張家口宣化一中2021屆高三年級(jí)下冊(cè)階段模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題及答案

2020-2021學(xué)年下學(xué)期宣化一中高三數(shù)學(xué)

階段模擬試卷(一)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知集合4=億3,4,6,7}，B={2,3,5'7},則AnB=()

A-{2,3,5}B-{2,3,7}

C.億3,5.7}D.[23,4>5,6,7)

2.復(fù)數(shù)3的虛部為r、

z=-

C.D.

A?、B.t5

3.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德.黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的

應(yīng)用.其定義黎曼函數(shù)內(nèi)丫、為：當(dāng)q為正整數(shù)，是既約真分?jǐn)?shù)、時(shí)，當(dāng)丫_0或丫_1

()■a?)*

或X為［0,［］上的無(wú)理數(shù)時(shí)RQ)=0,已知a、b、a+b都是區(qū)間［0,1］內(nèi)的實(shí)數(shù)，則下列不等式一定正確

的是()

A-R(a+b)>R(a)+R(b)B-R(a-b)>R(a)-R(b)

C-R(a+b)<R(a)+R(b)D-R(a-b)<R(a)-R(b)

4.已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是

安全的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的。現(xiàn)用編號(hào)為1,2,3的三個(gè)

倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為()

A.12B.24C.36D.48

5.已知球0的半徑為8,矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球0的球面上，球心0到平面ABCD的距離為4,則此矩

形的最大面積為()

A.96B.48C.32D.24

6.己知向量|畫(huà)=2,初|=「且|四-2而|=2技則向量四和質(zhì)的夾角為()

A.3QoB.60。C."（J。D.150?

7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)MQj,%），都。.,）,，）為不同的兩點(diǎn)，直線1的方程為ax+by+c=0，

,下面四個(gè)命題中的假命題為.、

§_。氣+%+，IJ

ax2+by2+c

A.存在唯一的實(shí)數(shù)s，使點(diǎn)N在直線1上

B.若6=i，則過(guò)M,N兩點(diǎn)的直線與直線1平行

C.若6=_［，則直線經(jīng)過(guò)線段M,N的中點(diǎn)

D.若6>1，則點(diǎn)M,N在直線1的同側(cè)，且直線1與線段M,N的延長(zhǎng)線相交

1S,a,

8.設(shè)°=Qgo.6?b=Qe6-c=15。冏則b，c的大小關(guān)系（）

a<b<ca<c<bb<a<cb<c<a

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.記數(shù)列｛J｝的前n項(xiàng)和為工，若存在實(shí)數(shù)H,使得對(duì)任意的?！?,都有15r?<“，則稱數(shù)列也工為“和

有界數(shù)列”,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若國(guó)工是等差數(shù)列，且公差d=o,則8工是“和有界數(shù)列”

B.若國(guó)工是等差數(shù)列，且也尸是''和有界數(shù)列”，則公差d=o

C.若｛冊(cè)｝是等比數(shù)列，且公比團(tuán)<i，則｛%｝是“和有界數(shù)列”

D.若&謬等比數(shù)列,且｛%｝是“和有界數(shù)列"，則｛5）的公比⑷<1

10.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：文。）分別服從正態(tài)分布加..,瓷），JVQg成），其正態(tài)分布的密度曲線如

圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.乙類水果的平均質(zhì)量“2=owg

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)必=199

11.如圖，正方體[BCD-A,81cl么的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)P為BC的中點(diǎn)，Q為線段。的上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,P,Q

的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，S為四邊形

0<CQ<：

B.當(dāng)時(shí)，S不為等腰梯形

CQ=：

C.當(dāng)時(shí)，5與「。的交點(diǎn)R滿足

CQ=1°也CJ?=；

D.當(dāng)CQ=I時(shí),S的面積為6

12.已知定義域?yàn)锳的函數(shù)〃乃，若對(duì)任意的巧，孫cA，都有++則稱函數(shù)〃為

為“定義域上的優(yōu)美函數(shù)”,以下函數(shù)是“定義域上的優(yōu)美函數(shù)”的有（）

A.B-f(x)=ex,x&R

Kx)=x2+l,xe[-14]

?

^（x）=sinx'xe[0,n]/（%）=log3xxe[2,+oo）

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（1_2），i為虛數(shù)單位，則y.

14.若函數(shù)”乃是偶函數(shù)，對(duì)任意％cR都有/'（x+2）=/（乃，且xc[-l,0]時(shí)，/■（*）=_/則方程

/（X）=2gx的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

15.已知四面體ABCD的棱都相等，G為乙[BC的重心，則異面直線AG與CD所成角的余弦值為.

16.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖曬（杰出數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子），提出了計(jì)算體積的祖曬原理：“累勢(shì)既同，

則積不容異”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的

體積相等已知曲線C：y=x2）直線1為曲線C在點(diǎn)a#處的切線如圖所示，陰影部分為曲線C、直

線1以及X軸所圍成的平面圖形,記該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為2過(guò)（0,）,）（ow），w1）

作C的水平截面，所得截面面積（用y表示），試借助一個(gè)圓錐，并利用祖唯原理，得出。體

積為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知數(shù)列｛j｝中，5=5且冊(cè)=2an_j+2"-l（n>2且neN，）,

證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

m⑴鏟

⑵求數(shù)列5-1）的前n項(xiàng)和力.

18.如圖，郊外有一邊長(zhǎng)為200m的菱形池塘ABCD,塘邊AB與AD的夾角為60。，擬架設(shè)三條網(wǎng)隔BE,BF,

EF,把池塘分成幾個(gè)不同區(qū)域，其中網(wǎng)隔BE與BF相互垂直，E,F兩點(diǎn)分別在塘邊AD和DC上，區(qū)域

BEF為荷花種植區(qū)域.記”8￡=小荷花種植區(qū)域的面積為5加2.

（1）求S關(guān)于&的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求S的最小值.

B

M,

19.如圖，在直三棱柱ABC-4B1cl中，乙4cB=90。，CA=CB=AAt=2'N分別是45與cq的中

點(diǎn)，G為&ABN的重心.

（/）求證：MGL平面ABN；

（II）求二面角4,_A8.N的正弦值?

20.進(jìn)入冬天，大氣流動(dòng)性變差，容易形成霧握天氣，從而影響空氣質(zhì)量.某城市環(huán)保部門試圖探究車流

量與空氣質(zhì)量的相關(guān)性，以確定是否對(duì)車輛實(shí)施限行.為此，環(huán)保部門采集到該城市過(guò)去一周內(nèi)某時(shí)

段車流量與空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)如表:

時(shí)間周一周二周；周四周五周六周日

車流量（4萬(wàn)

1099.510.51188.5

輛）

空氣質(zhì)量指

78767779807375

數(shù)y

（1）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程.

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2,則認(rèn)為得到的線性回歸

方程是可靠的.請(qǐng)根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？

注：回歸方程夕=如+金中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為八小區(qū)_工心_方a=y-bx-

b———------—

21.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E：z工的焦距為2力，直線1，=%截圓0：爐+產(chǎn)=12與

/言=19>>>0）

橢圓E所得的弦長(zhǎng)之比為「，圓0、橢圓E與y軸正半軸的交點(diǎn)分別為P,A.

-/1Q

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)點(diǎn)BQ.。,光）。,。工盧比±±1）為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線AB,AC分別

交x軸于點(diǎn)M,N,證明：tan^OPM=tan^ONP-

22.已知函數(shù)，x

/1(%)=*-2/+；5(x)-e-ax(x6R\

（1）若在區(qū)間［Q-5,a-1］上的最大值為J求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

3

⑵設(shè)3米尸⑸啕:窈腿‘%小小為…大的零點(diǎn)’當(dāng)

aze?時(shí)，討論尸（外的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及大小?

2020-2021學(xué)年下學(xué)期宣化一中高三數(shù)學(xué)

階段模擬試卷（一）答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：...A={23,4,6,7），8={215,yy

：.Ar\B={2,3,7}-

故選：B.

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

本題考查了列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:

3-2產(chǎn)_3+2i__5-i_5_t

，+i-l+t--2-22

.復(fù)數(shù)s的虛部為.

Z-1+t-2

故選：A.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解:設(shè)，B=（x\x=0或%=1或x是［0」］上的無(wú)理數(shù)}，

A={x|x=：,p,q為正整數(shù)，是既約真分?jǐn)?shù)}

①當(dāng)ac4beA'則H(a+b)之H(a)+H(a?b)2R(a)?H(b)；

②當(dāng)aeB，b&B'則R(a+b)=H(a)+H(a?b)豆H(a)?R(b)=0；

③當(dāng)faeA或(QE*則H(a+b)MH(a)+H(byH(a-b)之R(a)?H(b)?

[bcB<beA

綜上，選項(xiàng)B一定正確.

故選：B.

設(shè)，后一1力%—0或《—1或x是［01］上的無(wú)理數(shù)］,然后分

A={x|x=4p,q為正整數(shù)，是既約真分?jǐn)?shù)18Txi_01-1［0,1］

①acA'beA,②acB，beB'分pz”或jaeB討論即可，

電IbeBUeA

本題以“黎曼函數(shù)”為背景，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】

【解答】

解：根據(jù)題意，如圖的三棱錐中，設(shè)6條棱為1、2、

分析可得1、4,2、6,3、5不能分到同一組,

分2步進(jìn)行分析:

①，將6種化工產(chǎn)品分成3組，其中1、4,2、6,3、

同一組,

有z,種分組方法,

曙2-3X2…8

②，將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)倉(cāng)庫(kù)，有咫=6種情況，

則不同的安全存放的種數(shù)有8x6=48種;

故選：D.

【分析】

根據(jù)題意，如圖的三棱錐中，設(shè)6條棱為1、2、3、4、5、6,分析可得1、4,2、6,3、5不能分到同一

組，分2步進(jìn)行分析：①，將6種化工產(chǎn)品分成3組，其中1、4,2、6,3、5不能分到同一組，②，將

分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意先按照題意進(jìn)行分組，再進(jìn)行排列，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：...球0的半徑為8,矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球0的球面上,

球心0到平面ABCD的距離為4,

:.之BD=v'82-42=473

BD=8仔

2

故AB2+AD2=BD=192>2-AB-AD,當(dāng)且僅當(dāng)”=加時(shí)取等號(hào)，

故當(dāng)AB=AD時(shí)，矩形ABCD的面積最大，

解得AB?=W=96，

...此矩形的最大面積S_AB?=96,

故選：A.

推導(dǎo)出5D=8、/3，根據(jù)AB。+=96，結(jié)合不等式的性質(zhì)得到AB=AD時(shí)，矩形ABCD的面積最大，由

此能求出此矩形的最大面積.

本題考查矩形的最大面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：據(jù)條件：

（荏-2而下

=/—4萬(wàn)?而+4丁

=4-4希?而+4

=12;

.-.AB-CD=-r

???cos<幅，而>=

|絲4S||C>D|=--2

二向量用，麗的夾角為120%

故選：C.

根據(jù)條件，對(duì)?荏一2而|=20兩邊平方即可求出歷?而的值，從而可求出cos<荏，而>的值，進(jìn)而

得出向量近，面的夾角.

考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍.

7.【答案】A

【解析】解：對(duì)于A,因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)N在直線1上時(shí)，ax_+b),，+c=O,所以￡不確定，所以A錯(cuò);

,

對(duì)于B,0^5=1.ax2+by2+c^O即W

ax2+by2+c=axj+byt+c，所以a(xx-x2)+-y2)=0*

即向量時(shí)與直線1的法向量垂直，并且N不在1上，所以MN〃P所以B對(duì)；

對(duì)于C,因?yàn)閟--[，ax2+by2+c+ax[+by\+c=O'

所以，于是，

a3+b3+c=o

23K23y

所以則直線1經(jīng)過(guò)線段M,N的中點(diǎn)，所以C對(duì)；

對(duì)于D,因?yàn)?>i>o，則az++c與az+b%+d同號(hào)，

所以點(diǎn)M,N在直線I的同側(cè)，

ax1+by1+c>ax2+by2+c或axx+by\+c<ax2+by2+c'

,

從而a(x「xa)+b佻-y2)>0,或a(*「xa)+b(y1-y2)<0

即以必一七)+b(y\-y2)H(F向量前與直線1的法向量不垂直，

所以直線MN與直線不平行或重合，所以直線1與線段M,N的延長(zhǎng)線相交，

所以D對(duì).

故選：A.

根據(jù)直線1的法向量另=(2與與的數(shù)量積判斷即可.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了平面內(nèi)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：函數(shù)),=0,6*為減函數(shù)；

故a=0.60,6>b=0.615,

函數(shù)y=X66在(°,+8)上為增函數(shù)；

故。=0.6。,6<。=1.5。$'

故b<a<cf

故選：c.

利用指數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的單調(diào)性，可判斷三個(gè)式子的大小.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

9.【答案】BC

【解析】解：若缶.｝是等差數(shù)列，且公差d=o，

當(dāng)％=0,可得「=0,數(shù)列｛5｝為''和有界數(shù)列”；

當(dāng)可得工=兀為，數(shù)列｛4｝不為“和有界數(shù)列"，故A錯(cuò)誤；

若口工是等差數(shù)列，且數(shù)列國(guó)工為“和有界數(shù)列”，

可得存在實(shí)數(shù)H,使得對(duì)任意的兀cN+，都有|Sn|<H，

即恒成立，可得％=&=0,故B正確；

若5｝是等比數(shù)列，且公比3，

1nl?1-q??l-q?

則&｝是“和有界數(shù)列”，故C正確；

若｛冊(cè)｝是等比數(shù)列，且｛4｝是“和有界數(shù)列”，

若q=T，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，s「=aj當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，5,=0，

可得存在實(shí)數(shù)H,使得對(duì)任意的ncN+，都有故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

討論等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為0,滿足新定義，可判斷A,B；再由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合公比的范

圍，可判斷C,D.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查新定義的理解和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和

推理能力，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：由圖象可知甲圖象關(guān)于直線,=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線,=0.8對(duì)稱，

:,為=0.4'^2=0.8'

故A正確，C正確，

...甲圖象比乙圖象更“高瘦”，

...甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；

...乙圖象的最大值為1.99，即工，

-=1.99

■J2na2

a2h1.99,故D錯(cuò)誤?

故選：ABC.

根據(jù)圖象結(jié)合正態(tài)密度曲線的性質(zhì)逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得結(jié)論.

本題考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：如圖所示,

對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，即Q為eg中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ〃ADJ

CQ=；

AP=QH=?=?’

故可得截面APQD]為等腰梯形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于A：由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿足，只需在DD上

0<CQ1

取點(diǎn)M，兩足月"I/PQ'

即可得截面為四邊形APQM,故A正確；

對(duì)于C：當(dāng)3時(shí)，如圖，延長(zhǎng)。。1至即使【，連接AN交4。1于$，連接NQ交的區(qū)于R，連接

CQ=~DIN=-

SR,

可證4N〃PQ，由△NRDZQRCJ可得C4：DiH=gQ：D[N=i：2,故可得故C正確；

1-3

對(duì)于D：當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與重合，取從的中點(diǎn)F,連接AF,可證pq〃工廣且

可知截面為工。廣/為菱形，故其面積為一故D正確.

11C「PF=；X^X&=F

綜上可得：只有ACD正確.

故選:ACD.

對(duì)于B：當(dāng)工時(shí)，即Q為CQ中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ〃從DJAP=QDJ即可判斷出真假?

對(duì)于A：由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿足，只需在D。上取點(diǎn)M滿足4M//P0，即可判斷出真假.

0<CQ<-1〃"

對(duì)于C：當(dāng)3時(shí)，如圖，延長(zhǎng)DD［至N，使/連接AN交44于5，連接NQ交C.D】于R,連接

CQ=;D*N=-

SR,可證AN〃PQ，由ANRD'SAQRq，可得D，R=QQ：DiN=i：2,可得4夫，即可判斷出真

假；

對(duì)于D：當(dāng)CQ=］時(shí)，Q與的重合，取人為的中點(diǎn)F,連接AF,可證pcj/AF,且PC】=AF,可知截面為APC,F

為菱形，可得其面積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，面積公式，三角形的相似，直線平行的判定，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A,

f(x)=%2+l,xe[-i.i]

x2

/,(%1+x2)=(%+2)+1=資+狀+2xtx2+V

/'(%)+/(七)=資+片+2，

“X1+x2)V/(%)+/(3)恒成立，滿足定義；

對(duì)于B,〃乃=蜻'x&R,

“Xi+x2)=e4+xz'/(Xj)+/(%2)=靖,+收

4,2

當(dāng)孫=均=2時(shí)，/1(%1+xa)=e/■(x1)+/(x2)=2e'

顯然/'(Xi+X2)>/(%)+/(七)，不滿足定義；

對(duì)于*/(x)=sinx'xe[O,^])

/*(%1+x2)=sin(xt+x2)=sin%1cos與+cosx^inx^

f

/■(%1)+f(x2)=sinXi+sinx2

+/)</(Xi)+/(3)恒成立，滿足定義；

對(duì)于D,f(4)=iog3%，xe[2,4-00)'

X1+X2<X62恒成"，

/?(x1+x2)=logaCXi+Xj),

f(Z)+"M)=+10g3X2=1咤3(%%2)'

/■(%1+七)=/01)+/(3)恒成立，滿足定義.

故選：ACD.

根據(jù)“定義域上的優(yōu)美函數(shù)”的定義，逐一分析給定的函數(shù)是否滿足定義，即可得到答案.

本題主要考查了新定義的運(yùn)用，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

13.【答案】

l+-i

【解析】解：由題意,z=1-2尸

則

z+23-2i(3-201,3.

=-------=---------=14+-1

Z-1------21----------2122

故答案為:

由已知求得Z,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】9

【解析】解：Tf(%+1)=-X

.??/(》+2)=f(x)，.??函數(shù)f(x)為周期為2的周期函數(shù)，

?；xe[-L0]時(shí)，/(x)=-%)

...函數(shù)“X)的圖象和y=?X的圖象如圖：

由圖數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)=/乃與函數(shù)y=?X的圖象的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)為9個(gè)，

故答案為:9.

先證明函數(shù)〃X)的周期性，再利用函數(shù)周期性畫(huà)出函數(shù)〃不)的圖象，在同一直角坐標(biāo)系下再畫(huà)出函數(shù)

y=0X的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得交點(diǎn)個(gè)數(shù)

本題主要考查了利用函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合解決圖象交點(diǎn)問(wèn)題的方法，利用函數(shù)的周期性畫(huà)周期函數(shù)的圖象,

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

15.【答案】遇

6

【解析】解：設(shè)四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)E,取BD的中點(diǎn)F,連接EF、AF,

D

由題意知，E為BC的中點(diǎn),

.CD//EF'故"EF即為異面直線AG與CD所成角.

在A'*'中'AE=AF=^aEF=-a

22

由余弦定理知,評(píng)+?2_為2二尿

4盧+療-4盧

CQSLAEF=

2AEEF2X-^ax^a6

二異面直線AG與CD所成角的余弦值為叵

6

故答案為：l

v3

6

設(shè)四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)E,取BD的中點(diǎn)F,連接EF、AF,易知CD〃EF，故乙1EF即

為所求；在AAEF中，根據(jù)余弦定理求出cosUEF的值即可得解?

本題考查求異面直線的夾角，通過(guò)平移的思想，找到異面直線的平面角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立

體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】

沁一嗚

【解析】解：過(guò)點(diǎn)((J,)，)的直線與拋物線C：y=42的交點(diǎn)為(4,)，)，0

...直線1為曲線C在點(diǎn)(L1)處的切線，則切線的斜率為=2,

切線方程為=2x_i.

過(guò)點(diǎn)(0,y)的直線與切線y=2x-1的交點(diǎn)為y+1

用平行于底面的平面截幾何體所得截面為圓環(huán),

截面面積為,;

M—-y)=W(y—i)2

取底面直徑與高均為i的圓錐，用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到截面為圓,

圓的半徑為，截面面積為，符合題意.

>-i）；（y-i）2

則。體積等于圓錐的體積等于

ix7rx（irxl=^

故答案為：，

2-1）2

分別求出過(guò)（0,）,）的直線與拋物線及其切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（用y表示），得到用平行于底面的平面截幾何體所

得截面圓環(huán)的截面積；取底面直徑與高均為1的圓錐，求其體積，根據(jù)祖曬原理可得°體積.

本題考查祖唯原理的應(yīng)用，考查旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題.

17.【答案】⑴證明：根據(jù)題意，數(shù)列d）滿足a.=2*.+2"_1

nB

則有冊(cè)-1=2an_i+2-2=2(an_1-l)+2-

變形可得：，即

又由Q—中貝U

Q]-39=2

2-

則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；

爭(zhēng)｝

(2)解：由(1)可得：數(shù)列&一是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

則，

^=2+(n-l)=n+l

則冊(cè)-1=(n+l)x2F

則無(wú)=(2x2)+(3X22)+(4x23)+?-?+[(n+l)x2"①

則有25n=(2x22)+(3x23)+(4x24)+■-?+[(n+l)x2n+i]'①

①一②可得：-5*=4+[22+23+■■?+2n]-(n+1)x2n+i,

變形可得:n+1

Sn=n-2-

【解析】⑴根據(jù)題意，將冊(cè)=2a7+2-1變形可得—=3+],即-_3=]'計(jì)算可得

2^2K-12n2門―1

,由等差數(shù)列的定義分析可得答案；

￡=2

2

n）

（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得4-1=（n+l）x2進(jìn)而由錯(cuò)位相減法計(jì)算可得答案?

本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì).+?n_i的轉(zhuǎn)化變形.

18.【答案】解：門、由正弦定理可得，即，

I"4B_8E200_BE

sin￡AEBsinAsin（17r-0）-sinj

,即，

BC_BF200_b萬(wàn)

sinz.BFCsinesing+仍sinj

100vs?

??.BE=BF=

\3cosG-t'sin0cos&

S=—~----(0<0<-)

V3cos2G^sin6cos6、一—6，

⑵f(8)=V3cos20+sindcosd=、=0+：。5亞)+白沆2￡=sin(20+$+[

當(dāng)，即時(shí)，有最大值為廣

2&+三=三8=三/⑺出+1

32122

此時(shí)s有最小值為12000—6000V3,

【解析】（1）根據(jù)正弦定理，即可求出函數(shù)的關(guān)系式;

（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

本題考查了正弦定理和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題

19.【答案】解：（I）證明：由題意知AC,BC,eg兩兩垂直，

以C為原點(diǎn)，分別以AC、BC、。的所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

則C(op0)14(2,0,0)'8(0,2,0),心?。，2y&(2,°，2y

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得M（i1，]y0，

由重心性質(zhì)得：，

G?書(shū)

則詬=（_三_1_￡/初=（一240））前=（-2,°'1）,京=（002）,

礪萬(wàn)=0,詬?M=o'

：.MGLAN'MGLAB'

又ANnAB=A,：.MG1平面ABN-

解：由/I\得平面ABN的一個(gè)法向量，

（）（）說(shuō)=（\W）

設(shè)平面41AB的法向量區(qū)=（x,y，zy

則付題*=2z=o'取x=r得方=（1,1，oy

In-=—2x+2y=0

?roc<MG西京-一超'

設(shè)二面角4_AB_N的大小為夕

則

sine=JI--l--_--（-_---/k）2=]r-

...二面角兒一AB一汽的正弦值為了

【解析】（I）由題意知AC,BC,CQ兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，分別以AC、BC、《q所在直線為x，y-z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MG,平面ABN.

（H）求出平面ABN的一個(gè)法向量和平面4月B的法向量，利用向量法能求出二面角4-AB-N的正弦值.

本題考查兩線段相等的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：，

（1）%=1（10+9+9.5+10.5+11）=10

（2分）

歹=“78+76+77+79+80）=78...................................................、）

???瑪=式/一乃?！溉?5'........................................................................................（4分）

器=式片一針=25

-5分）

?"毋2.........................................................................（7

.?.a=y-&x=78-2xl0=58........................................................................（8分）

關(guān)于x的線性回歸方程為（分）

.yy-2X+589

（2）當(dāng)％=8時(shí)，9=2x8+58=74，

滿足|74-73|=1<2，.................................................................................................（10分）

當(dāng)％=8.5時(shí)’y=2x8.5+58=75"

滿足|75—75|=0<2，.................................................................................................（11分）

.所得的線性回歸方程是可靠的.（12分）

【解析】（1）分別求出x,y的平均數(shù)，求出回歸系數(shù)a,b的值，求出回歸方程即可;

（2）求出殘差，結(jié)合誤差均不超過(guò)2,判斷即可.

本題考查了回歸方程問(wèn)題，考查函數(shù)求值，是一道常規(guī)題.

21.【答案】解：（I）根據(jù)題意可得c=b，

a2-b2=3-

因?yàn)橹本€V.K截圓0：以+V2.M所得的

弦長(zhǎng)為2a,

直線yv_-x丫截橢圓E所得的弦長(zhǎng)為

，,--L?

2V2.^=2a=田?罷義

^a2+b22Va2+b2

=Q?=4b2=Q?=4'b2=1*

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2

（II）由（I）可知點(diǎn)A