遼寧師附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

遼寧師附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，當時，這個幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．2．已知函數(shù)在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．3．某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910已知的數(shù)學期望，則的值為（）A． B． C． D．4．某程序框圖如圖所示，若運行該程序后輸出（）A． B． C． D．5．拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．6．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件7．中國詩詞大會的播出引發(fā)了全民讀書熱，某學校語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里40名學生得分數(shù)據(jù)的莖葉圖如右圖，若規(guī)定得分不低于85分的學生得到“詩詞達人”的稱號，低于85分且不低于70分的學生得到“詩詞能手”的稱號，其他學生得到“詩詞愛好者”的稱號.根據(jù)該次比賽的成績按照稱號的不同進行分層抽樣抽選10名學生，則抽選的學生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為（）A．6 B．5 C．4 D．28．的展開式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．89．若直線（t為參數(shù)）與直線垂直，則常數(shù)k=（）A． B．6 C．6 D．10．下列各對函數(shù)中，圖象完全相同的是（）A．與 B．與C．與 D．與11．已知，且，函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則的值為（）A． B． C． D．12．某研究機構在對具有線性相關的兩個變量和進行統(tǒng)計分析時，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無法確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則__________．14．在圓中：半徑為的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，最大值為.類比到球中：半徑為的球的內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，最大值為__________．15．已知非零向量滿足，，且，則實數(shù)的值為______.16．若從甲乙丙丁4位同學中選出3位同學參加某個活動，則甲被選中的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的范圍.18．（12分）已知點P(3，1)在矩陣變換下得到點P′(5，－1)．試求矩陣A和它的逆矩陣．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線和曲線的直角坐標方程；（2）過點作直線的垂線，交曲線于兩點，求.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.（1）求證：；（2）在線段上,是否存在一點,使得二面角的大小為，如果存在,求與平面所成角的正弦值；如果不存在,請說明理由.21．（12分）在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內(nèi)的選手可以參加復活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加復活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率為，假設每名選手能否通過復活賽相互獨立，現(xiàn)有3名選手進入復活賽，記這3名選手在復活賽中通過的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）的展開式中若有常數(shù)項，求最小值及常數(shù)項．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

三視圖復原幾何體是長方體的一個角，設出棱長，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．【題目詳解】解：如圖所示，可知．設，則，消去得，所以，當且僅當時等號成立，此時，所以．故選：B．【題目點撥】本題考查三視圖求體積，考查基本不等式求最值，是中檔題．2、A【解題分析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進而求得的圖象在處的切線方程.【題目詳解】，函數(shù)在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)極值點求參數(shù)，考查利用導數(shù)求切線方程，屬于基礎題.3、B【解題分析】

根據(jù)分布列的概率之和是，得到關于和之間的一個關系式，由變量的期望值，得到另一個關于和之間的一個關系式，聯(lián)立方程，解得的值.【題目詳解】由題意可知：，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查期望和分布列的簡單應用，通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生學習數(shù)學的情感，培養(yǎng)其嚴謹治學的態(tài)度，在學生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，屬于基礎題．4、D【解題分析】

通過分析可知程序框圖的功能為計算，根據(jù)最終輸出時的值，可知最終賦值時，代入可求得結果.【題目詳解】根據(jù)程序框圖可知其功能為計算：初始值為，當時，輸出可知最終賦值時本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)程序框圖的功能計算輸出結果，關鍵是能夠明確判斷出最終賦值時的取值.5、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的標準方程可得出拋物線的焦點坐標.【題目詳解】由題意可知，拋物線的焦點坐標為，故選：C.【題目點撥】本題考查拋物線焦點坐標的求解，考查計算能力，屬于基礎題.6、A【解題分析】

“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結果．【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【題目點撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．7、C【解題分析】

有莖葉圖，找出獲得“詩詞能手”的稱號的學生人數(shù)，求得概率，再利用分層抽樣求得答案.【題目詳解】由莖葉圖可得，低于85分且不低于70分的學生共有16人，所以獲得“詩詞能手”的稱號的概率為：所以分層抽樣抽選10名學生，獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為：故選C【題目點撥】本題考查了莖葉圖以及分層抽樣，屬于基礎題.8、D【解題分析】

由題意得到二項展開式的通項，進而可得出結果.【題目詳解】因為的展開式的第項為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點撥】本題主要考查求指定項的系數(shù)問題，熟記二項式定理即可，屬于常考題型.9、B【解題分析】

由參數(shù)方程直接求出斜率，表示出另一直線的斜率，利用垂直的直線斜率互為負倒數(shù)即可求出參數(shù)k.【題目詳解】由參數(shù)方程可求得直線斜率為：，另一直線斜率為：，由直線垂直可得：，解得：.故選B.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程求斜率與直線的位置關系，垂直問題一般有兩個方法：一是利用斜率相乘為-1，另一種是利用向量相乘得0.10、C【解題分析】

先判斷兩個函數(shù)的定義域是否是同一個集合，再判斷兩個函數(shù)的解析式是否可以化為一致．【題目詳解】解：對于A、∵的定義域為，的定義域為．兩個函數(shù)的對應法則不相同，∴不是同一個函數(shù)．對于B、∵的定義域，的定義域均為．∴兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)．對于C、∵的定義域為且，的定義域為且．對應法則相同，∴兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．對于D、的定義域是，的定義域是，定義域不相同，∴不是同一個函數(shù)．故選C．【題目點撥】本題考查兩個函數(shù)解析式是否表示同一個函數(shù)，需要兩個條件：①兩個函數(shù)的定義域是同一個集合；②兩個函數(shù)的解析式可以化為一致．這兩個條件缺一不可，必須同時滿足．11、B【解題分析】試題分析：根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，可得．由，且，可得，∴，則，故選B．考點：正弦函數(shù)的圖象．12、B【解題分析】

求出樣本的中心點，計算出，從而求出回歸直線方程，個點中落在回歸直線上方的有三個，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因為線性回歸方程過樣本中心點，所以，所以，所以，故個點中落在回歸直線上方有，，，共個，所以概率為.故選B.【題目點撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.4【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線得，再求，最后求.詳解：根據(jù)正態(tài)分布曲線得,所以,所以0.5-0.1=0.4.故答案為：0.4.點睛：本題主要考查正態(tài)分布圖，意在考查學生對該基礎知識的掌握水平和數(shù)形結合的思想方法.14、【解題分析】分析：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當邊長等于時，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，棱長為詳解：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當邊長時，解得時，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，當棱長,解得時，正方體的體積為點睛：類比推理，理會題意抓住題目內(nèi)在結構相似的推導過程，不要僅模仿形式上的推導過程。15、【解題分析】

由已知，根據(jù)垂直向量的關系和向量的數(shù)量積公式，建立關于的方程，即可求解.【題目詳解】由，又由，得.，解得.故答案為：【題目點撥】本題考查向量垂直、向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題.16、【解題分析】分析：先確定4位同學中選出3位同學事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結果.詳解：因為4位同學中選出3位同學共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）當時，將要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意得當時，恒成立，化簡可得，即，由此求得a的取值范圍.詳解：（1）當時，可化為：，①當時，不等式為：，解得：，故，②當時，不等式為：，解得：，故，③當時，不等式為：，解得：，故.綜上，原不等式的解集為：.（2）∵的解集包含，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴，解得，即的取值范圍為.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題.18、．【解題分析】分析：由列方程求出a和b的值，求得矩陣A,|A|及,由即可求得.詳解：依題意得所以所以A＝．因為|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，所以＝．點睛：本題主要考查矩陣的變換和逆矩陣的求法，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.19、（1），；（2）16【解題分析】

（1）消去參數(shù)可得普通方程，由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；（2）可所作直線的參數(shù)方程為，代入拋物線方程，由的幾何意義易求得.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)可得，曲線的極坐標方程為，即，化為.（2）過點與直線垂直的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入，可得，∴，故.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數(shù)方程的應用。(1)直線方程中參數(shù)t的幾何意義的應用經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上的兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結論在解題中經(jīng)常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[注意]在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義，其幾何意義為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|＝|t|.20、（1）見解析（2）在線段上,存在一點,使得二面角的大小為，且與平面所成角正弦值為【解題分析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于此得出；（2）設，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐標，則即為與平面所成角的正弦值.【題目詳解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以為原點，以過平行于的直線