廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若均為第二象限角，滿足，，則（）A． B． C． D．2．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測(cè)可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．3．下列關(guān)于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正4．已知直線，，點(diǎn)為拋物線上的任一點(diǎn)，則到直線的距離之和的最小值為（）A．2 B． C． D．5．若，，0，1，2，3，…，6，則的值為()A． B． C．1 D．26．已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關(guān)于直線A．0 B．1 C．lna D．7．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．128．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率（）A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定9．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]10．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．11．已知高一（1）班有48名學(xué)生，班主任將學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為01，02，……，48，用系統(tǒng)抽樣方法，從中抽8人，若05號(hào)被抽到了，則下列編號(hào)的學(xué)生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．3312．已知直線的傾斜角為，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，且都垂直于軸（其中分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)（，為常數(shù)，）是復(fù)數(shù)的一個(gè)平方根，那么復(fù)數(shù)的兩個(gè)平方根為_(kāi)_____.14．在直角坐標(biāo)系中，已知，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，每次從袋中摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)________．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，,過(guò)作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.19．（12分）已知函數(shù)（I）求在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程.（II）求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時(shí)，，求的取值范圍．21．（12分）從某市主辦的科技知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，已知這40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成6組，第一組[40,50)；第二組[50,60)；…；第六組[90,100]，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；（2）從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名，求至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的概率．22．（10分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)，再判斷得解.【題目詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)為an當(dāng)n=26時(shí)，a26故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

結(jié)合定積分知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項(xiàng)D不正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】分析：由拋物線的定義可知P到直線l1，l1的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線l1的距離．詳解：拋物線的焦點(diǎn)為F（﹣1，0），準(zhǔn)線為l1：x=1．∴P到l1的距離等于|PF|，∴P到直線l1，l1的距離之和的最小值為F（﹣1，0）到直線l1的距離．故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

根據(jù)題意，采用賦值法，令得，再將原式化為根據(jù)二項(xiàng)式定理的相關(guān)運(yùn)算，求得，從而求解出正確答案．【題目詳解】在中，令得，由，可得，故．故答案選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)及其相關(guān)運(yùn)算，考查考生的靈活轉(zhuǎn)化能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．6、A【解題分析】

利用對(duì)稱列方程解得a，從而求出f(1)?！绢}目詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)對(duì)稱軸的問(wèn)題，即在函數(shù)上任意兩點(diǎn)x1,x2關(guān)于直線7、C【解題分析】分析：，利用二項(xiàng)展開(kāi)式可證明能被11整除.詳解：.故能整除（其中）的是11.故選C.點(diǎn)睛：本題考查利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】試題分析：四種不同的玻璃球，可設(shè)為，隨意一次倒出一粒的情況有4種，倒出二粒的情況有6種，倒出3粒的情況有4種，倒出4粒的情況有1種，那么倒出奇數(shù)粒的有8種，倒出偶數(shù)粒的情況有7種，故倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率大.考點(diǎn)：古典概型.9、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，即f（a）f（b）≤0，把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理10、C【解題分析】因?yàn)?，所以，即，?yīng)選答案C．11、C【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可.【題目詳解】樣本間隔為48÷18=6，則抽到的號(hào)碼為5+6（k﹣1）=6k﹣1，當(dāng)k=2時(shí)，號(hào)碼為11，當(dāng)k=3時(shí)，號(hào)碼為17，當(dāng)k=4時(shí)，號(hào)碼為23，當(dāng)k=5時(shí)，號(hào)碼為29，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于簡(jiǎn)單題．12、D【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，，則，又由直線的傾斜角為，得，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，即可求出離心率.【題目詳解】直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，且、都垂直于軸，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)，，則，即，且，又直線的傾斜角為，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，，整理得，即，解方程得，（舍）故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線離心率的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.圓錐曲線離心率的計(jì)算，常采用兩種方法：1、通過(guò)已知條件構(gòu)建關(guān)于的齊次方程，解出.根據(jù)題設(shè)條件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面幾何相似，直角三角形性質(zhì)等）借助之間的關(guān)系，得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率.2、通過(guò)已知條件確定圓錐曲線上某點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程中，解出.根據(jù)題設(shè)條件，借助表示曲線某點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元方程，從而解得離心率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、,【解題分析】

由題可知,再對(duì)開(kāi)根號(hào)求的兩個(gè)平方根即可.【題目詳解】由題,故,即,故復(fù)數(shù)的兩個(gè)平方根為與故答案為：,【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,運(yùn)用即可聯(lián)系與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)條件求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可得知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為圓，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離不大于半徑，從而列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，化簡(jiǎn)得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由題意可知，直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)也考查了利用直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是利用距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.15、【解題分析】試題分析：口袋中五個(gè)球分別記為從中摸出兩球的方法有：共種，其中顏色相同的有共四種，有古典概率的求法可知．考點(diǎn)：古典概率的求法．16、【解題分析】

先計(jì)算，在中，根據(jù)勾股定理得得到漸近線方程.【題目詳解】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，過(guò)作于是中點(diǎn)，在中，根據(jù)勾股定理得：漸近線方程為：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的漸近線，作輔助線是解題的關(guān)鍵，也可以直接利用正弦定理和余弦定理計(jì)算得到答案.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解題分析】分析：(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，再與函數(shù)值聯(lián)立方程組解得的解析式；(2)先化簡(jiǎn)方程得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像確定條件，解得結(jié)果.詳解：（1），由題意得，，即，解得，∴.（2）由有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，得在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，由，由，得或，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，由題意得，即，解得，點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.18、（1）；（2），證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當(dāng)是否成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：，證明當(dāng)也成立，可得證明【題目詳解】解：（1）由題意：，，當(dāng)時(shí)，可得，可得同理當(dāng)時(shí)：，可得當(dāng)時(shí)：，可得（2）猜想.證明如下：①時(shí)，符合猜想，所以時(shí)，猜想成立.②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對(duì)恒成立.則時(shí)，，所以時(shí)，猜想成立.綜合①②可知，對(duì)恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的遞推式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（I）；（II）【解題分析】

（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)中求出，，由點(diǎn)斜式即可得到切線方程；（II）求出函數(shù)的定義域，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，結(jié)合定義域，解出的范圍即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求出的最小值?！绢}目詳解】（I），故，又故在處的切線方程為：,即.（II）由題可得的定義域?yàn)椋?，故在上單減，在上單增，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值，在求單調(diào)區(qū)間注意結(jié)合定義域研究，屬于基礎(chǔ)題。20、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范圍是．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)，則，故只需證即可．由題意得，即，又由，得，，分，，三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結(jié)論．試題解析：（I）∵，∴，，由題意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，設(shè)，則，由題設(shè)可得，即，令，得，．（i）若，則，從而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在的最小值為，而，故當(dāng)時(shí)，，即恒成立．（ii）若，則，從而當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，，即恒成立．（iii）若，，則在上單調(diào)遞增，而，從而當(dāng)時(shí)，不可能恒成立，綜上可得的取值范圍是．21、（1）4;（2）P(A)=3【解題分析】試題分析：(Ⅰ)由各組的頻率和等于1直接列式計(jì)算成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生頻率,用40乘以頻率可得成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生人數(shù);

(試題解析：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率之和為1，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為所以選取的40名學(xué)生中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（2）設(shè)A表示事件“在成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名，至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)”，由（1）可知成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生有0.005×10×40=2（人），記這2名學(xué)生分別為