張家界市重點中學2024屆數學高二第二學期期末檢測試題含解析

張家界市重點中學2024屆數學高二第二學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一同學在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前55個圈中的●個數是（）A．10 B．9 C．8 D．112．一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內的水中，現將金屬絲向上提升，當金屬球被拉出水面時，容器內的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm3．在二項式的展開式中，含的項的系數是（）．A． B． C． D．4．某同學家門前有一筆直公路直通長城，星期天，他騎自行車勻速前往旅游，他先前進了，覺得有點累，就休息了一段時間，想想路途遙遠，有些泄氣，就沿原路返回騎了,當他記起詩句“不到長城非好漢”，便調轉車頭繼續(xù)前進.則該同學離起點的距離與時間的函數關系的圖象大致為（）A． B．C． D．5．用反證法證明“方程至多有兩個解”的假設中，正確的是（）A．至少有兩個解 B．有且只有兩個解C．至少有三個解 D．至多有一個解6．若是的增函數,則的取值范圍是()A． B． C． D．7．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，現將ΔABC繞BC所在直線旋轉至ΔPBC，設二面角P-BC-A的大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0<θ<π，則（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π48．己知函數f(x)=x,1<x≤4x|x|,-1≤x≤1，則A．14 B．143 C．79．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．10．函數f(x)=sin(ωx+πA．關于直線x=π12對稱 B．關于直線C．關于點π12，0對稱 D．11．平面向量與的夾角為，則（）A．4 B．3 C．2 D．12．使函數y＝xsinx＋cosx是增函數的區(qū)間可能是()A． B．(π，2π)C． D．(2π，3π)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中，奇數項的系數之和為-121，則n=___________。14．若將函數表示為其中，，，…，為實數，則＝______________．15．用1、2、3、4、5、6六個數字組成的沒有重復數字的六位數，要求任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是____________。16．設為虛數單位，若，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前項和為，且滿足.（1）若為等比數列，求的值及數列的通項公式；（2）在（1）的條件下，設，求數列的前項和.18．（12分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日銷量（單位：千克）與銷售價格（單位：元千克）滿足關系式，其中，為常數，已知銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值：（2）若該商品的成本為元千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.19．（12分）設等差數列的公差為d、前n項和為，已知，．（1）求數列的通項公式：（2）令，求數列的前n項和．20．（12分）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求橢圓的方程；（2）若直線l經過F2與橢圓交于M，N21．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時間（分鐘）與道路的擁堵情況有關.小王在一年中隨機記錄了200次上班在路上所用的時間，其頻數統計如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時間的數學期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨立，設一周內上班在路上所用時間不超過的天數為，求的分布列及數學期望.22．（10分）設函數.(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】將圓分組：第一組：○●，有個圓；第二組：○○●，有個圓；第三組：○○○●，有個，…，每組圓的總個數構成了一個等差數列，前組圓的總個數為，令，解得，即包含整組，故含有●的個數是個,故選B.【方法點睛】本題考查等差數列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.2、D【解題分析】

利用等體積法求水面下降高度。【題目詳解】球的體積等于水下降的體積即，．答案：D．【題目點撥】利用等體積法求水面下降高度。3、C【解題分析】

利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為4求得．【題目詳解】解：對于，對于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項的系數是C52（﹣1）2＝10故選．點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.4、C【解題分析】

分析：本題根據運動變化的規(guī)律即可選出答案．依據該同學出門后一系列的動作，勻速前往對應的圖象是上升的直線，勻速返回對應的圖象是下降的直線，等等，從而選出答案．解答：解：根據他先前進了akm，得圖象是一段上升的直線，由覺得有點累，就休息了一段時間，得圖象是一段平行于t軸的直線，由想想路途遙遠，有些泄氣，就沿原路返回騎了bkm（b＜a），得圖象是一段下降的直線，由記起詩句“不到長城非好漢”，便調轉車頭繼續(xù)前進，得圖象是一段上升的直線，綜合，得圖象是C，故選C．點評：本小題主要考查函數的圖象、運動變化的規(guī)律等基礎知識，考查數形結合思想．屬于基礎題．5、C【解題分析】分析：把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，即為所求．詳解：由于用反證法證明數學命題時，應先假設命題的否定成立，

命題：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個解”的否定是：“至少有三個解”，

故選C．點睛：本題主要考查用命題的否定，反證法證明數學命題的方法和步驟，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．6、A【解題分析】

利用函數是上的增函數，保證每支都是增函數，還要使得兩支函數在分界點處的函數值大小，即，然后列不等式可解出實數的取值范圍．【題目詳解】由于函數是的增函數，則函數在上是增函數，所以，，即；且有，即，得，因此，實數的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題考查分段函數的單調性與參數，在求解分段函數的單調性時，要注意以下兩點：（1）確保每支函數的單調性和原函數的單調性一致；（2）結合圖象確保各支函數在分界點處函數值的大小關系．7、C【解題分析】

由題意畫出圖形，由線面角的概念可得α的范圍，得到C正確，取特殊情況說明A，B，D錯誤．【題目詳解】如圖，ΔABC為等腰直角三角形，AC=BC，將ΔABC繞BC所在直線旋轉至ΔPBC，則PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時，PB與平面ABC所成角最大，則α的范圍為(0，π4]，故此時α<θ，故A錯誤；當PC與平面ABC垂直時，三棱錐C-PAB滿足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，則PA=PB=AB，設AC=BC=1，則PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影為ΔPAB求得OP=63，即PC與平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63當θ無限接近0時，β無限接近π4，β>θ，故B綜上，正確的選項是C．故選：C．【題目點撥】本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題．8、B【解題分析】

根據分段函數的定義，結合x∈[-1,1]時f【題目詳解】函數f(x)=故選：B．【題目點撥】本題主要考查了分段函數的定積分應用問題，其中解答中熟記微積分基本定理，準確計算是解得的關鍵，著重考查了推理與計算能力屬于基礎題．9、C【解題分析】

利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關于的函數，再利用導數求出該函數的最小值，可得出結果．【題目詳解】設陰影部分區(qū)域的面積為，則，，其中，令，得，當時，；當時，.所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C．【題目點撥】本題考查利用定積分計算曲邊多邊形的面積，考查利用導數求函數的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時，要確定被積函數和被積區(qū)間，結合定積分公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題．10、B【解題分析】

求出函數的解析式，然后判斷對稱中心或對稱軸即可．【題目詳解】函數f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當k＝0時，函數的對稱軸為：x=π故選：B．【題目點撥】本題考查三角函數的性質的應用，周期的求法，考查計算能力，是基礎題11、C【解題分析】

根據條件，得出向量的坐標，進行向量的和的計算，遂得到所求向量的模．【題目詳解】由題目條件，兩向量如圖所示：可知則答案為2.【題目點撥】本題考查了向量的坐標和線性加法運算，屬于基礎題．12、C【解題分析】

求函數y＝xsinx＋cosx的導函數，根據導函數分析出它的單調增區(qū)間．【題目詳解】由函數得，=．觀察所給的四個選項中，均有，故僅需，結合余弦函數的圖像可知，時有，所以答案選C．【題目點撥】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，對于函數，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減，這是解題關鍵．此題屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

令和，作和即可得到奇數項的系數和，從而構造出方程解得結果.【題目詳解】令得：令得：奇數項的系數和為：，解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查二項式系數的性質應用問題，關鍵是采用賦值的方式快速得到系數和.14、10【解題分析】法一：由等式兩邊對應項系數相等．即：．法二：對等式：兩邊連續(xù)對x求導三次得：，再運用賦值法，令得：，即15、40【解題分析】

將問題分成三步解決，首先將排列，再將插空排列，再根據已排好的位置將整體插空放入，利用分步乘法計數原理計算可得結果.【題目詳解】第一步：將進行排列，共有種排法第二步：將插空排列，共有種排法第三步：將整體插空放入，共有種排法根據分步乘法計數原理可得共有：種排法本題正確結果：【題目點撥】本題考查分步乘法計數原理的應用，關鍵是能夠根據題意將問題拆分成幾個步驟來進行處理，要注意不重不漏.16、【解題分析】由，得，則，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）利用和關系得到，驗證時的情況得到，再利用等比數列公式得到數列的通項公式.（2）計算數列的通項公式，利用分組求和法得到答案.【題目詳解】（1）當時，，當時，，與已知式作差得，即，欲使為等比數列，則，又.故數列是以為首項，2為公比的等比數列，所以.（2）由（1）有得..【題目點撥】本題考查了等比數列的通項公式，分組求和法求前n項和，意在考查學生的計算能力.18、(1)(2)當元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【解題分析】

（1）銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克代入函數解得.（2）求出利潤的表達式，求導，根據單調性計算函數的最值.【題目詳解】解：（1）當元/千克時，解得（2）設商場每日銷售該商品的利潤為，則，因為當時，，單調遞增，當時，，單調遞減所以當元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【題目點撥】本題考查了函數的應用，求函數的最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由得，結合，求出公差，從而寫出通項公式；（2）由（1）得，采用錯位相減法求的前n項和.【題目詳解】（1）在等差數列中，由，得：，又，公差，，數列的通項公式，（2），令數列的前n項和為，…①…②；．【題目點撥】本題主要考查了等差數列的通項公式，等差數列的性質，等差數列的前項和，以及采用錯位相減法求數列的前項和，考查了學生的運算能力.20、（1）x22【解題分析】試題分析:（1）求橢圓標準方程，只需列出關于a,b,c的兩個獨立條件，由題意得|AF1|=a-c,e=ca，再解方程組可得a,b,c的值；（2）求范圍問題，一般利用韋達定理進行轉化求解：先根據點斜式設直線方程（斜率不存在的情形分類討論），再與橢圓方程聯立方程組，消去y得關于x試題解析:解：（1）設F1(-c，∴{ca=∴b2=