2024年新東方初中數(shù)學(xué)初一年級寒假 滿分版 第9講 平行線的性質(zhì)與判定的綜合含答案

2024年新東方初中數(shù)學(xué)初一年級寒假滿分版第9講

平行線的性質(zhì)與判定的綜合含答案第9節(jié)平行線的性

質(zhì)與判定的綜合

目標(biāo)層級圖

課前檢測

1.下列命題正確的是（）

A.若兩相等的角有一邊平行，則另一邊也互相平行

B.一條直線有且只有一條垂線

C.兩條不相交的直線叫做平行線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

2.下面各語句中，正確的是（）

A.同角或等角的余角相等B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.互補(bǔ)的兩個(gè)角不可能相等D.相等的角是對頂角

3.如圖，已知直線a、匕被直線c所截，那么41的同位角是（）

\A.Z2B.Z3

C.z.4D.Z5

4.如圖，下列條件中，不能判斷直線川比的是（)

.

A.z.1=z3B.z.2=z3C.匕4=25C>.z.2+z.4=180°

5.閱讀下面的推理過程，在括號內(nèi)填上推理的依據(jù),如圖：

因?yàn)?1+42=180°,42+/4=180°（已知）

所以乙1=44,（）

所以QIIC.（）

又因?yàn)?2+43=180。（已知）

乙3=46（）

所以￡2+46=180。，（等量代換)

所以a||b.（）

所以b||c.()

課中講解

兩種模型

內(nèi)容講解

（一）“鉛筆”模型

例1.如圖，已知48//CO,ZJ=120°,ZC=130°,那么N4PC的度數(shù)是

)

C.120°D.130°

過關(guān)檢測

1.如圖,直線相//CD,4E1CE于點(diǎn)E,若/〃0=120。，貝lj/EC。的度數(shù)是（）

A.120°B.100°C.150°D.160°

2.如圖，若ABiCDHEF,則N-4C+N/CE+NCE/的度數(shù)為（）

AB

（74D

EF

A.360。B.270°C.180°D.無法確定

3.如圖，已知/B//CO,則Na,Ny之間的等量關(guān)系為（）

A.Za+Z^-Z/=180°B./夕+々-Na=180。

C.Na+"+々=360。D.Za+Z^+Z/=180°

例2.如圖，AB1/CD,則下列等式正確的是（）

B.Zl-Z2=180°-Z3

C.Zl-Z3=180°-Z2D.Z1+Z2+Z3=I8O°

過關(guān)檢測

1.加圖，己知/R4E=87°,/DC?=121。，則/”的度數(shù)為()

A

DB

A.28°B.34°C.56°D.46°

例3.己知如圖，ABHCD,試解決下列問題：

(1)Z1+2.2=______________；

(2)zl+z2+z3=______________；

(3)zl+z.2+z3+z4=______________：

(4)試探究z.l+N2+z3+N4+...+Zn=______________.

A____BA____BABA____B

-H

N7____

匚仁慰CD

CDe—D

過關(guān)檢測

1.如圖，一環(huán)湖公路的18段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后,又變成了東西方向的尸E段，

則Z5+ZC+ZD+ZE的度數(shù)是()

AB

、c

/D

FE

A.360°B.540℃.720°D.900°

3.如圖，已知直線43//CQ,直線￡戶分別與力8、CD交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)〃在直線CQ

上，HGLEF于點(diǎn)G,過點(diǎn)作GP///8.則下列結(jié)論：

①N4MF與ZDNF是同旁內(nèi)角；

②ZPGM=NDNF；

③4BMN+4GHN=9/；

@/AMG+Z.CHG=270°.

其中正確結(jié)論的序號是-

（二）“豬蹄”模型

若AB//CD,求：，B、，D、/BPD的等量關(guān)系。

模型結(jié)論證明

AB

CD

CD

三

P

例1.如圖，AB//CD,且N4=25。，ZC=45°,則NE的度數(shù)是（）

A.60°B.70°C.110°D.80°

例2.如圖，在平行線＞4之間放置一塊直角三角板，三角板的銳角頂點(diǎn)力，4分別在直

線4，上，若/1=55。，則N2的度數(shù)是（）

/1

1

Q

BA.25°B.30°C.35。D.40°

過關(guān)檢測

1.如圖，EF//MN,CA1CBfNE4c=35。，則NM5C的度數(shù)是

2.如圖，直線"/〃7,將含有45。角的三角板48C的直角頂點(diǎn)。放在直線加上，若N1=250,

C.30°D.35°

例3.如圖，已知4〃4，MN分別和直線4、4交于點(diǎn)力、B,ME分別和直線4、4交于

點(diǎn)。、點(diǎn)P在上(尸點(diǎn)與4、B、”三點(diǎn)不重合).

(1)如果點(diǎn)P在力、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，Na、4、//之間有何數(shù)量關(guān)系請說明理由;

(2)如果點(diǎn)尸在4、8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Na、邛、//有何數(shù)量關(guān)系(只須寫出結(jié)論).

過關(guān)檢測

I.如圖，直線AC/JBD,連接直線4C、6。及線段43把平面分成①、②、③、

④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在某個(gè)部分時(shí)，連接&,PB,

構(gòu)成NP彳C,ZAPB,/尸80三個(gè)角.（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角

是0°角）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第①部分時(shí)，求證：NAPB=/PAC+NPBD；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第②部分時(shí)，NAPB=NPAC+NPBD是否成立?（直接回答成立或不

成立）

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第③部分時(shí)，全面探究NR4C,ZAPB,N尸8。之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)

點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論,選擇其中一種結(jié)論加以證明.

例4.如圖，ABHEF,則4,ZC,NO,NE滿足的數(shù)量關(guān)系是()

A.N/+NC+NO+N￡=360cB.ZJ+ZD=ZC+Z￡

C.ZJ-ZC+ZD+ZE=180°D.ZE-ZC+ZD-Z^=90°

過關(guān)檢測

1.如圖，AB//EF,ZC=90°,則a、夕和7的關(guān)系是()

A./3=a+yB.a+夕+7=180。C.a+￡—y=90。D./?+y-a=180°

2.如圖，已知48//C。，EFUCD,乙48C=45。，ZC￡F=150°,則N8CE等于度.

D

二.平行線的判定和綜合

內(nèi)容講解

例1.同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

(1)如圖1,若AB//CD,點(diǎn)、P在AB、C0內(nèi)部，請寫出N8P。、ZB、N。之間的數(shù)量

關(guān)系(不必說明理由)；

(2)如圖2,將直線46繞點(diǎn)8逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一定角度交直線8于點(diǎn)。，利用(1)中的

結(jié)論求NBP。、4B、NO、N80O之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,設(shè)8產(chǎn)交/C于點(diǎn)A/,AE交DF于點(diǎn)、N.已知N/M8=140。，乙4NF=105°,

利用(2)中的結(jié)論直接寫出N8+NE+N尸的度數(shù)和乙4比/斤大多少度.

過關(guān)檢測

1.如圖，直級PQHMN，點(diǎn)C是PQ、A/N之間(不在直線尸0,MN上)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

(1)若N1與N2都是銳角，如圖甲，請直接寫出/C與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若把一塊三角尺(/4=30。,/。=90。)按如圖乙方式放置，點(diǎn)O,E,尸是三角尺的邊

與平行線的交點(diǎn)，若NAEN=/A、求尸的度數(shù)；

(3)將圖乙中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖丙，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G

在線段C。上，連接EG,且有NCEG=NCEM,求空處的值；

Z.BDF

例2.如圖1,AB/ICD,NP4B=125°,NPCD=115。,求乙4PC的度數(shù).

小明的思路是：過P作尸通過平行線性質(zhì)來求N4PC.

（1）按小明的思路，易求得乙4PC的度數(shù)為度；

（2）如圖2,X8//CO,點(diǎn)尸在直線a上運(yùn)動(dòng)，記NPAB=a,NPCD=p,當(dāng)點(diǎn)尸在8、

。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問乙4PC與。、尸之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)尸在8、。兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)尸與點(diǎn)8、。兩點(diǎn)不重合）,

請直接寫出N/PC與a、￡之間的數(shù)量關(guān)系

過關(guān)檢測

1.問題情境：如圖1,ABHCD,NP48=130。，ZPCP=120°,求/彳PC的度數(shù).

小明的思路是：過P作PE//48,通過平行線性質(zhì)來求N4PC.

（1）按小明的思路，易求得N4PC的度數(shù)為度；

（2）問題遷移：如圖2,ABHCD,點(diǎn)尸在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記N"8=a,ZPCD=。,

當(dāng)點(diǎn)P在8、。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問/力PC與。、夕之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)尸在5、0兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)尸與點(diǎn)0、B、。三點(diǎn)不

重合），請直接寫出N4PC與。、尸之間的數(shù)量關(guān)系.

例3.如圖，已知48//CO,乙4=40。.點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)彳不重合)，CE、

C"分別平分N4C2和/QCP交射線/夕于點(diǎn)E、F.

(1)求NEW的度數(shù)：

(2)隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)，乙4PC與N/FC之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請求出此數(shù)

量關(guān)系；若改變，請說明理由；

(3)當(dāng)NNEC=/ZC戶時(shí)，求N/PC的度數(shù).

過關(guān)檢測

I.如圖，已知AMNBN,44=60。，點(diǎn)尸是射線M上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)力不重合)，BC,BD

分別平分ZABP和ZPBN,分別交射線4以于點(diǎn)C,D.

(1)ZCBD=

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，NACB=NABD,則此時(shí)445。=

(3)在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，4PB與的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個(gè)比

值：若變化，請找出變化規(guī)律.

例4.已知，直線48//O。，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接力P與CP.

(1)如圖1,點(diǎn)P在直線48、CO之間，當(dāng)/艮4P=60。，N0C尸=20。時(shí)，求乙4PC.

(2)如圖2,點(diǎn)2在直線44、8之間，/BAP與ZDCP的角平分線相交于點(diǎn)K,寫出ZAKC

與N4PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點(diǎn)P落在C。外，/B力?與NOCP的角平分線相交于點(diǎn)K,乙4KC與乙4PC有

何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

過關(guān)檢測

1.已知48//CO,解決下列問題:

(1)如圖①，BP、。戶分別平分/4BE、4CDE,若N￡=100。，求NP的度數(shù).

(2)如圖②，若N4BP=；N4BE,NCDP=；/CDE,試寫出NP與NE的數(shù)量關(guān)系并說

明理由.

(3)如圖③，若NABP=L/ABE,NCDP=、NCDE,設(shè)NE=m。，求NP的度數(shù)(直接

nn

例5.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路''為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩

座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示，燈/射線從4W開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至.4加便立即回轉(zhuǎn)，燈B射

線從3尸開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至5。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈力轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是

每秒2度，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ//MN,且

NBAM"BAN=2:1.

(1)填空：ZBAN=。；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈4射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈8射線到達(dá)80之前，4燈轉(zhuǎn)動(dòng)

幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈力射線到達(dá)XN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過。作

NACD交PQ于點(diǎn)、D,且//。。=120。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄颗cNBCZ)的數(shù)量

關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.

（圖D（圖2）

過關(guān)檢測

1.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江

水及兩岸河堤的情況.如圖1，燈4射線自4M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ZN便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線自

8P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)：兩燈不停交叉照射巡視.若燈力轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是。度/秒,

燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是8度/秒，且a、b滿足|〃-36|+5+6-4)2=0.假定這一帶長江兩岸河

堤是平行的，即P0//MM,且NB4V=45。

(1)求a、b的值；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈彳射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈8射線到達(dá)8。之前，力燈轉(zhuǎn)動(dòng)

幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈/射線到達(dá)彳N之前.若/射出的光束與8射出的光束

交于點(diǎn)C,過C作C0_L/C交尸。于點(diǎn)。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，/比1C與N8C。的數(shù)量關(guān)系

是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.已知：直線/J4，一塊含30。角的直角三角板如圖所示放置，4=25。，則N2等于（）

O

—A.30°B.35°C.40°D.45°

2.如圖，ABHEF,則4,NC,NO,NE滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

AB

A.4+/C+"+/￡=360B.ZJ+ZD=ZC+Z￡

C.ZJ-ZC+ZD+Z￡=180°D.ZE-ZC+ZD-ZJ=90°

3.如圖，已知，ABWCD,Z1=Z2,EPLFP,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A.Z1=Z3B.乙2+/4=90°C.Z.l+z3=90°D.乙3=44

4.如圖，在同一平面內(nèi)，直線I」/4,將含有60。角的三角尺48C的直角頂點(diǎn)C放在直線4

上，另一個(gè)頂點(diǎn)力恰好落在直線人上，若N2=40。，則N1的度數(shù)是.

5.如圖，mlIn,A,8為直線打，〃上的兩點(diǎn)，且N8_L8C,ZBAC=28°,則N1與N2

的度數(shù)之和為.

w4-._______

B

6.已知，如圖，AB1/CD,則Na、乙B、//之間的關(guān)系為

AB//CD,Zl=110°,Z2=120°則Na=

8.如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使41=120。，AB1BC,試求42的度數(shù).

I*

2.J

9.已知，AB//CD,卓、P為AB、CO之間一點(diǎn)，連接力C.

(1)如圖1,若力產(chǎn)平分N打C,CP平分N/CQ,求證：APLCP；

(2)如圖2,若ZPCD=2ZBAP,Z.APC=90°,ZACP=5ZPAC,廷長/尸交CD于點(diǎn)E,

試探究N4C與乙4EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(注意：本題不允許使用三角形內(nèi)角和為180。)

10.如圖，已知直線點(diǎn)力、8在直線.上，點(diǎn)C、。在直線乙上，點(diǎn)。在點(diǎn)。的右

側(cè)，ZJDC=80°,^ABC=n°,BE平分Z）E平分N4OC,直線BE、DE交于點(diǎn)

E.

（1）寫出N￡OC的度數(shù)；

（2）試求N8EO的度數(shù)（用含〃的代數(shù)式表示）；

（3）將線段向右平行移動(dòng)，使點(diǎn)8在點(diǎn)力的右側(cè)，其他條件不變，請畫出圖形并直接

寫出/8EO的度數(shù)（用含〃的代數(shù)式表示）.

家長簽字：____________

第9節(jié)平行線的性質(zhì)與判定的綜合

目標(biāo)層級圖

本節(jié)是初一下冊第二章的內(nèi)容，本講的內(nèi)容是針對平行線的性質(zhì)與判

定的綜合題型，包括常用的兩種模型-“豬蹄”以及“鉛筆”模型的簡單

運(yùn)用和綜合使用，以及平行線與其他的結(jié)合（角平分線、動(dòng)點(diǎn)等），

難度相對于上一講來說會(huì)偏大一些。

課前檢測

1.下列命題正確的是（D）

A.若兩相等的角有邊平行，則另邊也互相平行

B.一條直線有且只有一條垂線

C.兩條不相交的直線叫做平行線

D.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

2.下面各語句中，正確的是（）

A.同角或等角的余角相等

B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線平行

C.互補(bǔ)的兩個(gè)角不可能相等

D.相等的角是對頂角

【解答】解：A,同角或等角的余角相等，正確；

8、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，錯(cuò)誤；

C、互補(bǔ)的兩個(gè)角可能相等，錯(cuò)誤；

。、相等的角不一定是對頂角，錯(cuò)誤；

故選：A.

3.如圖，已知直線如b被直線c所截，那么N1的同位角是（）

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【解答】解：Z1的同位角是N5,

故選：D.

4.如圖，下列條件中，不能判斷直線/1〃/2的是（

A.Z1=Z3B.Z2=Z3C.Z4=Z5D.N2+N4

=180°

【解答】解：/、根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判斷直線小〃/2,故此選項(xiàng)

不合題意；

B、N2=N3,不能判斷直線故此選項(xiàng)符合題意；

。、根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判斷直線故此選項(xiàng)不合題意；

。、根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判斷直線八〃，2,故此選項(xiàng)不合題意;

故選：B.

5.閱讀下面的推理過程，在括號內(nèi)填上推理的依據(jù)，如圖：

因?yàn)镹l+N2=180。，Z2+Z4=180°（己知）卜/2

所以N1=N4,（同角的余角相等）°——-LV-

所以a〃c.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行評——「

又因?yàn)镹2+N3=180。（已知）

N3=N6（對頂角相等）

所以N2+N6=180。，（等量代換）

所以a〃b.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

所以b〃c.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

課中講解

兩種模型

內(nèi)容講解

（一）“鉛筆”模型

①：

結(jié)論：若AB〃CD,貝ij：ZPBA+ZBPD+ZDPC=360°

（證明：過點(diǎn)P作尸￡〃49,

*：AB//CD.

：.AB//PE//CD,

：.ZPAB+ZAPE=\^0,NPC7）+NCPE=180°,

V/APC=NAPE+NCPE,

\AZAPC+ZPAB+ZPCD=360°；J

②:

例1.如圖，己知力8//CO,44=120。，ZC=130°,那么4PC的度數(shù)是（）（根據(jù)

平行線的性質(zhì)即可求解,考察鉛筆模型的結(jié)論記憶）

A.100°B.110°C.120°D.130°

解：過戶作宜線MN//43,如下圖所示，

?;MN口AB,

.?.4+4=180。（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

Zl=180°-ZJ=l80。-1205=60°,

?;MNMAB,AB//CD,

:.MN//CD,

/.ZC+Z2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

/.Z2=180°-ZC=l80°-130°=50°,

/.NAPC=Z1+Z2=60°+50°=110°,

故選：B.

過關(guān)檢測

1.如圖，直線AB//CD,AELCE于點(diǎn)E,若/￡48=120。，則48的度數(shù)是（）

A.120°B.100°C.150°D.160°

解：延長力E,與0c的延長線交于點(diǎn)產(chǎn)，

?/AB//CD,

.?.ZJ+ZJFC=180°,

■/Z￡J5=120°，

.\ZAFC=60°，

/AELCE,

Z.AEC=90°,

而ZAEC=Z.AFC+Z.ECF,

NECF=NAEC-ZF=30°,

z.ZECD=180°-30°=150°,

故選：C.

2.如圖，若ABi/CDI1EF,則N8/C+N/CE+NCE尸的度數(shù)為（）

A.360°B.270。C.180°D.無法確定

解：vABHCD//EF,

/.ZBJC+Z/iCD=180o,ZDC￡+ZC￡F=180°,

??.NBAC+ZACD+NDCE+ZCEF=360°，

即ZBAC+NACE+NCEF=360°，

故選：A.

3.如圖，已知/8〃CQ,則Na,/夕，Ny之間的等量關(guān)系為（）

AB

A.Za+Z/7-Z/=18O°B.N/+//-/。=180。

D.Na+N尸+Ny=180。

vAB!IEF!/CD,

々+"￡0=180°,

?/ZABE+ZFEB=\^O<>,/ABE=Na,ZFED+4FEB=Z。,

Zy+/FED+NABE+NFEB=360°,

Na+Z.p+Zy=360°,

故選：C.

例2.如圖，AB//CD,則下列等式正確的是（）（本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題

的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答，考察鉛筆模型變形結(jié)論的使用）

A.Z1=Z2+Z3B.Zl-Z2=180°-Z3

C.Zl-Z3=180°-Z2D.Zl+Z2+Z3=180°

解：如右圖所示，

-CD//AB,

Z4=Z3,

Z4=Z2+(1R0°-/l).

/.Z3=Z2+(18O°-Z1),

?..Zl-Z2=180°-Z3,

過關(guān)檢測

1.如圖，己知48//CO,NBAE=8，°,NDCE=121°,則NE的度數(shù)為()

D.46°

解：延長OC交于尸，

AB//CD,

:.NA=NEFC=87°,

NDCE=121。,

ZE=121°-87°=34°,

故選：B.

例3,已知如圖，AB//CD,試解決下列問題:

(1)Zl+Z2=；

(2)Zl+Z2+Z3=；

(3)Zl+Z2+Z3+Z4=；

(4)試探究N1十N2+N3+N4十…+Nn=.(考查了平行線的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是作輔助線，利用平行線的性質(zhì)計(jì)算角的大小，根據(jù)特殊情況推導(dǎo)一般規(guī)律)

解:⑴?.38，皿

.21+Z2=(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ));

(2)過點(diǎn)E作一條■線EF平行于AB.

AB/CD,

AB/EF.CD/EF,

：X\+￡AEF=180°,Zf^r+Z3=180°,

.?Nl+N2+N3=360°;

(3)過點(diǎn)E、F作EM、FN平行于AB.

AB/CD,

ABgEMIFNICD,

.\Z1+￡AEM=180°,

ZA/EF+乙EFN=180o,ZATfC+Z4=180,;

.?Nl+N2+3+N4=540°;

(4)中，根據(jù)上述規(guī)律,顯然作(n-1)條精助線,運(yùn)

用(n-1)次兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).即可

過關(guān)檢測

1.如圖，一環(huán)湖公路的48段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后，又變成了東西方向的尸E段,

則Z5+ZC+ZD+NE的度數(shù)是()

A.360°B.540℃.720°D.900°

解：如圖，根據(jù)題意可知:

AB/JEF,

B

FE

分別過點(diǎn)C,。作力8的平行線CG,DH,

所以ABUCG/IDHJ/EF,

貝S+4CG=180。，

ZGCD+Z/7DC=180°,

NHDE+NDEF=180°,

Z.B+Z.BCG+NGCD+NHDC+NHDE+/DEF=180。x3=540°,

NB+NBCD+NCDE+NE=540°.

3.如圖，已知直線直線跖分別與48、CD交于點(diǎn)、M、N,點(diǎn)H在直線CD

上，HGLEF于點(diǎn)、G,過點(diǎn)作GP//48.則下列結(jié)論：

①乙4MF與2DNF是同旁內(nèi)角；

②4PGM=4DNF、

③ZBMN+4GHN=90。；

④AAMG+ZCHG=270°.

其中正確結(jié)論的序號是-

E

解：4加尸與NON尸不是同旁內(nèi)角,

.?.①錯(cuò)誤；

vAB//CD,GP//AB,

AB//CD//GP，

:.NPGM=NCNM=ZDNF,NBMN=2HNG,NAMN+NHNG=180°,故②正確;

HG±MN,

NHNG+/GHN=90°,

:"BMN+NGHN=90。,故③正確;

???NCHG=4MNH+Z.HGN,

...4MNH=4CHG—90"

：.乙AMN+/HNG=4AMN十乙CHG-90°=180°，

.?.NZMG+NC〃G=270。，故④正確,

故選：C

（二）“豬蹄”模型

求：NB、ND、NBPD的等量關(guān)系。

(1)結(jié)論：____________________________

CD

P

AB

(2)\

CD

例1.如圖，AB//CD,且4=25。，ZC=45°,則NE的度數(shù)是（）（“豬蹄〃模型的

直接使用）

A.60°B.70°C.110°D.80°

【分析】本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行做題.

【解答】解：過點(diǎn)E作一條直線M"43,則E///CO,

/.Z4=Zl,ZC=Z2,

Z.AEC=Zl+Z2=Z/4+ZC=70°.

故選：B.

CD

例2.如圖，在平行線4,之間放置一塊直角三角板，三角板的銳角頂點(diǎn)力，8分別在直

線4，，2上，若Nl=55。，則N2的度數(shù)是（）（注意從復(fù)雜圖形中辨別出基本模型）

A.25°B.30°C.35°D,40°

【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得至+=再根據(jù)/1=55。，

/比iC=60。，48C=3O。，即可得到N2的度數(shù).

【解答】解：如圖所示，?.FO//8E,

NDAB+N/iBE=T80°,

又???Nl=55。，NB4c=60°,ZJ5C=30°,

Z2=180°-55°-60°-30°=35°,

過關(guān)檢測

1.如圖，EF//MN,CALCB.NE4c=35。，則NM8c的度數(shù)是_55。

【分析】過點(diǎn)。作CP//E尸，則CP//MN,利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出

NPCA=NE4C=35°,ZPCB=NMBC,結(jié)合N4C8=90。，NPCB=N/4C6-NPC/可求出

NPC8的度數(shù)，進(jìn)而可得出/M8C的度數(shù).

【解答】解：過點(diǎn)C作CP//EF,則CP//MN,如圖所示.

-CP//EF,CPHMN,

ZPCA=ZEAC=35°,4PCB=4MBC.

CALCB,

4c8=90。，

:.NPCB=ZACB-ZPCA=90°-35°=55°,

4MBe=55°.

故答案為：55°.

2.如圖，直線"/〃7,將含有45。角的三角板48C的直角頂點(diǎn)。放在直線機(jī)上，若N1=25。,

則N2的度數(shù)為（）

【分析】首先過點(diǎn)8作3。///,由直線〃/掰，可得BDI/11/m,由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等，即可求得答案N4的度數(shù)，又由2MBe是含有45。角的三角板，即可求得N3的度

數(shù)，繼而求得N2的度數(shù).

【解答】解：過點(diǎn)B作BD//1,

,/直線1/Im,

s.BDIIlllm,

,-.Z4=Zl=25°,

vZJ^C=45°,

Z3=/ABC-Z4=45°-25°=20°,

Z2=Z3=20°.

故選：A.

例3.如圖，已知《/〃2，MN分別和直線乙、4交于點(diǎn)X、B,ME?分別和直線4、人交于

點(diǎn)C、D,點(diǎn)P在MN上（P點(diǎn)與A、B、M三點(diǎn)不重合）.

（1）如果點(diǎn)尸在4、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，Na、N￡、Ny之間有何數(shù)量關(guān)系請說明理由;

（2）如果點(diǎn)P在力、8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Na、邛、//有何數(shù)量關(guān)系（只須寫出結(jié)論）.

（折點(diǎn)在不同位置時(shí)，以同樣的方法，得出不同的結(jié)論）

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)口;求出它們的關(guān)系，從點(diǎn)尸作平行線.平行于4C,根據(jù)兩

直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出.

（2）分類討論，①點(diǎn)尸在點(diǎn)4左邊，②點(diǎn)尸在點(diǎn)8右邊.

【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)P做4C的平行線尸。，

:ACHPO,

：.Z/?=ZCPO,

又?：ACiIBD,

/.PO//BD,

Za=Z.DPO,

/.Za+Z/?=Z/.

（2）①尸在4點(diǎn)左邊時(shí)，Za-Z^=Z/；

②尸在8點(diǎn)右邊時(shí)，/4—Na=Ny.

（提示：兩小題都過P作NC的平行線）.

/Z1

過關(guān)檢測

1.如圖，直線ACI/BD,連接直線4C、8。及線段力3把平面分成①、②、③、④

四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接P4,PB,

構(gòu)成N4C,乙4PB,NP80三個(gè)角.（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角

是0。角）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第①部分時(shí)，求證：NAPB=NPAC+NPBD；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第②部分時(shí)，4PB=NPAC+NPBD是否成立?（直接回答成立或不成

立）

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第③部分時(shí)，全面探究NP4C,ZAPB,NPa）之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)

ZAPB=ZPAE+ZPEA,可知NAPB=NP4C+NPBD；

（2）過點(diǎn)尸作4C的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答：

（3）根據(jù)尸的不同位置，分三種情況討論.

【解答】解：（1）解法一：如圖1延長8尸交直線彳C于點(diǎn)E.

-AC//BD,：.ZPEA=ZPBD.

，.?ZAPB=NP4E+NPEA,

圖1圖2圖3

過點(diǎn)P作/7P///C,

ZPAC=Z.APF.

'：AC//BD,:.FPHBD.

:.占PB="BD.

ZAPS=ZAPF+ZFPB

=APAC+NPBD；

解法三：如圖3,

-AC//BD，

..ZCAB+ZABD=ISO°t

NPAC+NP4B+NPBA+ZPBD=180°.

又NAPB+2LPBA+Z.PAB=180°,

ZAPB=APAC+NPBD.

(2)不成立.

(3)(a)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在射線切的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是:

NPBD=NPAC+NAPB.

(b)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在射線54上，結(jié)論是：

NPBD=NPAC+NAPB.

或Z.PAC=Z.PBD+Z.APB或ZAPB=0°，

NPAC=ZPBD(任寫一個(gè)即可).

(c)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在射線84的左側(cè)時(shí)，

結(jié)論是ZPAC=AAPB+ZPBD.

選擇（a）證明：

如圖4,連接尸N,連接尸8交/C于M.

:AC//BD,

ZPMC=ZPBD.

又＜NPMC=NPAM+NAPM（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），

...ZPBD=NPAC+NAPB.

選擇（b）證明：如圖5

?點(diǎn)尸在射線加上，.?.乙"9=。度.

:AC//BD,...ZPBD=APAC.

二.NPBD=/PAC+NAPB

或Z.PAC=NPBD+NAPB

?￡Z.APB=0°,NPAC=NPBD.

選擇（c）證明：

如圖6,連接尸4,連接PB交AC于F

-AC//BD,:.&FA=dBD.

???APAC=ZAPF+ZPFA,

Z.PAC=NAPB+Z.PBD.

例4.如圖，AB//EF,則4,ZC,ZD,“滿足的數(shù)量關(guān)系是（）（多個(gè)折點(diǎn)

兩種模型的結(jié)合，見折點(diǎn)做輔助線。）

A.Z/4+ZC+ZD+Z￡=360cB.NA+ND=NC+NE

C.ZJ-ZC+ZD+Z￡=180°D.Z￡-ZC+ZD-ZJ=90°

【分析】過點(diǎn)C作CG//48,過點(diǎn)。作。尸，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得

ZL4=ZACG,/CDH=/DCG,兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得NEO"=180。-,

然后表示出NC整理即可得解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作CG//力8,過點(diǎn)、D作DH//EF,

貝|JZJ=NZCG,NEDH=180。一2E,

AB!/EF，

:.CG//DH，

...Z.CDH=Z.DCG，

ZC=N/CG+NCDH=乙4+NZ)-(180°-NE),

-ZC+ZD+Z^=180°.

故選：C.

過關(guān)檢測

1.如圖，AB//EF,ZC=90°,則。、夕和y的關(guān)系是（）

B.?+/?+/=180°C.a+p~y=90°D.fi+y-a=\80°

【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)

系.

【解答】解：延長OC交力8與G,延長CO交所于

在直角ABGC中，Zl=90°-a；AEHD中,Z2=fi-y,

VAB//EF,

Z1=Z2,

:.900-a=p-r，即a+Q-y=90。.

故選：C.

2.如圖，已知力8//CO,EF//CD,ZJBC=45°,ZC￡F=150°,則乙gCE等于15度.

B

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出/8CO等于45。；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求

出NEC。等于30。，/8CE的度數(shù)即可求出.

【解答】解：ZABC=45°,

:./BCD=/ABC=45°,

-EFHCD,

NECD+NCEF=180。,

vZCEF=150°,

ZECD=180°-Z.CEF=180°-l50°=30°，

ZBCE=/BCD-/ECD

=45°-30°=15°,

NBCE的度數(shù)為15。.

故答案為：15

二.平行線的判定和綜合

內(nèi)容講解

例1.同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

（1）如圖1,若ABHCD,點(diǎn)P在力8、CO內(nèi)部，請寫出NBPZ）、4B、NO之間的數(shù)量

關(guān)系（不必說明理由）；

（2）如圖2,將直線繞點(diǎn)8逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一定角度交直線CO于點(diǎn)0,利用（1）中的

結(jié)論求N8尸。、4B、N。、N4。。之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3,設(shè)8產(chǎn)交/C于點(diǎn)M,4E交DF于點(diǎn)、N.已知乙"/8=140。，ZANF=\05°,

利用（2）中的結(jié)論直接寫出N5+NE+NF的度數(shù)和4比NE大多少度.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵。熟知豬蹄型常用輔助線。

【分析】（1）過點(diǎn)尸作PE//4B,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得N8=Nl,N￡>=N2,

再根據(jù)NBPZ）=Z1+Z2即可得解；

（2）連接QP并延長，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答;

（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論、三角形的內(nèi)角和及三角形的外角和即可求得.

【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE//4B,

ABHCD,

ABHEPIICD,

/.Z5=Z1,ZD=Z2,

:.NBPD=NB+/D；

（2）如圖2,連接。尸并延長,

結(jié)論：/BPD=NBQD+/B+/D.

/RPD=(/RQP+/#)+(/DQP+ZD)=/RQD+/R+/D：

(3)，；N4NF=105。，

Z.ENF=NB+NE+NF=180°-105°=75°,

,:ZA=NAMB-NB-NE,

NF=180°-Z.ANF-NB-ZE,

...NA-NF=ZAMB+Z.ANF-\^0=65°.

答：4+NE+N尸的度數(shù)為：75。；

ZJ比NF大65。.

過關(guān)檢測

1.如圖，直線尸0//MN,點(diǎn)。是尸。、MN之間(不在直線尸。，MN上)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

(1)若N1與N2都是銳角，如圖甲，請直接寫出NC與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若把一塊三角尺(4=30。,/。=90。)按如圖乙方式放置，點(diǎn)。，E,尸是三角尺的邊

與平行線的交點(diǎn)，若乙4EN=NA，求尸的度數(shù)；

(3)將圖乙中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖丙，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G

在線段CO上，連接EG,且有NCEG=,求幺處的值；

NBDF

【分析】(1)過。作。?！ㄊ?。，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出/C=N1+N2；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論可得，ZC=Z.MEC+Z.PDC=90°,再根據(jù)對頂角相等即可得

出結(jié)論；

(3)設(shè)NCEG=NCEM=x,得到NGEN=180。-2x,再根據(jù)(1)中的結(jié)論可得

2LCDP=90°-ZCEM=90°-x,再根據(jù)對頂角相等即可得出產(chǎn)=90。-%，據(jù)此可得

/GEN

的值.

NBDF

【解答】解：（1）ZC=Z1+Z2.

理由：如圖，過。作C0//P。，