杭電研一課件數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

了解數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu)本章學習目標第四章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)理解數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法掌握IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)掌握FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)1一、數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法離散時間系統(tǒng)輸入輸出的表示方法：系統(tǒng)實現(xiàn)：模擬或數(shù)字。將表示方法轉(zhuǎn)換為一種以所需要的技術(shù)能實現(xiàn)的算法或結(jié)構(gòu)。差分方程:系統(tǒng)函數(shù):單位沖擊響應:2基本運算單元加法器

方框圖流圖常數(shù)乘法器理論上可以有任意多個輸入，實際中只用兩個輸入。單位延時若M個延時，用表示，真正實現(xiàn)一般用級聯(lián)M個單位延時來完成。數(shù)字實現(xiàn)中用單位延時的存儲寄存器來完成。3舉例：二階數(shù)字濾波器方框圖流圖4軟件實現(xiàn)：方框圖是計算機或DSP實現(xiàn)時編程的基礎(chǔ)。硬件實現(xiàn)：方框圖決定系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。運算過程：可以將上面的二階的系統(tǒng)推廣到高階的差分方程。一個方框圖可以不同方式重新組織或變化而不改變總的系統(tǒng)函數(shù)。不同的方框圖代表不同的運算算法。5二、IIR數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)1、系統(tǒng)的單位抽樣響應h[n]無限長2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z平面有極點存在3、存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)：差分方程：IIR數(shù)字濾波器的特點6IIR數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型、正準型、規(guī)范型）級聯(lián)結(jié)構(gòu)并聯(lián)結(jié)構(gòu)71、直接Ⅰ型共需要N＋M個延時單元先零點后極點實現(xiàn)82、直接Ⅱ型（典范型）只需要N個延時單元，N階系統(tǒng)至少需要N個延時。將直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)中的兩個子系統(tǒng)交換位置。（滿足交換律）先極點后零點實現(xiàn).（思考：軟件編程過程中有什么變化）9提醒注意在一些數(shù)字實現(xiàn)中，最少個數(shù)的常數(shù)乘法器和最少個數(shù)的延時支路最受歡迎。因為：1、乘法在數(shù)字硬件中是個耗時的運算。減少乘法器提高速度。2、每個延時單元對應一個存儲寄存器。減少延時單元減少存儲器。一般要求延時的最小個數(shù)是（M,N）中的最大值。具有最少延時單元數(shù)目的實現(xiàn)通常稱為規(guī)范型實現(xiàn)。10其他考慮1、在VLSI實現(xiàn)中，芯片尺寸往往是最重要的指標，所以要求數(shù)據(jù)傳送模塊化和簡單化；2、在多處理器實現(xiàn)中，最重要的是算法的可分割性和處理器之間的通信要求；3、考慮有限寄存器長度和有限精度運算的影響，這些影響決定運算是以何種方式組織，也即決定信號流圖的結(jié)構(gòu)。11直接型的共同缺點運算的累計誤差較大。系數(shù)ak

，bk對濾波器的性能控制作用不明顯。極點對系數(shù)的變化過于敏感，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差。為了克服直接型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對有限字長效應敏感的缺點，通常將總系統(tǒng)分解成較小的子網(wǎng)絡，得到級聯(lián)或并聯(lián)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。123、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)將系統(tǒng)函數(shù)按零極點因式分解A為常數(shù)其中：13將共軛成對的復數(shù)組合成二階多項式，系數(shù)即為實數(shù)。為采用相同結(jié)構(gòu)的子網(wǎng)絡，也將兩個實零點（實極點）組合成二階多項式。14六階IIR濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)二階因子配對不是唯一的。15級聯(lián)型的特點與直接型相比，運算的累計誤差較小調(diào)整系數(shù)β1k

，β2k，能單獨調(diào)整濾波器的第k對零點，而不影響其它零極點。調(diào)整系數(shù)α1k，α2k能單獨調(diào)整濾波器的第k對極點，而不影響其它零極點。便于調(diào)整濾波器頻率響應性能具有最少的存儲器16在級聯(lián)型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中，存在三個困難或需要優(yōu)化1、子網(wǎng)絡的級聯(lián)次序是可以互換的，各個子網(wǎng)絡級聯(lián)次序如何排列是最優(yōu)的？2、零極點配對是任意的，那么零點和極點如何配對是最優(yōu)的？3、在濾波器內(nèi)的各個節(jié)點處，如何控制信號電平大小，以避免信號電平變得太大或太??？對于無限精度運算，不同的級聯(lián)方式總的傳輸函數(shù)理論上都相同，但是對于實際的有限字長運算來講，不同的搭配和排列產(chǎn)生不同的誤差，產(chǎn)生的誤差有傳遞積累現(xiàn)象，而且對于零極點位置變化的靈敏度也不同，提出最優(yōu)化問題。首要的原則：把互相最靠近的零極點配對到一起，以便避免在極點處出現(xiàn)大的幅度響應。174、并聯(lián)型將H(z)展開成部分分式：組合成實系數(shù)二階多項式：1819三階IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)20并聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點各并聯(lián)基本節(jié)的誤差互相不影響，故運算誤差最小。通過調(diào)整系數(shù)α1k

，α2k

可單獨調(diào)整一對極點位置，但不能單獨調(diào)整零點位置?？赏瑫r對輸入信號進行運算，故運算速度最高。21轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置定理：將原網(wǎng)絡中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入和輸出相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)不變。22例：設IIR數(shù)字濾波器差分方程為試用四種基本結(jié)構(gòu)實現(xiàn)此差分方程。解：對差分方程兩邊取z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)：23得到直接Ⅰ型24直接Ⅱ型25將H(z)因式分解得到級聯(lián)結(jié)構(gòu)：26將H（z）部分分式分解得到并聯(lián)結(jié)構(gòu)：27三、FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在除了零點以外處收斂，有限z平面只有零點，全部極點在原點。FIR數(shù)字濾波器的特點系統(tǒng)函數(shù)：有N－1個零點，z=0處有N－1個極點1）系統(tǒng)的單位抽樣響應是有限長，設為N點3）無輸出到輸入的反饋，一般為非遞歸型結(jié)構(gòu)。28系統(tǒng)函數(shù)：輸出響應：291、橫截型（卷積型、直接型）差分方程：轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)302、級聯(lián)型將H(z)分解成實系數(shù)二階因式的乘積形式：N為偶數(shù)時，其中有一個β2k＝0（N－1個零點）31級聯(lián)型的特點每個基本節(jié)控制一對零點，便于控制濾波器的傳輸零點系數(shù)比直接型多，所需的乘法運算多。（二階需要三個系數(shù)）323、頻率抽樣型結(jié)構(gòu)N點頻率抽樣H[k]（DFT）恢復H(z)的內(nèi)插公式：33子系統(tǒng)：是N節(jié)延時單元的梳狀濾波器，在單位圓上有N個等間隔角度的零點：頻率響應：34子系統(tǒng)：單位圓上有一個極點：與第k個零點相抵消，使該頻率ω=2πk/N處的頻率響應等于H(k)35極點在單位圓上，跟梳狀濾波器的零點抵消36頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點系數(shù)多為復數(shù)，增加了復數(shù)乘法和存儲量。若h[n]長度相同，則網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)完全相同，除了各支路增益H[k]，便于標準化、模塊化。優(yōu)點：調(diào)整H[k]就可以有效地調(diào)整頻率特性缺點：有限長效應可能導致零極點不能完全對消，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。37修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)將零極點移至半徑為r的圓上：r＜1且r≈1極點：38為使系數(shù)為實數(shù)，將共軛根合并由對稱性：又h[n]為實數(shù)，則N為偶數(shù)N為奇數(shù)39將第k個和第(N-k)個諧振器合并成一個實系數(shù)的二階網(wǎng)絡：40當N為偶數(shù)時，還有一對實數(shù)根（實軸上）41424、線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)FIR濾波器單位抽樣響應h[n]為實數(shù)，且滿足：偶對稱：h[n]=h[N-1-n]或奇對稱：h[n]=-h[N-1-n]則這種FIR濾波器具有嚴格線性相位。即對稱中心在(N-1)/243N為奇數(shù)時令n=N-1-m4445N為偶數(shù)時46數(shù)字濾波器的格型結(jié)構(gòu)對有限字長的舍入誤差不靈敏。格型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點：模塊化結(jié)構(gòu)便于實現(xiàn)高速并行處理M階格型濾波器可以產(chǎn)生1階到M階的M個橫向濾波器的輸出性能故廣泛應用于現(xiàn)代譜估計、語音信號處理、自適應濾波等。47定義m階多項式：定義上式的“反多項式”為很顯然：定義m＋1階多項式：反多項式為：481、全零點系統(tǒng)49設

分別表示為由輸入端x(n)至第m個基本單元上、下輸出端對應的系統(tǒng)函數(shù)?？梢酝瞥龇Q為反多項式50其中：求得：51全零點格型濾波器（FIR）由上面兩式可以看出，利用格型結(jié)構(gòu)可以從低階濾波器推出高階，反之，從高階到低階同樣可以實現(xiàn)。關(guān)鍵是參數(shù)k。52上式第二行等式左邊常數(shù)項為0，則右邊第二行的常數(shù)項也應該為0。利用上述結(jié)果通過遞推可確定H(z)的格型反射系數(shù)k。53根據(jù)：計算m=N-1，…,1,0時的反射系數(shù)54舉例：畫出下面系統(tǒng)函數(shù)所