上海市盧灣高中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

上海市盧灣高中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．與C．與 D．2．設(shè),則（）A． B． C． D．3．若，則的值為（）A．-2 B．-1 C．0 D．14．已知數(shù)列，如果，，，……，，……，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則=A． B． C． D．5．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為（）附：若X～N(μ,σ2)，則PA．1193 B．1359 C．2718 D．34136．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，則BC的長為（）A． B． C．3 D．7．已知點(diǎn)滿足，則到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．8．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．9．某同學(xué)家門前有一筆直公路直通長城，星期天，他騎自行車勻速前往旅游，他先前進(jìn)了，覺得有點(diǎn)累，就休息了一段時間，想想路途遙遠(yuǎn)，有些泄氣，就沿原路返回騎了,當(dāng)他記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn).則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）A． B．C． D．10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為()A． B． C． D．11．某個班級組織元旦晚會，一共準(zhǔn)備了、、、、、六個節(jié)目，節(jié)目演出順序第一個節(jié)目只能排或，最后一個節(jié)目不能排，且、要求相鄰出場，則不同的節(jié)目順序共有（）種A．72 B．84 C．96 D．12012．計(jì)算的值是（）A．72 B．102 C．5070 D．5100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．化簡＝__________．14．若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2≥0x≤4y≤5則z=y-x的最小值為15．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．16．某電視臺連續(xù)播放個不同的廣告，其中個不同的商業(yè)廣告和個不同的公益廣告，要求所有的公益廣告必須連續(xù)播放，則不同的播放方式的種數(shù)為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.18．（12分）如圖，在矩形ABC中，，，E在線段AD上，，現(xiàn)沿BE將ABE折起，使A至位置，F(xiàn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若在平面BCDE上的射影O在直線BC上，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機(jī)抽測株樹苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計(jì)整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機(jī)選取株，記為高度在的樹苗數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？21．（12分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的極值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）若不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)【題目詳解】∵，∴．由，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故選D．【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式和；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．2、A【解題分析】

利用中間值、比較大小，即先利用確定三個數(shù)的正負(fù)，再將正數(shù)與比較大小，可得出三個數(shù)的大小關(guān)系．【題目詳解】由于函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則，且，，由于函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則，因此，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查指對數(shù)混合比大小，常用方法就是利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值法來建立橋梁來比較各數(shù)的大小關(guān)系，屬于?？碱}，考查分析問題的能力，屬于中等題．3、B【解題分析】

令，即可求出的值.【題目詳解】解：在所給等式中，令，可得等式為，即.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的展開使用及靈活變求值，特別是解決二項(xiàng)式的系數(shù)問題，常采用賦值法，屬于中檔題.4、A【解題分析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點(diǎn)睛：形如的模型，求通項(xiàng)公式，用累加法。5、B【解題分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線）的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.6、D【解題分析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，在中，由，由余弦定理可得，則，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

作出圖象，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長為正方形，到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，由此利用幾何概型能求出到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率．【題目詳解】點(diǎn)滿足，

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，．

作出圖象，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長為正方形，

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率為：

．

故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．8、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點(diǎn)：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點(diǎn)晴】（1）對于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．9、C【解題分析】

分析：本題根據(jù)運(yùn)動變化的規(guī)律即可選出答案．依據(jù)該同學(xué)出門后一系列的動作，勻速前往對應(yīng)的圖象是上升的直線，勻速返回對應(yīng)的圖象是下降的直線，等等，從而選出答案．解答：解：根據(jù)他先前進(jìn)了akm，得圖象是一段上升的直線，由覺得有點(diǎn)累，就休息了一段時間，得圖象是一段平行于t軸的直線，由想想路途遙遠(yuǎn)，有些泄氣，就沿原路返回騎了bkm（b＜a），得圖象是一段下降的直線，由記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，得圖象是一段上升的直線，綜合，得圖象是C，故選C．點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的圖象、運(yùn)動變化的規(guī)律等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】分析：根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式求出的面積，利用橢圓的定義求出三角形的周長，代入內(nèi)切圓半徑，從而可得結(jié)果.詳解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則的坐標(biāo)為，過且斜率為的直線為，即，代入，得，則，故的面積，的周長，故的內(nèi)切圓半徑，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11、B【解題分析】分析：先排第一個節(jié)目，同時把C、D捆綁在一起作為一個元素，按第一個節(jié)目排A還是排B分類，如果第一個是B，則第二步排最后一個節(jié)目，如果第一個是A，則后面全排列即可．詳解：由題意不同節(jié)目順序有．故選B．點(diǎn)睛：本題考查了排列、組合題兩種基本方法(1)限制元素(位置)優(yōu)先法：①元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素，再考慮其他元素；②位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置，再考慮其他位置．(2)相鄰問題捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”作全排列，最后再“松綁”——將“捆綁”元素在這些位置上作全排列．12、B【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)計(jì)算公式，計(jì)算出表達(dá)式的值.【題目詳解】依題意，原式，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：利用，逆用二項(xiàng)式定理求和，再根據(jù)展開式特點(diǎn)結(jié)合棣莫弗定理求值.或者構(gòu)造和的二項(xiàng)式展開式求和，再利用和周期性解決問題.詳解：方法一：因?yàn)檎归_式中所有有理項(xiàng)的和，又因?yàn)?，所以展開式中所有有理項(xiàng)的和為，因此＝.方法二：原式=①②①+②可得：點(diǎn)睛：展開式的應(yīng)用：可求解與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的求值，常采用賦值法.有關(guān)組合式的求值證明，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開進(jìn)行分析判斷.14、-6【解題分析】略視頻15、4038.【解題分析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則，,即，得解．【題目詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱則故，即本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．16、720【解題分析】

分兩步求解，第一步將所有的公益廣告捆綁一起當(dāng)成一個元素和其他4個不同商業(yè)廣告進(jìn)行排列，第二部對個不同的公益廣告進(jìn)行排列，得結(jié)果【題目詳解】解：由題意，第一步將所有的公益廣告捆綁一起當(dāng)成一個元素和其他4個不同商業(yè)廣告進(jìn)行排列，不同的安排方式有種，第二部對個不同的公益廣告進(jìn)行排列，不同的安排方式有種，故總的不同安排方式有種，故答案為：720.【題目點(diǎn)撥】本題考查捆綁法解排列組合問題，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）取,再根據(jù)平幾知識證,最后根據(jù)線面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性質(zhì)得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求出平面法向量，根據(jù)向量夾角公式求夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角關(guān)系得結(jié)果.【題目詳解】（1）取,因?yàn)椋云矫?，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危雌矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，因?yàn)樵O(shè)平面法向量為，則即即令因?yàn)?所以因此直線與平面所成角的正弦值為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行判定定理以及利用空間向量求線面角，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）根據(jù)絕對值的意義，取到絕對值號，得到分段函數(shù)，進(jìn)而可求解不等式的解集；（2）因?yàn)椋?，再利用絕對值的定義，去掉絕對值號，即可求解。【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以的解集?（2）因?yàn)?，所以，即，則，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．20、（1）概率為，，，（2）詳見解析（3）將順利被公司簽收【解題分析】

（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2求得，，，，即可求得答案；（2）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批樹苗中隨機(jī)選取株，高度在的概率為，因?yàn)閺臉涿鐢?shù)量這批樹苗中隨機(jī)選取株，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可得隨機(jī)變量，即可求的分布列，進(jìn)而求得；（3）利用條件，計(jì)算出，從而給出結(jié)論.【題目詳解】（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2可得：，，，組距為，，，.（3）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批樹苗中隨機(jī)選取株，高度在的概率為，因?yàn)閺臉涿鐢?shù)量這批樹苗中隨機(jī)選取株，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量，分布列為：012340.00810.07560.26460.41160.2401.（3）由，取，，由（2）可知，又結(jié)合（1）可得，這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，應(yīng)該認(rèn)為這批樹苗是合格的，將順利被公司簽收.【題目點(diǎn)撥】本題解題關(guān)鍵是掌握頻率直方圖基礎(chǔ)知識和求二項(xiàng)式分布列，及其正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用,考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）極大值為，函數(shù)無極小值；（2）【解題分析】分析：（1）由函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，故當(dāng)時，，再證明當(dāng)時不合題意即可.詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線的斜率.∵該切線與直線垂直，所以，解得.∴，，令，解得.顯然當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.∴函數(shù)的極大值為，函數(shù)無極小值.（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，則，令，則在上為增函數(shù)，即，①當(dāng)時，，即，則在