隨機過程課文例題(考試必備)

定義1.10設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),稱g(t)==d==E(eitx)=j8eitxdF(x),—a<t<a—g為X的特征函數(shù).特征函數(shù)的性質(zhì):(1)g(0)=1, |g(t)|Wl,g(-t)=g(t).⑵g(t)在(-88)上一直連續(xù).⑶若隨機變量X的n階矩EXn存在，則X的特征函數(shù)g(t)可微分n次，且當(dāng)kWn時，有g(shù)(k)(0)=ikEXk。⑷g(t)是非負定函數(shù)。即對任意正整數(shù)n及任意實數(shù)t,t,t...,t和復(fù)數(shù)z,z，…，z,1 2 3n 1 2n有Yg(t—t)zz>0。klklk,l=1⑸若x，XX是相互獨立隨機變量，側(cè)X=X+X+...+X的特征函數(shù)12n12ng(t)=g(t)g(t)...g(t)其中g(shù)(t)是隨機變量X的特征函數(shù),i=1,2，?…n.1 2 n i i(6)隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定。例1.2設(shè)X服從B(n,p),求X的特征函數(shù)g(t)及EX、EX2、DX。解X的分布例為P(X=k)=ckpkqn—k,q=1—p,k=0,1,...n,ng(t)=Yeitkckpkqn—k=Yck(peit)kqn—knnk=0 k=0=(peit+q)n。又性質(zhì)知t=0=np,EX=—ig'(0)=—i—(pet=0=np,=npq+n2p2,t=0EX2=(—i)2g''(0)==npq+n2p2,t=0dt2DX=EX2—(EX)2=npq例1?3設(shè)X~N(0,1),求X的特征函數(shù)g(t).

seit-亍dx.-8.x2 x2 ]『 x2-由于|ixeitx-2|=Ixle—2，且 J81xIe—2dx.vs,故可對(1,2)式右端在積分號求導(dǎo)，2兀-81J8ixeitx-；dx二二J8eitx(de-1)—8i ?x2=ixeltx-2*2兀8-.1 Ji ?x2=ixeltx-2*2兀-8 2兀-8=—tg(t)，于是得微分方程g于是得微分方程g'(t)-tg(t)二0分離變量方程有譬一血兩邊積分的Ing(t)二-2t2+c,2故方程通解為g(t)=e由于g(0)=1，所以c=0,于是X得特征函數(shù)為g(t)=e~2例1.4隨機變量X的特征函數(shù)為g(t),Y=aX+b，其中a,b為任意實數(shù)，證明Y的特征X函數(shù)g(t)為 g(t)=eitbgx(at).YY證gY(t)=E[eit(aX+b)]=E[ei(ta)Xeitb]=eitbE[ei(ta)X]=eitbg(at)x定義1.12設(shè)X是非負整數(shù)值隨機變量,分布列p=P(X=k),k=0,1, ,k則稱P(s)==d==E(sx)=￡pskkk=0為X的母函數(shù)。母函數(shù)有以下性質(zhì)：非負整數(shù)隨機變量的分布列有其母函數(shù)唯一確定設(shè)P⑸是X的母函數(shù)，若EX存在，則EX=P'(1),若DX存在，貝I」DX=P''(1)+P'(1)-[P'(1)]2.3)獨立隨機變量只和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積.(4)若X,X,…是相互獨立且同分布的非負整數(shù)值隨機變量，N是與X,X，?…獨立1212的非負整數(shù)隨機變量，則Y二迓X的母函數(shù)H(S)二G(P(s))，其中G(s)、P(s)kk=1分別是N、X的母函數(shù)。1例1?6 設(shè)商場在一天的顧客數(shù)N服從參數(shù)九=1000的泊松分布，又設(shè)每位顧客所花費的錢X服從N(100,502)，求商店的日銷售額Z的平均值。i解由條件可知EN=1000，EX=100,故由(1.6)式EZ=EN?EX=1000x100=100000(元)1例1?7設(shè)商場一天內(nèi)的顧客到達人數(shù)N是參數(shù)為九的泊松隨機變量，每個顧客在該商場的消費是相互獨立的。其消費金額(元)都服從［0,a］上的均勻分布，求商場一天平均營業(yè)額。解：記X為商場一天的營業(yè)額，Y為第i個顧客在商場的消費金額i=1,2,...,N，則iX仝Y。ii=1九kP(N=k)=——e-九,k=0,1,2,...,k!1EY=—a,i=1,2,....Ni2由(1.8)式EX=另E(XIN=k)P(N=k)k=0=藝E(EY|N=k)P(N=k)ik=oi=1=EE(Ey)P(N=k)ik=o i=1=Ek?EY?P(N=k)1k=o=EY k?P(N=k)1=EY?EN=—a九(元)12第二章例2.5設(shè)隨機過程X(t)=Ycos(0t)+Zsin(0t),t>0,其中,Y、Z是相互獨立的隨機變量，且EY=EZ=0,DY=DZ 2，求｛x(t),t>0｝的均值函數(shù)m(t)和協(xié)方差函數(shù)B(s，t).XX解由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)EX(t)二E[Ycos(6t)+Zsin(6t)]二cos?)EY+sin?)EZ二0因為Y與Z相互獨立，故B(s,t)二R(s,t)二E[X(s)X(t)]Xx=E[Ycos(0s)+Zsin(0s)][Ycos?)+Zsin?)]=cos(0s)cos(0t)E(Y2)+sin(0s)sin(0t)E(Z2)=c2cos[(t-s)0].定義2.4設(shè)｛X(t),teT｝,｛Y(t),teT｝是兩個二階矩過程，側(cè)稱B(s,t)二二d二二E[(X(s)-m(s))(Y(t)-m(t))],s,teTXY X Y為｛X(t),teT｝與｛Y(t),teT｝的互協(xié)方差函數(shù)，稱R(s.t)二二d二二E[X(s)Y(t)]XY為｛X(t),teT｝與｛Y(t),teT｝的互相關(guān)函數(shù).如果對任意s,teT,有B(s,t)二0,則稱｛X(t),teT｝與｛Y(t),teT｝互不相XY關(guān).顯然有R(s.t)二R(s,t)-m(s)m(t).XY XY X Y例2.8設(shè)X(t)為信號過程,Y(t)為噪聲過程.令W(t)二X(t)+Y(t),則W(t)的均值函數(shù)為m(t)=m(t)+m(t),W X Y其相關(guān)函數(shù)為R(s,t)二E[x(s