九隨機過程的功率譜密度

2024/1/291隨機過程的功率譜密度引言在許多領域的理論與實際應用中，廣泛應用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號的頻譜、線性系統(tǒng)的頻率響應等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時域上計算確定性信號通過線性系統(tǒng)必須采用大量的卷積運算，轉換到頻域上分析時，可以變換成簡單的乘積運算，從而使運算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號分析的重要工具。在隨機信號分析領域能否應用傅立葉變換，隨機信號是否存在某種譜特征？回答是可以，不過在隨機信號情況下，必須進行某種處理以后，才能應用傅立葉分析這一工具。因為一般隨機信號的樣本函數不滿足傅立葉變換的絕對可積條件，即通常用信號在其定義域內的總量來表示信號的大小，稱為信號的規(guī)范量。 一階規(guī)范量，若?？煞e，即滿足 則一階規(guī)范量定義為 否則定義為6.1確定信號的大小、能量和功率確定信號的大小、能量和功率二階規(guī)范量，若?？煞e定義為

否則定義為樣本函數x(t)不滿足絕對可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機過程的功率譜。樣本函數x(t)的截取函數隨機信號的功率截取函數的傅立葉變換截取函數應滿足帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得取集合平均可得隨機過程的平均功率功率譜密度兩個結論1、隨機過程的平均功率可以通過對過程的均方值求時間平均得到。若隨機過程廣義平穩(wěn)2、若隨機過程廣義平穩(wěn)1、功率譜密度為非負的，即2、功率譜密度是ω的實函數。3、對于實隨機過程來說，功率譜密度是ω的偶函數，即功率譜密度的性質截取函數為t的實函數，根據傅立葉變換的性質于是4、功率譜密度可積，即功率譜密度的表達式為 其中功率譜密度可表示為功率譜密度與自相關函數由得對于廣義平穩(wěn)隨機過程則維納－辛欽定理

平穩(wěn)隨機過程的自相關函數和功率譜密度的對應關系：例已知零均值平穩(wěn)過程X(t)的互譜密度

定義兩個截取函數為二者滿足絕對可積的條件，則聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密度

定義兩隨機過程的互功率為應用帕塞瓦定理下面求平均功率，得平均功率

互功率譜密度定義為1、對于實隨機過程X(t)、Y(t)有2、若X(t),Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有

互譜密度與互相關函數高斯過程定義：如果對于任意時刻，隨機過程的任意n維隨機變量服從高斯分布，則X(t)就是高斯過程。高斯過程的n維概率密度函數為：式中m,x為n維向量

C為協(xié)方差矩陣

6.7高斯過程與白噪聲高斯過程與白噪聲廣義平穩(wěn)正態(tài)過程定義：若正態(tài)隨機過程X(t)的均值和方差都是與時間無關的常數，而自相關函數只取決于時間間隔，則稱此正態(tài)過程為廣義平穩(wěn)正態(tài)過程。

性質1：寬平穩(wěn)高斯過程一定是嚴平穩(wěn)過程。性質2：若平穩(wěn)高斯過程在任意兩個不同時刻是不相關的，那么也一定是互相獨立的

性質3：平穩(wěn)高斯過程與確定時間信號之和仍是高斯過程。

高斯過程性質性質4：若正態(tài)隨機過程在T上是均方可積的，則也是正態(tài)過程。性質5：若正態(tài)隨機過程在T上是均方可微的，則其導數也是正態(tài)過程。高斯過程性質（1）從噪聲與電子系統(tǒng)的關系來看：內部噪聲：系統(tǒng)本身的元器件及電路產生的。外部噪聲：包括電子系統(tǒng)之外的所有噪聲。（2）根據噪聲的分布：高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲。均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲。（3）從功率譜的角度來看：白噪聲：如果一個隨機過程的功率譜為常數，無論是什么分布，都稱它為白噪聲。色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。噪聲的分類

噪聲的分類一個均值為零，功率譜密度在整個頻率軸上為非零常數，即

的平穩(wěn)過程N(t)，稱為白噪聲過程，簡稱為白噪聲。理想白噪聲

白噪聲過程利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關函數為：白噪聲的相關系數

若平穩(wěn)過程N(t)在有限頻帶上的功率譜密度為常數，在頻帶之外為零，則稱N(t)為理想帶限白噪聲。理想白噪聲

帶限白噪聲若白噪聲的功率譜在內不為零，而在其外為零，且分布均勻，其表達式為稱這類白噪聲為低通白噪聲。自相關函數為

低通白噪聲