高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題17 任意角的三角函數(shù)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題17任意角的三角函數(shù)一、【知識精講】1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同． 2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2有關(guān)角度與弧度的兩個注意點(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝eq\a\vs4\al(y)，cosα＝eq\a\vs4\al(x)，tanα＝eq\a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)．(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(1)一個口訣三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r＝|OP|，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)象限角(4)軸線角二、【典例精練】考點一角的概念及其集合表示【例1】(1)若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．【答案】(1)C(2)－675°或－315°【解析】(1)∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角.(2)所有與45°終邊相同的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.【解法小結(jié)】1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷.考點二弧度制及其應(yīng)用【例2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的面積.【解析】由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10，∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×102＝eq\f(50π,3)(cm2).【解法小結(jié)】1.應(yīng)用弧度制解決問題的方法：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.2.求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.考點三三角函數(shù)的概念【例3】(1)(2018·全國Ⅰ卷)已知角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，則|a－b|＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(2\r(5),5) D.1(2)滿足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合為________.【答案】(1)B(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))【解析】（1）由題意可知tanα＝eq\f(b－a,2－1)＝b－a，又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－（b－a）2,1＋（b－a）2)＝eq\f(2,3)，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝eq\f(1,5)，則|b－a|＝eq\f(\r(5),5).答案B(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).【解法小結(jié)】1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標(biāo)，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解.【思維升華】1.在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點.|OP|＝r一定是正值.2.在解決簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng).【易錯注意點】1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角.2.相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等.3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.三、【名校新題】1.(2019·石家莊模擬)已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點的坐標(biāo)為(sin150°，cos150°)，則α＝()A．150° B．135°C．300° D．60°【答案】C【解析】由sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，可知角α終邊上一點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故該點在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，因為0°≤α<360°，所以角α為300°.2.(2019·西安一中月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，若點A，B的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，則cos(α＋β)的值為()A.－eq\f(24,25) B.－eq\f(7,25) C.0 D.eq\f(24,25)【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義可得cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，cosβ＝－eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(3,5).所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－eq\f(24,25).3.(2019·石家莊模擬)已知點M在角θ終邊的反向延長線上，且|OM|＝2，則點M的坐標(biāo)為()A.(2cosθ，2sinθ) B.(－2cosθ，2sinθ)C.(－2cosθ，－2sinθ) D.(2cosθ，－2sinθ)【答案】C【解析】由題意知，M的坐標(biāo)為(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cosθ，－2sinθ).4.（2019安徽省示范高中高三測試）角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點P（4，y）,且sinθ=?A.?43B.43C.【答案】C【解析】因為角θ的終邊經(jīng)過點P（4，y）,sinθ=?35，所以θ5.（2018安徽合肥二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由誘導(dǎo)公式可得：，，所以，由三角函數(shù)的定義可得：，則.故選B.6.（2019河北唐山一中模擬）已知角的終邊經(jīng)過點P?8m,?6sin30A.?12B.12C.-【答案】B【解析】由題意得，點P到原點的距離r=64m∴m>0,解得m=7.(2019·濰坊一模)若角α的終邊過點A(2，1)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝()A.－eq\f(2\r(5),5) B.－eq\f(\r(5),5) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)【答案】A【解析】由三角函數(shù)定義，cosα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝－cosα＝－eq\f(2\r(5),5).8.（2018江西南昌一模）已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義知，，所以.故選A9.（2019廣州模擬）點P的坐標(biāo)為（2,0），射線OP順時針旋轉(zhuǎn)20100后與圓xA.?2,2B.?3【答案】B【解析】順時針旋轉(zhuǎn)20100后，終邊所在位置是-2100，即1500，設(shè)Qx010.（2019荊州市高三八校第一次聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】B【解析】，所以．11.(2019·江蘇高郵模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點P的坐標(biāo)為(1，m)，則實數(shù)m的值為________．【答案】eq\r(3)【解析】∵60°角終邊上一點P的坐標(biāo)為(1，m)，∴tan60°＝eq\f(m,1)，∵tan60°＝eq\r(3)，∴m＝eq\r(3).12.(2019·許昌調(diào)研)設(shè)α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝________.【答案】－eq\f(4,3)【解析】因為α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).13.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】(－2，3]【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.14.函數(shù)y＝eq\r(2sinx－1)的定義域為________.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)【解析】∵2sinx－1≥0，∴sinx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z).15.已知sinα<0，tanα>0.(1)求角α的集合；(2)求eq\f(α,2)的終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號.【解析】(1)由sinα<0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合為eq\b\l