高考數(shù)學一輪復習 練案（66）第九章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第五講 古典概型（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

[練案66]第五講古典概型A組基礎鞏固一、單選題1．(2020·甘肅蘭州一中月考)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點分別為x，y，則log2xy＝1的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,36)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,2)[解析]要使log2xy＝1，則要求2x＝y(tǒng)，∴符合題意的基本事件數(shù)為3，而基本事件總數(shù)為36，∴概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．(2020·陜西漢中質檢)中國將于今年9月3日至5日舉行國家領導人第九次會晤．某志愿者隊伍共有5人負責接待，其中3人擔任英語翻譯，另2人擔任俄語翻譯．隨機選取2人，恰有1個英語翻譯，1個俄語翻譯的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).故選C.3．(2019·合肥二模)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,12)[解析]所求事件的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),A\o\al(2,4))＝eq\f(1,3).故選A.4.(2019·湖南岳陽一中質檢)某市為加強城市的建設，計劃對周邊如圖所示的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H八個中小城市進行綜合規(guī)劃治理，第一期工程擬從這八個中小城市中選取三個城市，但要求沒有任何兩個城市相鄰，則城市A被選中的概率為(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).故選A.5．第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日在武漢舉行，現(xiàn)有A，B，C，D，E,5名志愿者分配到甲，乙，丙三個體育館參加志愿者活動，每個體育館至少安排一人且A和B是同學需分配到同一體育館，則甲體育館恰好安排了1人的概率是(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[解析]因為A和B是同學需分配到同一體育館所以把A，B看成一個元素，又每個體育館至少安排一人，所有的基本事件有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝eq\f(4×3,2)×3×2×1＝36，甲體育館恰好安排了1人的基本事件有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝3×eq\f(3×2,2)×2×1＝18，甲體育館恰好安排了1人的概率為eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).故選A.6．(2019·重慶巴蜀中學模擬)已知平面上有3個點A，B，C，在A處放置一個小球，每次操作時將小球隨機移動到另一個點處，則4次操作之后，小球仍在A點的概率為(D)A．eq\f(11,16) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,8)[解析]由圖可知所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，故選D.7．(2020·江西新余期末)今年4月，習近平總書記專程前往重慶石柱考察了“精準脫貧”工作，為了進一步解決“兩不愁，三保障”的突出問題，當?shù)匕才虐?、乙在內?名專家對石柱縣的3個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)進行調研，要求每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排一名專家，則甲、乙兩名專家安排在不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為(A)A．eq\f(19,25) B．eq\f(17,20)C．eq\f(16,25) D．eq\f(19,40)[解析]記甲、乙兩名專家被分配在同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的事件為A,5名專家分到3個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有2種情況，1種情況為1,1,3人，另1種情況為1,2,2人．那么P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3)＋\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3))＝eq\f(6,10＋15)＝eq\f(6,25)，所以甲、乙兩名專家不在同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為：P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq\f(19,25).故選A.8．(2019·河北省衡水中學一模)某單位共有36名員工，按年齡分為老年、中年、青年三組，其人數(shù)之比為3︰2︰1，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為12的樣本，則青年組中甲、乙至少有一人被抽到的概率為(B)A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(25,36) D．eq\f(11,36)[解析]由題意可知青年組有eq\f(36,3＋2＋1)＝6(人)，從中抽取2人，故所求概率P＝1－eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,5)，故選B.二、多選題9．以下對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(BCD)A．甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适莈q\f(1,3)B．每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如8＝3＋5，在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,15)C．將一個質地均勻的正方體骰子(每個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6)先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是6的概率是eq\f(5,36)D．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產品全是正品的概率是eq\f(1,2)[解析]玩一局甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(2,3)，A錯；不超過14的素數(shù)為2,3,5,7,11,13共6個，故從中任取兩個數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，B正確；對于C，點數(shù)之和為6的情況只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5種情況，所求概率P＝eq\f(5,C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(5,36)，C正確；對于D，所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，D正確．故選BCD.10．下列關于各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(ABC)A．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表，甲被選中的概率為eq\f(2,3)B．四條線段的長度分別是1,3,5,7，從這四條線段中任取三條，則所取出的三條線段能構成一個三角形的概率是eq\f(1,4)C．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為eq\f(1,3)D．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一個元素，則該元素是集合A∩B中的元素的概率為eq\f(3,5)[解析]對于A，從甲、乙、丙三人中任選兩人有(甲、乙)，(甲、丙)，(乙，丙)，共3種情況，其中，甲被選中的情況有2種，故甲被選中的概率為P＝eq\f(2,3)，故A正確；對于B，從四條長度各異的線段中任取一條，每條被取出的可能性均相等，所以該試驗屬于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四種情況，而能構成三角形的基本事件只有(3,5,7)一種情況，所以所取出的三條線段能構成一個三角形的概率是P＝eq\f(1,4)，故B正確；對于C，該樹枝的樹梢有6處，有2處能找1到食物，所以獲得食物的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故C正確；對于D，因為A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7)，故D錯誤．故選ABC.三、填空題11．(2020·廣東調研)某中學音樂社共有9人，其中高一的同學有4人，高二的同學有3人，高三的同學有2人，他們排成一排合影，則同年級的同學都排在一起的概率為eq\f(1,210).[解析]由捆綁法可得所求概率P＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)A\o\al(4,4)A\o\al(3,3),A\o\al(9,9))＝eq\f(1,210).12．(2019·溫州十校聯(lián)考)記一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為A.若A是不超過5的奇數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為1的概率為eq\f(2,9).[解析]根據(jù)題意，個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)且不超過5的兩位數(shù)有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9個，其中個位是1的有21,41，共2個，因此所求的概率為eq\f(2,9).13．(2019·武漢調研)某同學同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\r(5)的概率是eq\f(1,6).[解析]由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.當a＝1時，b＝3,4,5,6四種情況；當a＝2時，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結果．∴所求事件的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).四、解答題14．(2020·3月份北京市高考適應性考試)為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質生態(tài)產品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況．現(xiàn)分別從A，B，C三塊試驗田中各隨機抽取7株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表(單位：厘米)：A組10111213141516B組12131415161718C組13141516171819假設所有植株的生長情況相互獨立．從A，B，C三組各隨機選1株，A組選出的植株記為甲，B組選出的植株記為乙，C組選出的植株記為丙．(Ⅰ)求丙的高度小于15厘米的概率；(Ⅱ)求甲的高度大于乙的高度的概率；(Ⅲ)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0.從A，B，C三塊試驗田中分別再隨機抽取1株該種植物，它們的高度依次是14,16,15(單位：厘米)．這3個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，試比較μ0和μ1的大?。?結論不要求證明)[解析](1)設“丙的高度小于15厘米”為事件M，因為丙的高度小于15厘米的有13厘米、14厘米的兩株，所以P(M)＝eq\f(2,7).即丙的高度小于15厘米的概率為eq\f(2,7).(2)設“甲的高度大于乙的高度”為事件N.記A組7株植物依次分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7.B組7株植物依次分別為B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7.從A中選出甲，從B中選出乙共有7×7＝49種情況，其中滿足甲的高度大于乙的高度的有：(A4，B1)、(A5，B1)、(A5，B2)、(A6、B1)、(A6、B2)、(A6、B3)、(A7，B1)、(A7，B2)、(A7，B3)、(A7，B4)共10種．所以P(N)＝eq\f(10,49).即甲的高度大于乙的高度的概率為eq\f(10,49).(3)μ0<μ1.15．(2019·蘭州雙基測試)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．[解析](1)由題意，所有可能的結果為33，共27種．設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).B組能力提升1．(2020·鄭州質檢)現(xiàn)有四所大學進行自主招生，同時向一所高中的已獲省級競賽一等獎的甲、乙、丙、丁四位學生發(fā)錄取通知書，若這四名學生都愿意進入這四所大學的任意一所就讀，則僅有兩名學生被錄取到同一所大學的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(9,16)C．eq\f(11,16) D．eq\f(7,24)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,4)·A\o\al(3,4),44)＝eq\f(9,16).2．(2020·廣西柳州鐵路一中、玉林一中聯(lián)考)共有編號分別為1,2,3,4,5的五個座位，在甲同學不坐2號座位，乙同學不坐5號座位的條件下，甲、乙兩位同學的座位號相加是偶數(shù)的概率為(A)A．eq\f(5,13) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,12)[解析]所求事件的概率P＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3))＝eq\f(5,13)，選A.3．(2020·四川成都月考)2021年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準備選歷史，假若他們都對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)[解析]每個人的選法有Ceq\o\al(2,4)＝6種，兩人選的不同結果有36種，選法相同的有6種，故所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).故選D.4．(2020·安徽蕪湖期末)某校高三年級有男生410人，學號為001,002，…，410；女生290人，學號為411,412，…，700對高三學生進行問卷調查，按學號采用系統(tǒng)抽樣的方法，從這700名學生中抽取10人進行問卷調查(第一組采用簡單隨機抽樣，抽到的號碼為030)；再從這10名學生中隨機抽取3人進行數(shù)據(jù)分析，則這3人中既有男生又有女生的概率是(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(7,10) D．eq\f(4,5)[解析]由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人