初中數(shù)學-第14章 三角形【復習課件】-2020-2021學年七年級數(shù)學下冊單元復習（滬教版）

第14章三角形知識大全1.三角形的三邊關系和三角關系以及三角形外角和內角的關系。2.三角形的概念和三角形中的主要線段：三角形的中線、三角形的角平分線和三角形的高。3.三角形按角可分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。4.全等圖形及全等三角形的概念。5.全等三角形的性質和條件。①SSS，②SAS，③ASA，

④AAS6.線段中垂線和角平分線的性質，基本尺規(guī)作圖：作角的平分線，線段的中垂線，作一個角等于已知角，按給定條件作三角形。讓我們一起憶一憶第一章所學的知識點，好嗎？1.什么是全等三角形？一個三角形經過哪些變化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性質？能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。（1）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。（2）全等三角形的周長相等、面積相等。（3）全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。一般三角形:SAS,ASA,AAS,SSS,3：全等三角形有哪些判定方法？證明兩個三角形全等的基本思路：（1）：已知兩邊----

找第三邊(SSS)找夾角（SAS)(2):已知一邊一角---已知一邊和它的鄰角已知一邊和它的對角找這邊的另一個鄰角(ASA)找這個角的另一個邊(SAS)找這邊的對角(AAS)找一角(AAS)(3):已知兩角---找兩角的夾邊(ASA)找夾邊外的任意邊(AAS)1、如圖，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，請補充一個條件____________，使△ABC≌△DCB。找夾角找第三邊找直角

已知兩邊：AB=DC，BC=CB∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）∠A=∠D=90°（HL）ABCD2、如圖，已知∠1=∠2，添加一個條件___________________，可得△ABC≌△CDA，已知一邊一角（邊與角相鄰）：∠1=∠2，AC=CA2ABCD1找夾此角的另一邊找夾此邊的另一角找此邊的對角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B（SAS）（ASA）（AAS）（一）挖掘“隱含條件”判全等1.如圖（1），AB=CD，AC=BD，則△ABC≌△DCB嗎?說說理由ADBC圖（1）2.如圖（2），點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，則∠C=,BE=.說說理由.BCODEA圖（2）3.如圖（3），若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，則CD=.說說理由.20°5cm3cm公共邊，公共角，對頂角ADBCO圖（3）（一）挖掘“隱含條件”判全等1.如圖（1），AB=CD，AC=BD，則△ABC≌△DCB嗎?說說理由ADBC圖（1）2.如圖（2），點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，則∠C=,BE=.說說理由.BCODEA圖（2）3.如圖（3），若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，則CD=.說說理由.20°5cm3cm公共邊，公共角，對頂角ADBCO圖（3）在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中線，∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴____⊥____，____=____。

CAB12D等腰三角形“三線合一”的性質用符號語言表示為：12BＤCD12ADBCADBCBＤCＤ名稱圖形概念性質與邊角關系

判定

等腰三角形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形。2.等邊對等角,3.三線合一。4.是軸對稱圖形.2.等角對等邊,1.兩邊相等。1.兩腰相等.等腰三角形名稱圖形概念性質與邊角關系

判定

等邊三角形ABC三邊相等的三角形是等邊三角形。2.三角相等,且為60°。3.三線合一。4.是軸對稱圖形.2.三角相等。1.三邊相等。1.三邊相等.等邊三角形3.一角為60°的等腰三角形。典例分析【例1】如圖，已知在△ABC中，BE和CD分別為∠ABC和∠ACB的平分線，且BD=CE，∠1=∠2。說明BE=CD的理由。分析：說明兩條線段相等的方法主要是利用全等三角形的性質，觀察這兩條線段分別在哪兩個三角形里面，這兩個三角形全等的條件滿足了嗎？解：∵∠DBC=2∠1，

∠ECB=2∠2（角平分線的定義）

∵∠1=∠2∴∠DBC=∠ECB

在△DBC和△ECB中

BD=CE（已知）

∠DBC=∠ECBBC=CB（公共邊）

∴△DBC≌△ECB（SAS）

∴BE=CD（全等三角形的對應邊相等）例2．已知AE，AD分別為三角形ABC中BC邊上的中線和高，且AB=7cm，AC=5cm，則三角形ABE和三角形ACE的周長之差為＿________，三角形ACE和三角形ABE的面積關系為________．等底同高的兩個三角形面積相等2cm相等1、如圖（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD與△CEB全等嗎？為什么？解：∵AE=CFADBCFE∴AE－FE=CF－EF即AF=CE又∵∠AFD=∠CEB，

DF=BE

根據(jù)“SAS”，可以得到△AFD≌△CEB2、如圖（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC與△ADE全等嗎？為什么？ACEBD解：∵∠CAE=∠BAD∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE即∠BAC=∠DAE又∵∠B=∠DAC=AE∴△ABC≌△ADE根據(jù)“AAS”,就可以得到3、已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB變式：以上條件不變，將△ABC繞點C旋轉一定角度（大于零度而小于六十度），以上的結論海成立嗎？證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD

已知：如圖，點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE，你能判斷出BD與CE相等嗎？請說出你判斷的理由。F解：

BD＝CE。作AF⊥BC，，垂足為F，則AF⊥DE因為AB＝AC，AD＝AE（已知）

AF⊥BC，AF⊥DE（輔助線作法）所以BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）所以BD＝CE。例3：２．已知：如圖：AB=AC，DB=DC說明∠ABD=∠ACDDABC變式：1.已知：如圖：在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長線上，∠AEF＝∠F。請你猜想直線EF與BC有怎樣的位置關系？并說明理由。例4.已知：如圖，∠C=90°，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點.

求證：△MDE是等腰三角形.分析：要證△MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結CM，可利用△BMD≌△CME得到結果。證明：連結CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中點∴CM平分∠BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角對等邊）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形

例5

如圖2-8-1,中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且BD=CE，DE交BC于G。

求證：DG=EG思路因為△GDB和△GEC不全等，所以考慮在△GDB內作出一個與△GEC全等的三角形。證明：過D作DH∥AE，交BC于H∴∵AB=AC∴∴∴DB=DH又∵DB=CE∴DH=CE又∵

∴

∴DG=EG.說明本題易明顯得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要構造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EF∥BD，交BC的延長線于F，證明△DBG≌△EFG，同學們不妨試一試。例6如圖2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.

求證：BP=2PQ思路

在Rt△BPQ中，本題的結論等價于證明∠PBQ=30°證明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，

∴△BAE≌△ACD

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP

=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD

∴∠PBQ=30°

∴BP=2PQ說明本題把證明線段之間的關系轉化為證明角的度數(shù)，這種轉換問題的方法值得同學們細心體會。如圖，線段OD的一個端點O在直線a上，以OD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ探索題1:請把這個三角形紙片折成兩個等腰三角形！⌒⌒⌒20°40°120°ABC⌒⌒⌒20°40°120°CABD⌒⌒⌒20°40°120°ABCD思考題：探索題２:

在下圖三角形的邊上找出一點，使得該點與三角形的兩頂點構成等腰三角形！BAC50°110°20°1、對∠A進行討論2、對∠B進行討論3、對∠C進行討論CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°（分類討論）探索題３:變式訓練1.已知：△ABC中，∠A=100°，∠B—∠C=60°，則∠C=__________。2.兩根木棒分別為5cm和7cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形，如果第三根木棒長為偶數(shù)，那么第三根木棒的長可取值是____________。3.△ABC中，∠B和∠C的平分線相交于O，若∠BOC=110°，則∠A=____。4.若三角形的周長是19,且其三邊都是正整數(shù),則滿足這種條件的三角形的個數(shù)為

。5.下列命題正確的是（）

A.三角形的角平分線、中線、和高都在三角形內B.直角三角形的高只有一條

C.三角形的高至少有一條在三角形內

D.鈍角三角形的三條高都在三角形外6.如圖,ΔABC中,DE⊥BC于E,AF⊥BC于F.已知ΔBCD與ΔABC的面積之比為1:3,DE=3cm,則AF=______.

拓展題1、如圖，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分線，∠1=∠C,求證AC=AB+CE可提示。要證明兩條線段的和與一條線段相等時常用的兩種方法：1、可在長線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等。（割）2、把一個三角形移到另一位置，使兩線段補成一條線段，再證明它與長線段相等。（補）2、求證：三角形一邊上的中線的2倍小于其他兩邊之和。已知：如圖，AC是△ABD的中線求證：2AC﹤AB+AD提示：1.命題證明的步驟

2.如何得到線段不等式ABDCE證明：延長AD到E，使DE＝AD，連結BE∵AD是△ABC的中線∴

BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AE<AB+BE＝AB+AC即2AD<AB+AC∴1、若等腰三角形的一個底角為75°,則它的頂角為__

2、若等腰三角形的一個角為75°,則其余兩角為_______________________30°75°，30°或52。5°，52。5°3、已知等腰三角形一個外角是110°，則其頂角為_____

70°或55°4.若等腰三角形兩條邊的長分別是5和8,則它的周長為

.（5和10呢？）21或185.若等腰三角形的一個內角是50°,則它一腰上的高與底邊所夾的角為