所以斜線PC與平面ABCD所成角為30°.答案30°規(guī)律與方法(2)利用法向量求二面角的余弦值的步驟：第一步，求兩